Seção 5: Equações Lineares de 1 a Ordem

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1 Seção 5: Equações Lineares de 1 a Ordem Definição. Uma EDO de 1 a ordem é dia linear se for da forma y + fx y = gx. 1 A EDO linear de 1 a ordem é uma equação do 1 o grau em y e em y. Qualquer dependência mais complicada é exclusivamene na variável independene x. Jusificaiva para o nome. Consideremos a ransformação que a cada função y = yx associa uma nova função Ly = y + fx y. Por exemplo, dada a EDO linear y + x 2 y = e x, consideramos a ransformação y Ly = y + x 2 y. Temos, L sen x = cos x + x 2 sen x. A ransformação y Ly é lnear, iso, é, Ly 1 + y 2 = Ly 1 + Ly 2 Lcy = cly Assim, uma equação diferencial linear é uma equação do ipo Ly = gx, onde L é um operador diferencial linear de 1 a ordem. Méodo de Resolução. Uma EDO linear y +fx y = gx admie sempre um faor inegrane dependendo somene da variável x. De fao, emos que pode ser reescria como dy + fx y gx = 0, dx fx y gx dx + dy = 0. Muliplicando por µx, emos fx y gx µx dx + µx dy = 0. A condição necessária para que esa úlima equação seja exaa é que fx y gx µx y = µx ou seja, Separado as variáveis, vamos er Logo, o faor inegrane é fx µx = µ x. dµ dx = fx µx, dµ = fx dx, ln µx = µ x, fx dx. µx = e R fx dx 2 Noe que muliplicando a EDO 1 pelo faor inegrane 2, obemos er fx dx y + fxer fx dx y = er fx dx gx. 3

2 Levando em cona que e R fx dx R = e fx dx fx, podemos escrever 3 na forma er fx dx y = e R fx dx gx. Basa agora inegrar os dois lados e enconramos a solução da EDO. Conclusão: Muliplicando a EDO linear 1 pelo faor inegrane 2, obemos uma nova equação, cujo lado direio é a derivada de um produo. NOTA: O méodo de resolução acima foi deduzido para o caso em que o coeficiene de y é 1. Se não for, é preciso primeiro dividir por esse coeficiene, para orná-lo igual a 1. Exemplo 1. Resolver a EDO y + 3y = x. Um faor inegrane para a equação diferencial acima é µ = er 3 dx = e 3x. Observe que na inegral acima não somamos uma consane de inegração, o que é o mesmo que escolher a consane de inegração como sendo 0. Iso, aqui, é legíimo, pois esamos querendo descobrir um faor inegrane e não o faor inegrane mais geral possível. Muliplicando a equação diferencial pelo faor inegrane µ = e 3x, emos e 3x y + 3e 3x y = xe 3x. 4 Como vimos acima, o lado esquerdo de 4 deve ser a derivada de um produo. Para descobrir quais são os faores dese produo, noamos que o ermo e 3x y deve ser o primeiro vezes a derivada do segundo. Porano o primeiro é e 3x. Conluímos que e 3x y = xe 3x. Por inegração, enconramos e 3x y = xe 3x dx = xe3x 3 e3x 9 + C. A solução geral é y = x C e 3x. Exemplo 2. Resolver a EDO y + x 1 y = e 2x. Como o coeficiene de y não é 1, começamos dividindo por ese coeficiene, Um faor inegrane para a equação 5 é y + x 1 y = e 2x. 5 x 1 µ = e dx. Calculamos a inegral x dx = dx = dx = x + ln. 2

3 Conforme explicado no exemplo 1, na inegral acima a consane de inegração foi escolhida como sendo 0, pois esamos querendo descobrir um faor inegrane e não o faor inegrane mais geral possível. Enconramos µ = e x. Muliplicando 5 por ese faor, emos e x y + x 1 e x y = e x. 6 Como vimos acima, o lado esquerdo de 6 deve ser a derivada de um produo. Para descobrir quais são os faores dese produo, noamos que o ermo e x y deve ser o primeiro vezes a derivada do segundo. Conluimos que x 2 e x y = e x e, por inegração, e x y = e x + C. A solução geral é y = e 2x + C e x. Problema. No insane 0 = 0 o ar em um recino de m 3 coném 0,12% de CO 2. Nese insane começa a ser bombeado para o inerior do recino ar com 0,04% de CO 2 à razão de 150 m 3 /min. Supondo que o ar denro do recino misura-se insananeamene, enconre a concenração de CO 2 10 min mais arde. Solução: Seja Q o volume que é ocupado pelo CO 2 no insane. Consideremos o inervalo de empo enre os insanes e +. Queremos deerminar a variação Q ocorrida nese inervalo de empo. O volume de ar que enra sai do anque durane ese inervalo é V = 150 No volume V = 150 que enra, a quanidade de CO 2 é = 0.06 Por uma regra de 3, no volume V = 150 que sai, a quanidade de CO 2 é aproximadamene Q = Q A igualdade é aproximada, pois, ao longo do inervalo de empo, Q não permanece consane. Porano Q 0.06 Q Quano menor o inervalo de empo melhor vai ser a aproximação. O erro desaparece no limie para 0. Para não ober uma igualdade rivial 0 = 0, primeiro dividimos por, Fazendo 0, obemos a EDO Q 0.06 Q dq d + 1 Q =

