Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo

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1 PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSIA Prof. Anderson oser Gaudio Deparameno de Física enro de iências Eaas Universidade Federal do Espírio Sano hp:// Úlima aualização: 1/07/005 15:50 H RESNIK, HALLIDAY, KRANE, FÍSIA, 4.ED., LT, RIO DE JANEIRO, FÍSIA 1 apíulo 11 - inemáica Roacional Problemas

2 Prof. Anderson oser Gaudio Depo. Física UFES Problemas Resolvidos 04. Uma roda gira com aceleração angular α dada por 3 α = 4a 3b onde é o empo e a e b são consanes. Se a roda possui velocidade angular inicial ω 0, escreva as equações para (a) a velocidade angular da roda e (b) o ângulo descrio, como função do empo. (Pág. 5) (a) Vamos parir da equação dada: d ω = 3 4a 3b d 3 ( 4 3 ) dω = a b d ω ω 0 3 dω = ( 4a 3b )d 4 3 ω ω 0 = a b 4 3 ω = ω 0 + a b 0 (b) Vamos parir do resulado do iem (a): dθ 4 3 = ω0 + a b d 4 3 ( ω0 ) dθ = + a b d θ θ dθ = ( ω0 + a b ) d 0 a b θ θ0 = ω a b θ = θ0 + ω Qual é a velocidade angular (a) do poneiro de segundos, (b) do poneiro de minuos e (c) do poneiro de horas de um relógio? (Pág. 5) (a) (b) ω = Δθ = π = 0, rad/s Δ ( 60 s) ω 0,105 rad/s Δθ π ω = = = Δ ( s) 3 1, rad/s ap. 11 inemáica Roacional

3 Prof. Anderson oser Gaudio Depo. Física UFES (c) ω 3 1,75 10 rad/s Δθ π ω = = = Δ ω ( s) 4 1, rad/s 4 1, rad/s 09. Uma roda de 30 cm de raio possui oio raios. Ela esá monada em um eio fio e gira à razão de,5 rev/s. Você deseja airar uma flecha de 4 cm de comprimeno aravés da roda, paralelamene ao seu eio, sem ocar seus raios. Admia que ano a flecha como os raios são muio finos; veja a Fig. 14. (a) Qual é a velocidade mínima que a flecha pode er? (b) É imporane o pono, enre o eio e a borda da roda, que você mira? Em caso afirmaivo, qual a melhor localização? (Pág. 5) (a) A condição mínima para que a flecha consiga passar pela roda é que o empo para a flecha percorrer seu próprio comprimeno (l), f, deve ser igual ao empo requerido para a roda percorrer 1/8 de sua circunferência, r : f = r l 1/8 = v ω v= 8ωl v = 4,8 m/s (b) A disância que a flecha passa pela roda medida a parir do cenro não é imporane. Embora o espaço disponível para a flecha passar próima ao cenro seja menor, a velocidade angencial da roda nessa região ambém é proporcionalmene menor. 14. omo pare de uma inspeção de manuenção, a urbina de um moor a jao é posa a girar de acordo com o gráfico mosrado na Fig. 15. Quanas revoluções esa urbina realizou durane o ese? ap. 11 inemáica Roacional 3

4 Prof. Anderson oser Gaudio Depo. Física UFES (Pág. 5) Vamos dividir o inervalo oal de 5 s em rês subinervalos: A (0 s 1 s), B (1 s 3,5 s) e (3,5 s 5 s). Em A e o movimeno é acelerado e em B o movimeno é com velocidade angular consane. O número de revoluções pode ser calculado direamene pela variável Δφ, uma vez que se use ω em rev/s e α em rev/s. O número oal de revoluções será: Δ φ =Δ φa +Δ φb +Δ φ álculo de Δφ A : 1 φ = φ0 + ( ω0 + ω ) Δ φ = 1 1 A ( A0 A) 0 ( 300 rev/s ) (1 ) ω + ω = + s Δ = rev φ A álculo de Δφ B : B φ = φ0 + ω ( 300 rev/s )(,5 ) Δ φ = ω = s B B Δ = rev φ B álculo de Δφ : 1 φ = φ0 + ( ω0 + ω ) Δ φ = 1 1 ( 0 ) 0 ( rev/s 0 ) (1,5 ) ω + ω = + + s Logo: Δ φ =.50 rev Δ φ = rev É evidene que esa mesma resposa pode ser obida de maneira mais conforável a parir do gráfico ω (), que foi dado. Vejamos: dφ ω () = d dφ () = ω d () () ap. 11 inemáica Roacional 4

5 Prof. Anderson oser Gaudio Depo. Física UFES Δ φ = () () 0 ω d Porano, a área compreendida no gráfico ω (), no inervalo enre 0 e corresponde ao deslocameno angular Δφ. omo o gráfico apresenado é um rapézio, sua área será: ( B + bh ) A = Onde B é a base maior e b é a base menor do rapézio. [ ] ( Δ ) (5 s 0) (3,5 s 1 s) (3.000 rev/s) 0 i +Δs Δω + Δ φ = = Δ φ = rev 9. Um pino rosqueado com 1,0 volas/cm e diâmero 1,18 cm é monado horizonalmene. Uma barra com um furo rosqueado de forma a se ajusar ao pino é aparafusada nele; veja a Fig. 17. A barra gira a 37 rev/min. Quano empo levará para a barra se mover 1,50 cm ao longo do pino? A velocidade (v) com que a barra avança no pino é dada por: ω l v = = λ (Pág. 6) Nesa equação ω é a velocidade angular da barra, λ é a densidade linear de volas da rosca e l é a disância que a barra avança num empo. Logo: λl = = 0,07594 min 4,6 s 34. Um méodo anigo de se medir a velocidade da luz uiliza uma roda denada girane. Um feie de luz passa por uma fenda na borda da roda, como na Fig. 18, propaga-se aé um espelho disane e reorna à roda no empo eao para passar aravés da fenda seguine na roda. Uma desas rodas denadas possui raio de 5,0 cm e 500 denes em sua borda. Medidas omadas quando o espelho se enconrava à disância de 500 m da roda indicaram uma velocidade de 3,0 ap. 11 inemáica Roacional 5

