13 AULA. Regra da Cadeia e Derivação Implícita LIVRO. META Derivar funções compostas e funções definidas implicitamente.

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1 1 LIVRO Regra da Cadeia e Derivação Implícita 13 AULA META Derivar funções compostas e funções definidas implicitamente. OBJETIVOS Estender os conceitos da regra da cadeia e da derivação implícita de funções de uma variável a valores reais. PRÉ-REQUISITOS Ter compreendido os conceitos limite, continuidade e derivadas de funções de uma variável a valores reais.

2 Regra da Cadeia e Derivação Implícita 13.1 Introdução 13.2 Regra da Cadeia Muitas vezes a função z = f(x, y) é dada sob a forma de função composta, em que os argumentos x, y são eles próprios funções de t x = φ 1 (t) y = φ 2 (t). Então, z = f(φ 1 (t), φ 2 (t)) e podemos, portanto, falar em diferenciabilidade relativamente a t. Figura 13.72: Função composta. Para derivarmos z em função de t temos o seguinte: Teorema Sejam x = φ 1 (t) e y = φ 2 (t) diferenciáveis em e z = f(x, y) diferenciável no ponto =(φ 1 ( ), φ 2 ( )). Então z(t) =f(φ 1 (t), φ 2 (t)) é diferenciável em e ainda = ( ) dφ1 + ( ) dφ2. Demonstração: Como z é diferenciável em, temos em particular que: Δz = ( ) Δx + ( ) Δy + αη 216

3 Livro de Cálculo II onde η 0 com α 0 e α = (Δx) 2 +(Δy) 2 sendo que Δx = φ 1 ( +) φ 1 ( ) e Δy = φ 2 ( +) φ 2 ( ). 13 AULA Logo, para 0 Δz = ( ) Δx + Observemos que ainda: Δx lim 0 = ( ) Δy ± η ( ) dφ1 Δy e lim t 0 0 = (Δx ) 2 + ( ) dφ2 0= [Δx 0 e Δy 0], ( ) Δy 2 (13.1) pois φ 1 e φ 2 sendo diferenciáveis em são contínuas em. Passando ao limite a expressão (13.1) com 0, temos ( ) dφ1 ( ) dφ2 = + [ (Δx ) 2 pois η 0 com 0 e ( ) ] Δy 2 L R com Exemplo Seja z = f(x, y) =e xy onde x = sen t e y = cos t. Calcule dz em t =. Solução: Temos que =(φ 1 ( ), φ 2 ( ))=(sen, cos ). Logo = ( ) dφ1 + ( ) dφ2, ou seja, = (y 0 e x 0y 0 ) (cos )+(x 0 e x 0y 0 ) ( sen ) = e sen cos (cos 2 sen 2 ). 217

4 Regra da Cadeia e Derivação Implícita É freqüente encontrar-se z = f(x, y) com y = y(x). Neste caso, z = f(x, y(x)) = z(x). Ainda Portanto, dz = +. dz = +. Exemplo Seja z = f(x, y) =x 2 + y 2. Considere a curva y = φ(x) =x 3 e calcule: (a) (1, 1) (b) dz (1) Solução: (a) Temos que =2x +2y =2x +6yx2. Logo (1, 1)= =8. (b) dz (1) = (1, 1) + (1, 1) (1)=8+1 3= Derivação de funções definidas implicitamente A Regra da Cadeia pode ser usada para uma descrição do processo de diferenciação implícita. Suponhamos que a equação da forma F (x, y) =0define y implicitamente como uma função diferenciável de x, ou seja, y = f(x), onde F (x, f(x))=0, para todo x no domínio de f. Se F é diferenciável, podemos usar a Regra da 218

5 Livro de Cálculo II Cadeira para diferenciar ambos os lados da equação F (x, y) =0 com relação a x. Como x e y são ambas funções de x, obtemos: 13 AULA + =0. No entanto, obtemos = 1; então, se 0, resolvemos para e =. (13.1) Para derivar essa equação assumimos que F (x, y) =0define y implicitamente em função de x. O próximo teorema nos fornece condições segundo as quais essa hipótese é válida. Teorema (Teorema da Função Implícita) Seja F : A R 2 onde A é um aberto e F é de classe C k, (k 1) em A. Se F se anula em =(x 0,y 0 ) A e () 0, então existe um intervalo aberto I contendo x 0 e um aberto B A, B com a seguinte propriedade: Para cada x I existe um único ξ(x) R tal que (x, ξ(x)) B e F (x, ξ(x)) = 0, ou seja, F (x, y) =0define y = ξ(x), implicitamente. Exemplo Mostre que existe um intervalo I contendo x 0 = 2, no qual está definida da função y = ξ(x) satisfazendo x 2 + xy + y 2 =7com ξ(2) = 1 e encontre. Solução: Definimos F (x, y) =x 2 + xy + y 2 7. Observemos que F é de classe C em R 2, F (2, 1) = 0 e (2, 1) =

