Professor: Danilo Dacar

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1 . (Pucrj 0) Os números a x, a x e a3 x 3 esão em PA. A soma dos 3 números é igual a: é igual a e o raio de cada semicírculo é igual à meade do semicírculo anerior, o comprimeno da espiral é igual a a) 8 b) c) 7 d) e) 30. (Fuves 0) Dadas as sequências an n n, n n cn an an b, e bn d n, definidas para valores ineiros posiivos de bn n, considere as seguines afirmações: I. a n é uma progressão geomérica; II. b n é uma progressão geomérica; III. c n é uma progressão ariméica; IV. d n é uma progressão geomérica. São verdadeiras apenas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV. e) III e IV. 3. (Uece 0) Os números reais posiivos x, y e z são ais que logx, logy, logz formam, nesa ordem, uma progressão ariméica. Nesas condições, podemos concluir aceradamene que enre os números x, y e z exise a relação a) y x z. b) y x z. c) d) z y xy. xz.. (Unicamp 0) Se ( α, α,..., α 3 ) é uma progressão ariméica (PA) cuja soma dos ermos é 78, enão α 7 é igual a a). b) 7. c) 8. d) 9.. (Uece 0) Para qual valor do número ineiro 3 n 0 posiivo n a igualdade é n 0 saisfeia? a) 0. b) 0. c) 0. d) 03.. (Espcex (Aman) 0) Na figura abaixo emos uma espiral formada pela união de infinios semicírculos cujos cenros perencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) a) π. b) π. c) 3 π. d) π. e) π. 7. (Udesc 0) Os números reais a, b e c são ais que a progressão geomérica S {a b, b, 8, } e a progressão ariméica S {c, a b, a c, } possuem razões oposas. Enão, o valor de é a b c igual a: a) 3 b) 0 c) 3 d) e) 0 8. (Unifor 0) Um ciclisa pedala 30km em cincos dias. Cada dia ele pedala 0km a mais do que andou no dia anerior. Assim a disância pedalada pelo ciclisa no primeiro dia foi: a) 3 km b) 0 km c) km d) km 9. (Espcex (Aman) 0) Os números naurais ímpares são disposos como mosra o quadro ª linha ª linha 3 3ª linha 7 9 ª linha ª linha O primeiro elemeno da 3ª linha, na horizonal, é: a) 807 b) 007 c) 307 d) 07 e) (Unicamp 0) Dizemos que uma sequência de números reais não nulos (a, a, a 3, a,...) é uma progressão harmônica se a sequência dos inversos,,,,... é uma progressão ariméica a a a3 a (PA).

2 a) Dada a progressão harmônica,,,..., 9 enconre o seu sexo ermo. b) Sejam a, b e c ermos consecuivos de uma ac progressão harmônica. Verifique que b. a c. (Ucs 0) Uma culura de bacérias inha, no final do primeiro dia, k indivíduos; no final do segundo dia, o dobro de k; no final do erceiro dia, o riplo de k; e, assim, sucessivamene. Se, no final do vigésimo dia, havia 0, 0 indivíduos, qual era o número de indivíduos no final do primeiro dia? a) 0 b), 0 c), 0 d) 0 3 e), 0. (Unicamp 0) O perímero de um riângulo reângulo é igual a,0 m e as medidas dos lados esão em progressão ariméica (PA). A área desse riângulo é igual a a) 3,0 m. b),0 m. c), m. d) 3, m. 3. (Ime 0) Em uma progressão ariméica crescene, a soma de rês ermos consecuivos é S e a soma de seus quadrados é S. Sabe-se que os dois maiores desses rês ermos são raízes da equação x Sx S 0. A razão desa PA é a) b) c) d) 3 e). (Espm 0) A figura abaixo mosra a rajeória de um móvel a parir de um pono A, com BC CD, DE EF, FG GH, HI IJ e assim por diane. c) 80 m d) 9 m e) 00 m. (Unesp 03) A soma dos n primeiros ermos de uma progressão ariméica é dada por 3n n, onde n é um número naural. Para essa progressão, o primeiro ermo e a razão são, respecivamene, a) 7 e. b) e. c) e. d) e 7. e) e 7.. (G - ufpr 03) A quanidade de números ineiros enre 0 e 00 que sejam múliplos dos números 3 e ao mesmo empo é: a) 3. b). c). d) 3. e) (Mackenzie 03) Em uma progressão ariméica o primeiro ermo é e a razão é. Nessa progressão, a média ariméica ponderada enre o erceiro ermo, com peso, e 0% da soma dos cincos primeiros ermos, com peso 3, é a) b) 3 c) d) 7 e) 9 8. (Unesp 03) A sequência dos números n 3 n, n, n 3,, n i, esá definida por ni, ni ni para cada ineiro posiivo i. Deermine o valor de n (Espm 03) Um emprésimo de R$ 0.000,00 foi pago em parcelas mensais, sendo a primeira, de R$.000,00, efeuada 30 dias após e as demais com um acréscimo de 0% em relação à anerior. Pode-se concluir que a axa mensal de juros simples ocorrida nessa ransação foi de aproximadamene: a),78% b),% c) 3,8% d),% e),% Considerando infinia a quanidade desses segmenos, a disância horizonal AP alcançada por esse móvel será de: a) m b) 7 m

3 0. (Fgv 03) Um capial A de R$0.000,00 é aplicado a juros composos, à axa de 0% ao ano; simulaneamene, um ouro capial B, de R$.000,00, ambém é aplicado a juros composos, à axa de 8% ao ano. Uilize a abela abaixo para resolver. x lo 0,3 0, 0, 0,7 0,7 0,8 0,9 0,9 g x Depois de quano empo os monanes se igualam? a) meses. b), meses. c) 3 meses. d) 3, meses. e) meses. 3

