figura 1 Vamos encontrar, em primeiro lugar, a velocidade do som da explosão (v E) no ar que será dada pela fórmula = v

Transcrição

1 Dispara-se, segundo um ângulo de 6 com o horizone, um projéil que explode ao aingir o solo e oue-se o ruído da explosão, no pono de parida do projéil, 8 segundos após o disparo. Deerminar a elocidade inicial do projéil e o alcance do iro, sabendo que os ponos de parida e de chegada esão no mesmo plano horizonal e que a emperaura do ar é de 5º C; supor a elocidade do som no ar a º C igual a m/s e g m/s. squema do problema Dados do problema figura ângulo de disparo: α 6º; empo decorrido enre o disparo e a explosão: 8 s; emperaura do ar: θ 5º C, elocidade do som à º C: m/s; aceleração da graidade: g m/s. olução Vamos enconrar, em primeiro lugar, a elocidade do som da explosão ( ) no ar que será dada pela fórmula θ ,8 m/s como a elocidade do som da explosão esá no senido conrário à orienação da rajeória ela erá sinal negaio, assim 46,6 m/s (I) O empo decorrido enre o disparo e a explosão será o empo que o projéil lea para percorrer a rajeória ( ) somado ao empo que o som da explosão lea para olar ( ), iso é dado como sendo 8 s, podemos enão escreer (II)

2 ara enconrarmos a elocidade inicial e o alcance do projéil começamos escreendo as equações do moimeno, ese pode ser decomposo em dois moimenos separados, como mosra a figura. figura Ao longo do eixo x emos um Moimeno Reilíneo Uniforme (M.R.U.), não há aceleração auando nesa direção. e omarmos ineralos de empos iguais, enão, os ineralos x, x, x, x, x x ) de espaço percorrido serão odos iguais. O som da explosão ( 4 5, 6 ambém se deslocará ao longo do eixo x com elocidade consane desde D aé a origem. Ao longo do eixo y emos um Moimeno Reilíneo Uniformemene Variado (M.R.U.V.); a aceleração da graidade esá auando nesa direção. e omarmos ineralos de empos iguais, eremos, primeiramene que, durane a subida do projéil os ineralos percorridos serão cada ez menores ( Α y > Α y > Α y ), a aceleração da graidade aua no senido para baixo diminuindo a elocidade do móel a medida que ese sobe, em segundo lugar quando o projéil esá descendo a aceleração da graidade aumena a elocidade do móel, enão os espaços percorridos serão cada ez maiores ( Α y 4 < Α y 5 < Α y 6 ). A elocidade do projéil que é dada formando um ângulo de 6º com o eixo x ambém pode ser decomposa ao longo dos eixos x e y, pela figura emos o eor r que represena o eor elocidade inicial do projéil que será decomposo no eor r x da elocidade na direção x e erá o módulo dado por que represena a componene cosα (III) x e r y que é a componene na direção y com módulo igual a figura senα (IV) y a equação do moimeno ao longo do eixo x será da forma x x + como o projéil pare da origem x, é empo que o projéil lea para percorrer a rajeória aé o alo (de aé D) e x é dado pela expressão (III) x x cosα

3 onde α 6º e cos 6 enão a equação fica x (V) Ao longo do eixo y a equação do moimeno erá a seguine forma + + y y o projéil pare da origem enão y, é o empo para percorrer a rajeória (subir e descer), y dado pela expressão (IV) e a aceleração a g dado no problema, como a aceleração da graidade esá no senido conrário da orienação da rajeória ela será negaia g m/s y a y senα onde α 6º e sen 6 enão a equação fica (VI) y 4,9. ara o moimeno em y podemos escreer ambém a equação para a elocidade do projéil na forma y y y + a senα g y 9, 8 (VII) O empo que o projéil leará para aingir a alura máxima pode ser calculado usando a equação (VII) quando a componene da elocidade na direção y se anula, nesa direção o projéil para e sua elocidade inere o senido (a componene na direção x não sofre aleração, ele coninua indo para frene). endo o empo de subida do projéil e fazendo-se y emos (VIII(. O empo oal para o projéil percorrer a rajeória será o empo de subida somado ao empo de descida, como eses são iguais, o empo oal será o dobro do alor enconrado em (VIII)..

4 O alcance do projéil pode ser calculado com a equação (V) onde x D e o empo para percorrer oda a rajeória será o alor calculado acima em (IX) D. D (X) A propagação do som ambém obedece a equação do Moimeno Reilíneo Uniforme (M.R.U.), para o som o espaço inicial será o pono da explosão D, e para a elocidade inicial será usado o alor enconrado em (I), enão + D, (XI) o espaço final será a origem de onde o iro foi disparado igual a zero ( ), o empo pode ser obido da equação (II) isolando-se, 8, de forma que ( 8 ) D 46,8. para D usamos o alor de (X) e para subsiuímos o alor de (IX),88 46, , ,8. + 6,9 64,4 sa é uma quação do.º grau em, resolendo em b 4. a. c ( 6,9 ) 4.,88. ( 64,4 ) 756,8 + 97,5 5954, 57 b ± a 6,9 ± 5954,5.,88 6,9 ± 77,6,76 as raízes serão 9, e 786,7 como escolhemos que o canhão dispara na direção posiia do referencial desprezamos a raiz negaia, a solução será 9,m/s 4

5 ubsiuindo ese alor na expressão (X) para o alcance oberemos D.( 9, ) D 77,4 m 5