Matemática para a Economia II - 7 a lista de exercícios Prof. Juliana Coelho

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1 Matemática para a Economia II - 7 a lista de exercícios Prof. Juliana Coelho - Cacule a integral dupla I fx, y) dxdy onde f e R são dados abaixo. R a) fx, y) x + y e R [, ] [, ]; b) fx, y) x + xy + e R [, ] [, 4]; c) fx, y) xe y e R [, ] [, ]; d) fx, y) e x y + ye y e R [, ] [, ]; e) fx, y) y x e R [, 8] [, ]; f) fx, y) x e R [, ] [, ]. xy + - Calcule os volumes dos sólidos W descritos abaixo. a) W é o sólido limitado superiormente pelo plano z x + y e inferiormente pelo plano xy com x e y ; b) W é o sólido limitado superiormente pela superfície z 8x y inferiormente pelo plano xy com x e y. - Considere a função de freqüência conjunta 4x y se x e y ; fx, y) caso contrário. Calcule a probabilidade de que X seja maior que e Y seja menor que. 4 - Considere a função Kx + xy + ) se x e y 4; fx, y) caso contrário onde K é um número real. a) Calcule K para que fx, y) seja uma função de freqüência conjunta; b) Usando o valor de K encontrado em a), calcule a probabilidade de que X seja menor que e Y seja maior que ; c) Usando o valor de K encontrado em a), calcule a probabilidade de que X seja maior que e Y seja menor que. 5 - Considere a função K xy) se x e y ; fx, y) caso contrário

2 onde K é um número real. a) Cacule K para que fx, y) seja uma função de freqüência conjunta; b) Calcule a probabilidade de que X seja menor que e Y esteja entre e. 6 - Calcule o valor esperado de X e de Y para cada função de freqüência conjunta abaixo. a) fx, y) 8 x y ) se x e y ; caso contrário. b) fx, y) x + xy + ) se x e y 4; caso contrário Respostas: - a) A integral procurada é I x + y Integrando primeiro em x temos R [ ] x ) ) x + y dx + xy + y y y. [ y y dy ] ) ). b) A integral procurada é I R x + xy + Integrando primeiro em x temos [ x x + xy + dx + x y y dy ] + x 7 + 9y + ) + y ) y. ] 4 [68y + 8y ) ). c) A integral procurada é I R xey Integrando primeiro em x temos [ x xe y e y dx ] e y ) e y ) e y. e y dy [e y ] e ) e ) e. d) A integral procurada é I R ex y + ye y Integrando primeiro em x temos que calcular e x y + ye y dx Para resolver esta integral usaremos o método de substituição para calcular e x y dx. Tomamos u x du dx dx du

3 Logo, temos e x y dx e u y du eu y ex y e assim, e x y + ye y dx I [ e x ] y + xye y e ) y e ) y + ye y + ye y e e y + ye y e e ) y + ye y dy. Para calcular ye y dy usaremos novamente o método da substituição. Tomamos u y du dy y dy du y. Logo Assim I ye y dy ye u du y e u du e u e y. e e ) y + ye y dy [ e e ] y + ey [ e e ] [ + e e ] e + e e e 6 + e. e) A integral procurada é I R y x Integrando primeiro em x temos 8 y x dx 8 [ yx yx / 4/ dx 4/ 6y 8 4/) ] 8 [ ] 6yx 4/ 8 4 6y 4/) 6y 6) 6y ) 96y f) A integral procurada é I método da substituição. Temos que calcular 96y dy [ 48y ] 48) ) 48. R x Aqui vamos integrar primeiro em y e usar o xy + x xy + dy,

4 para isso, tomamos Assim, temos que Portanto x xy + dy u xy + du dy x dy du x. x du u x du lnu) lnxy + ). u x xy + dy [lnxy + )] lnx + ) ln) lnx + ), pois ln). Assim, a integral dupla é I lnx + ) dx. Novamente podemos usar o método da substituição para calcular esta integral. Tomamos e logo u x + du dx du dx lnx + )dx lnu)du u lnu) u x + ) lnx + ) x + ). Portanto, a integral dupla procurada é I lnx + ) dx [x + ) lnx + ) x + )] ln) ) ln) ) ln). - a) O volume procurado é dado pela integral dupla I x + y Temos R [ ] x x + y dx + xy + y e portanto o volume é I [ ] y + y dy + y + ) + ). b) O volume procurado é dado pela integral dupla I R 8 x y Temos e portanto o volume é I 8 x y dx ] [8x x xy 4 y [ ] 4 4y y dy y 8 6 ) ). - A probabilidade procurada é P X >, Y < ) 4 4 x y