4 Gabario: Tem-se que Resposa da quesão : Considerando a P.A. na ordem dada, emos: P.A. (x, x, x 3) y z log y log x logz log y log log x y Uilizando a propriedade de uma P.A, emos: x x 3 Resposa da quesão : x x 8 x 8 9x 3 x [A] y z x y y xz. Logo, a P.A. será (, 8, ). Porano, a soma do rês números será: a a a3 8. Resposa da quesão : [I] Falsa. Tem-se que a n (n ). Logo, como a razão n a n (n 3) a (n ) n não é consane, segue que a n não é uma progressão geomérica. [II] Falsa. De fao, a razão (n ) b n n n n n b n n não é consane. Daí, podemos concluir que b n não é uma progressão geomérica. [III] Verdadeira. A diferença enre quaisquer dois ermos consecuivos da sequência c n é an a n (n ) (n ) (n n ) n n n n n n. Desse modo, c n é uma progressão ariméica de primeiro ermo 3 e razão igual a. n [IV] Verdadeira. De (II), emos dn, que é uma progressão geomérica de primeiro ermo 8 e razão igual a. Resposa da quesão 3: [D] Como α 7 é o ermo médio da progressão ariméica, seguese que 78 α7 3 e, porano, emos α7. Resposa da quesão : Tem-se que n n 3 n 0 0 n 0 n 0 n n 0 n 0 n 0. Resposa da quesão : Comprimeno de uma semicircunferência de raio πr r : π r Logo, a soma pedida será dada por: S π π π π 8... S π ( 8...) S π S π Resposa da quesão 7: Sejam q e r, respecivamene as razões de S e S. De S, vem (a b) c ( a c) b a.

5 Logo, em-se que S {a, a, 8, } e, porano, a q. Em consequência, dado que q e r são a oposas, enconramos r e 8, o que implica em a a 3. Daí, emos b e c, pois b a e a b c. Por conseguine, o valor de a b c é 0. Resposa da quesão 8: Seja n a disância, em quilômeros, pedalada pelo ciclisa no primeiro dia. Dado que o ciclisa pedala 0km a mais do que pedalou no dia anerior, vem n n 0 n 0 n 30 n 0 30 n 0 Resposa da quesão 9: n km. Aé a a linha, emos: () ermos. Porano, o primeiro elemeno da 3ª linha será o 90º número naural ímpar. Enão: a Resposa da quesão 0: a) Se a progressão,,, 9 9 sequência,,, é harmônica, enão a é uma progressão ariméica de razão 9. Daí, seu sexo ermo é dado por a. Em consequência, o resulado pedido é. b) Sabendo que em oda progressão ariméica cada ermo é igual à média ariméica do seu anecessor e do seu sucessor (exceo o primeiro e o úlimo), em-se a c a c b b ac ac b. a c Resposa da quesão : Tem-se que 0 k 0, 0 k, 0. Resposa da quesão : Sejam x, x r e x r as medidas, em meros, dos lados do riângulo, com x, r 0. Aplicando o Teorema de Piágoras, enconramos x 3r. Logo, os lados do riângulo medem 3r, r e r. Sabendo que o perímero do riângulo mede,0 m, vem 3r r r r. Porano, a área do riângulo é igual a 3r r, m. Resposa da quesão 3: Considerando os rês números me P.A. (a r), a e (a r), emos: S (a r) a (a r) 3a S (a r) a (a r) 3a r Logo, x Sx S 0 x 3ax 3a r 0 As raízes da equação são a e (a r). Logo: a a r 3a a r a (a r) 3a r

6 Como a r, emos: r (r r) 3r r 3r r Como r 0, emos: r. Resposa da quesão : Pelo Teorema de Piágoras aplicado no riângulo ABC, enconramos facilmene AC 0 m. Os riângulos ABC, CDE, EFG, são semelhanes por AA. Logo, como a razão de semelhança é igual a CD 3, segue-se que AC 0 m, CE m, AB EG m, consiuem uma progressão geomérica cujo limie da soma dos n primeiros ermos é dado por 0 80 m. 3 Resposa da quesão : P.A.( a, a, a 3, a,...) a S 3.. a a S a 8 a 7 Razão r = 7 =, porano a = e razão r =. Resposa da quesão : MMC(3,) = Múliplos de são múliplos de 3 e de ao mesmo empo. Múliplos de enre 0 e 00 (0, 7,..., 8, 9). 3 n n 3 n Resposa da quesão 7: [D] O erceiro ermo da P.A. será dado por: a 3 = +. = 0 O quino ermo da P.A. será dado por: a = +. = 8 A soma dos cinco primeiros ermos será dada por: S 8 0. Logo, a média M pedida será dada por: 0 3 0, 0 0 M 7. Resposa da quesão 8: Temos nk 3, n k, n k3, n k, nk 7 3 e 7 n k, para odo k naural. Porano, n03 n 333. Resposa da quesão 9: Como as parcelas crescem segundo uma progressão geomérica de razão, e primeiro ermo igual a 000, segue que o monane pago foi de (,) ,0, R$.0,0. Logo, os juros cobrados correspondem a 0, 0000 R$.0,0 e, porano, a axa de juros simples na ransação é igual a 0, 00%,% Resposa da quesão 0: Temos MA 0000 (,) e MB 000 (,8). Logo, Uilizando a fórmula do ermo geral da P.A., emos: 9 = 0 + (n ) (em que n é o número de múliplos de enre 0 e 00)

7 , (,) 000 (,8), log(,) log (log log7 log0) log (0,3 0,8 ) 0,3 0,30 0,. Porano, os monanes se igualarão, aproximadamene, após anos (ou meses). 7

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