6 Prof. Anderson oser Gaudio Depo. Física UFES 10 5 km/s. (a) Qual era a velocidade angular (consane) da roda? (b) Qual era o módulo da velocidade linear de um pono em sua borda? (Pág. 6) (a) O empo de ida e vola da luz é igual ao empo que a roda leva para girar Δφ = π/500 rad. Para a luz: Δs L v = c = = Δ luz L luz = (1) c Para a roda: ω = Δφ = π Δ 500. roda π roda = () 500ω Igualando-se (1) e (): L π = c 500ω π c ω = = 3.769,911 rad/s 500l (b) 3 ω 3,8 10 rad/s v = ωr = 188,4955 m/s v 1, 9 10 m/s 35. Uma roda A de raio r A = 10,0 cm esá acoplada por uma correia B à roda de raio r = 5,0 cm, como mosra a Fig. 19. A roda A aumena sua velocidade angular à razão uniforme de 1,60 rad/s. Deermine o empo necessário para que a roda ainja uma velocidade roacional de 100 rev/min; suponha que não haja deslizameno da correia. (Dica: Se a correia não desliza, os ap. 11 inemáica Roacional 6

7 Prof. Anderson oser Gaudio Depo. Física UFES módulos das velocidades lineares na borda das duas rodas são iguais.) O empo procurado pode ser obido a parir da equação de movimeno acelerado da roda : ω = ω0 + α ω ω α = + 0 ω α (Pág. 7) = (1) Embora as acelerações angulares das rodas (α ) e A (α A ) sejam diferenes, suas acelerações angenciais (a e a A ) são iguais, pois é a mesma aceleração da correia B. a A α r = a A A = α r α r A A α = () r Subsiuindo-se (1) em (): ωr = = 16,364 s α r A A 16,4 s 36. As lâminas de um moinho de veno parem do repouso e giram com aceleração angular de 0,36 rad/s. Quano empo passa aé que um pono da lâmina assuma os mesmos valores para os módulos da aceleração cenrípea e da aceleração angencial? (Pág. 7) A condição para que a aceleração cenrípea e a aceleração angencial sejam iguais é: a = a T ω r = αr ω = α O empo para aingir essa velocidade parindo do repouso é: ω = ω0 + α ap. 11 inemáica Roacional 7

8 Prof. Anderson oser Gaudio Depo. Física UFES α = 0 + α α α 1 = = = =, 0584 s α α α,06 s 41. Um objeo se move no plano de de forma que = R cos ω e = R sen ω, sendo e as coordenadas do objeo, o empo e R e ω consanes. (a) Elimine enre esas equações para enconrar a equação da curva na qual o objeo se move. Que curva é essa? Qual é o significado da consane ω? (b) Derive as equações de e em relação ao empo para enconrar as componenes e da velocidade do corpo, v e v. ombine v e v para enconrar o módulo, a direção e o senido de v. Descreva o movimeno do objeo. (c) Derive v e v com relação ao empo para ober o módulo, a direção e o senido da aceleração resulane. (Pág. 7) (a) Vamos elevar ao quadrado a equação de. = Rcosω = R cos ω ( 1 sen ω ) = R sen ω = 1 (1) R Agora vamos fazer o mesmo com a equação de : = Rsenω R sen ω = () Subsiuindo-se (1) em (): = R + = R (3) A Eq. (3) corresponde à equação de uma circunferência. A consane ω ajusa a freqüência dos ciclos das funções rigonoméricas seno e cosseno. Em ermos físicos, ω é a freqüência ou velocidade angular do objeo que se move ao longo da rajeória circular. Veja o esquema a seguir: r θ ap. 11 inemáica Roacional 8

9 Prof. Anderson oser Gaudio Depo. Física UFES (b) d = v = ωrsenω d d = v = ωrcosω d Logo, o veor velocidade vale: v = v i+ v j= ωrsenωi+ ωrcosωj O módulo de v vale: ( sen ) ( ) v= ωr ω + ωrcosω v= ω R sen ω+ ω R cos ω v= ωr sen ω+ cos ω v = ωr Sabendo-se que: r = i+ j= Rcosωi+ ωrsenωj O produo escalar enre r e v vale: ( ) ( r v= Rcosωi+ Rsenωj ωrsenωi+ ωrcosωj ( R cosω ) ( ωrsenω ) ( Rcosω ) ( ωrcosω ) ( R senωj) ( ωrsenωi) ( Rsenωj) ( ωrcos ωj) r v = i i + i j r v = ωr senωcosω ωr senωcosω r v=0 omo: r v = Rv cosφ = 0 Onde φ é o ângulo enre os veores r e v. omo cos φ = 0, isso implica em φ = 90 o. Logo, r e v são orogonais. Porano, como r é radial, v deve ser angencial à rajeória circular. Veja o esquema a seguir: v ) r v θ v (c) dv d = a = ω Rcosω = ω ap. 11 inemáica Roacional 9

10 Prof. Anderson oser Gaudio Depo. Física UFES Logo: dv d = a = ω Rsenω = ω a= i+ j= i j a a ω ω Esa equação mosra que a em a mesma direção de r, porém com o senido conrário. Ou seja, a apona no senido radial. O módulo de a vale: ( ) ( ) a = ω + ω = ω + a = ω r Veja o esquema a seguir: a r a θ a ap. 11 inemáica Roacional 10