5 Temos e logo 4 x y dx [ 4x x xy ] ) ) 4 y y y [ y y P X >, Y < ) dy ) ) , 5. ] y. Assim, a probabilidade de que X seja maior que e Y seja menor que é de 5%. 4 - a) Para que função fx, y) seja uma função de freqüência conjunta, devemos ter R fx, y) dxdy. Deste modo, precisamos ter que 4 Vamos então calcular esta integral dupla. Temos Kx + xy + ) dxdy. Kx + xy + ) dx [ Kx + x y + x) ] Deste modo, temos que ter 4 K7 + 9y + )) K + y )) K68 + 8y). Kx + xy + ) dxdy 4 K68 + 8y) dy [K68y + 4y )] 4 K7 + ) K6 + 6) K ou seja, K, implicando que K /. b) A probabilidade de que X seja menor que e Y seja maior que é P X <, Y > ) Calculando primeiro em x, temos x [ + xy + x + x y + x dx Assim, P X <, Y > ) 4 ] x + xy + ) ) + y + + y 4 [ )] 4 y y dy y ) 44 8) 9 )) y.

6 Logo, a probabilidade de que X seja menor que e Y seja maior que é aproximadamente 4%. c) A probabilidade de que X seja maior que e Y seja menor que é P X >, Y < ) Calculando primeiro em x, temos x [ + xy + x + x y + x dx Assim, temos ] x + xy + ) ) 7 + 9y + + y y. P X >, Y < ) [ )] y 57y dy + 9 y )) )) Logo, a probabilidade de que X seja maior que e Y seja menor que é aproximadamente 4%. 5 - a) Para que função fx, y) seja uma função de freqüência conjunta, devemos ter R fx, y) dxdy. Deste modo, precisamos ter que K xy) dxdy. Vamos então calcular esta integral dupla. Temos [ )] K xy) dx K x x y K y )) K y )) Deste modo, temos que ter 6K. ou seja, 78K, implicando que K /78. K xy) dxdy [6Ky] 78K K 78K 6K dy b) A probabilidade de que X seja menor que e Y esteja entre e é Calculando primeiro em x, temos xy 78 dx P X <, < Y < ) xy 78 [ )] ) x x y y) y ) ) 6 + y

7 Assim, temos P X <, < Y < ) 56 [ )] 6 + y 6y 56 dy + y )) 6 + )) Logo, a probabilidade de que X seja menor que e Y esteja entre e é aproximadamente 7,6%. 6 - a) O valor esperado para X é E X R xfx, y) Assim, temos E X x 4 x y dxdy Integrando primeiro em x temos 4x x xy [ dx x x4 4 x y )] )) 484 y 48 Assim, o valor esperado para X é 6 6y [ 6y y E X dy Assim, o valor esperado para X é,875. ] 4x x xy )) 4 y 6 6y ) 7 6 ) 56. O valor esperado para Y é E Y R yfx, y) Assim, temos E Y Integrando primeiro em y temos Assim, o valor esperado para Y é y 4 x y dxdy 4y y yx dy E Y 6 6x 4y x y y 6 6x dx 56. Assim, o valor esperado para Y é igual ao valor esperado para X e é,875. b) O valor esperado para X é E X R xfx, y) Assim, temos E X 4 Integrando primeiro em x temos x + x y + x dx x x + xy + dxdy 4 x + x y + x [ )] x x y + 5x y )) y )) y ) 7

8 Assim, o valor esperado para X é E X y ) [ dy Assim, o valor esperado para X é aproximadamente, 7. )] 4 y + 8y, 7 O valor esperado para Y é E Y R yfx, y) Assim, temos E Y 4 Integrando primeiro em x temos y x + xy + dxdy 4 x y + xy + y x y + xy + y dx [ x y + x y ] + xy 7y + 9y ) + y y + y ) y 68y + 8y Assim, o valor esperado para Y é E Y y + 8y [ )] 4 dy 4y + 8y )), Assim, o valor esperado para Y é aproximadamente, )) 8

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