6 Regra da Cadeia e Derivação Implícita Pelo Teorema anterior, existe um intervalo I contendo x 0 =2e uma função y = ξ(x), tais que: x 2 + xξ(x)+(ξ(x)) 2 =7, x I. Ainda: ξ(2)=1,ξé de classe C. Temos então que F (x, y) = 0 define y = ξ(x) implicitamente, logo, usando a fórmula 13.1, obtemos ξ (x) = = = 2x + y x +2y. Em particular, ξ (2) = 5 4. Suponhamos agora que z seja dado implicitamente como uma função z = f(x, y) por uma equação da forma F (x, y, z) =0. Isto é o mesmo que F (x, y, f(x, y)) = 0 para todo (x, y) no domínio de f. Se F e f forem diferenciáveis, utilizamos a Regra da Cadeia para diferenciar a equação F (x, y, z) =0como se segue: + + =0. Mas =1e =0portanto, essa equação se escreve + =0. Se 0, resolvendo para e obtemos: Analogamente, obtemos =. (13.2) =. (13.3) Novamente, uma versão do Teorema da Função Implícita nos dá as condições sob as quais nossa hipótese é válida. Se F 220

7 Livro de Cálculo II C k, (k 1) é definida em um aberto contendo =(x 0,y 0,z 0 ), onde F ( )=0e () 0, então a equação F (x, y, z) =0 define z como uma função de x e y perto do ponto, e as derivadas parciais dessa função são dadas pelas fórmulas (13.2) e (13.3). 13 AULA Exemplo Determine e se exyz = x 2 + y 2 + z 2. Solução: Seja F (x, y, z) =e xyz x 2 y 2 z 2. Então, das equações (13.2) e (13.3), temos = = = yzexyz 2x xye xyz 2z = xzexyz 2y xye xyz 2z Outra maneira: e Assim Temos (exyz )=e xyz ( (xyz) =exyz yz + xy ) ou seja, (x2 + y 2 + z 2 )=2x +2z. ( e xyz yz + xy ) =2x +2z, 2x yzexyz = xye xyz 2z em todo (x, y) D(f) com xye xyz 2z Resumo A Regra da Cadeia é dada pelo seguinte: 221

8 Regra da Cadeia e Derivação Implícita Teorema Sejam x = φ 1 (t) e y = φ 2 (t) diferenciáveis em e z = f(x, y) diferenciável no ponto =(φ 1 ( ), φ 2 ( )). Então z(t) =f(φ 1 (t), φ 2 (t)) é diferenciável em e ainda ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dz dz dφ1 dz dφ2 = +. A Regra da Cadeia pode ser usada para uma descrição do processo de diferenciação implícita. Suponhamos que a equação da forma F (x, y) =0define y implicitamente como uma função diferenciável de x, ou seja, y = f(x), onde F (x, f(x))=0, para todo x no domínio de f. Se F é diferenciável, podemos usar a Regra da Cadeira para diferenciar ambos os lados da equação F (x, y) =0 com relação a x. Como x e y são ambas funções de x, obtemos: No entanto, obtemos + =0. = 1; então, se =. 0, resolvemos para Para derivar essa equação assumimos que F (x, y) =0define y implicitamente em função de x. O próximo teorema nos fornece condições segundo as quais essa hipótese é válida. Teorema (Teorema da Função Implícita) Seja F : A R 2 onde A é um aberto e F é de classe C k, (k 1) em A. Se F se anula em =(x 0,y 0 ) A e () 0, então existe um intervalo aberto I contendo x 0 e um aberto B A, B com a seguinte propriedade: Para cada x I existe um único ξ(x) R tal que (x, ξ(x)) B e F (x, ξ(x)) = 0, ou seja, F (x, y) =0define y = ξ(x), implicitamente. e 222

9 Livro de Cálculo II 13.5 Atividades 01. Calcule dz : (a) z = sen xy, x =3t, e y = t 2. (a) z = ln(1 + x 2 + y 2 ),x= sen 3t, e y = cos 3t. 13 AULA 02. Seja f(x, y) =x 2 + y 2. Considere a curva y = φ(x) =x 3 e calcule: a) (1, 1); dz b) (1). 03. Seja g(t) =f(3t, 2t 2 1). (a) Expresse g (t) em termos das derivadas parciais de f. (b) Calcule g (0) admitindo f (0, 1) = Suponha que, para todo t, f(t 2, 2t) =t 3 3t. Mostre que f (1, 2) = f (1, 2). 05. Considerando a função F (x, y) =f ( ) x y, y. Mostre que x x + y f = A equação y 3 + xy + x 3 =4define implicitamente alguma função diferenciável y = y(x)? Em caso afirmativo, expresse em termos de x e y. (Sugestão: Observe que (0, 3 4) satisfaz a equação e utilize o teorema das funções implícitas para o caso F (x, y) =0) 07. Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y(x). Expresse em termos de x e y. 223

10 Regra da Cadeia e Derivação Implícita (a) x 2 y + sen y = x (b) y 4 + x 2 y 2 + x 4 = Suponha que y = y(x) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação x = F (x 2 + y, y 2 ), onde F (u, v) é suposta diferenciável. Expresse em termos de x, y e das derivadas parciais de F Comentário das Atividades Essas atividades, são referentes aos assuntos discutidos no decorrer desta aula e têm o objetivo de você (aluno) exercitar os conceitos aprendidos. Lembre-se, sempre, que existem tutores para ajuda-los na resolução dessas atividades Referências GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. 1 e 2). Rio de Janeiro: LTC Editora, STEWART, J., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Pioneira Thomson Learning, THOMAS, G. B., Cálculo (vol. 1 e 2). São Paulo: Addison Wesley,