4 O problema nos dá uma condição inicial Devemos resolver o PVI Q0 = dq d + 1 Q = 0.06 Q0 = = Muliplicando nossa EDO linear pelo faor inegane µ = e R 1 d = e, obemos e dq d + 1 e Q = 0.06 e, i.e. e Q = 0.06 e. Inegrando, eonconramos e Q = Porano a solução geral da EDO é 0.06 e d = 0.06 e + C. Q = Ce. Uilizando a condição inicial Q0 = 12.96, deerminamos C. De fao, para = 0, = C. Logo a expressão de Q em um insane qualquer é Q = Q = e. Após 10 min, i.e, no insane = 10, Q10 = e 10. A concenração vai ser de e por ceno Aplicação. Queda de um corpo em um meio que ofereça resisência. Suponhamos um corpo de massa m que cai em um meio ar, água, óleo que oferece resisência. Consideremos como sendo posiiva o senido para baixo. A velocidade v é posiiva. Sobre o corpo que cai ajem duas forças, o seu peso mg, que é posiivo, e a resisência do meio F r, que em senido oposo ao da velocidade e é, porano, negaiva. Da 2 a lei de Newon, emos m dv d = gm + F r é negaiva. Para velocidades não muio grandes, obemos uma boa descrição do movimeno, se considerarmos o modelo em que F r é direamene proporcional à velocidade, iso e, a EDO m dv d = gm k v, k > 0 consane. Nese caso a EDO é linear. Em ouros problemas envolvendo velocidades mais alas, como movimeno de projéeis, pode-se er uma descrição melhor considerando a velocidade direamene proporcional, por exemplo, ao quadrado da velocidade, i.e. m dv d = gm k v2, k > 0 consane. 4

5 Vamos aqui considerar o modelo linear. Exemplo. Um paraquedisa pula de grande alura. Depois de 10 seg abre seu paraquedas. Ache a velocidade depois de 15 seg. Ache ambém a velocidade erminal, sendo dados: A massa do paraquedas+paraquedisa é 80 kg. A resisência do ar com o paraquedas fechado vale 1 v e com o paraquedas abero vale 2 10 v. Vamos aqui considerar o modelo linear. Solução: Pela 2 a lei de Newon 80 dv d + 1 v = 800. Assim os primeiros 10 seg são governados pelo PVI 2 80 dv d v = 800 v0 = 0 Escrevendo a equação como v v = 10 e muliplicando pelo faor inegrane er d = e emos e 160 v e 160 v = 10 e 160, ou seja e 160 v = 10 e 160, e 160 v = 10 e 160 d = 1600 e C. 160, A solução geral da EDO é v = Ce 160. Usando a condição inicial v0 = 0, emos C = Logo, nos primeiros 10 seg da queda a velocidade como função do empo vale v = e 160, para A seguir, para > 10, a força de resisência do ar passa a valer F r = 10v. A EDO oma a forma 80 dv d + 10 v = 800, para 10 < < +, e o valor v10 = e , calculado da solução no recho 0 < < 10, passa a ser a condição inicial. Porano para ober v no inervalo 10 < < +, devemos resolver o PVI 80 dv + 10 v = 800, d v10 = e < < + Como acima, v v = 10, µ = er 1 8 d = e 8, e 8 v e 8 v = 10 e 8, e 8 v = 10 e 8, e 8 v = 10 e 8 d, e 8 v = 80 e 8 + D. A solução geral é v = 80 + De 8. Uilizando a condição inicial v10 = e 1 16, emos e 1 16 = 80 + De 10 8 e D = 1520 e e Porano, no segundo recho da queda, depois de 10 seg, quando abre o paraquedas, a velocidade vale v = e e 16 e 8, para 10 <

6 Assim o salo do paraquedisa é descrio por 7 e 8. Para achar a velocidade depois de 15 seg basa subsiuir = 15 em 8, v15 = e e 16 e A velocidade erminal, quando exise, é o limie da velocidade, quando +. No presene exemplo, como e 8 0, exise uma velocidade erminal, lim v = lim e e 16 e 8 = 80. A velocidade erminal é v = 80 m/seg. 6