velocidade inicial: v 0 ; ângulo de tiro com a horizontal: 0.

Transcrição

1 Um projéil é disparado com elocidade inicial iual a e formando um ânulo com a horizonal, sabendo-se que os ponos de disparo e o alo esão sobre o mesmo plano horizonal e desprezando-se a resisência do ar, deermine: a) A alura máima que o projéil aine; b) O empo necessário para ainir a alura máima; c) O empo de duração do moimeno oal; d) O alcance máimo horizonal do projéil; e) A equação da rajeória do moimeno oblíquo; f) O ânulo de iro que proporciona o máimo alcance; ) Mosre que iros com ânulos complemenares êm os mesmo alcance; h) A elocidade num pono qualquer da rajeória; i) As componenes da aceleração num pono qualquer da rajeória. Dados do problema elocidade inicial: ; ânulo de iro com a horizonal:. Esquema do problema Adoa-se um sisema de referência com o eio O aponando para a direia e O para cima, a aceleração da raidade esá aponada para baio e o pono de disparo esá na oriem do referencial (, ) = (, ), conforme a fiura. fiura O moimeno pode ser decomposo ao lono dos eios e, a elocidade inicial será decomposa ao lono desas direções como mosra a fiura. endo as componenes da elocidade dadas, em módulo, por (I) cos (II) sen Da decomposição do moimeno emos que na direção não há nenhuma aceleração aindo sobre o projéil, enão ele esá em Moimeno Reilíneo Uniforme (M.R.U.) e seu moimeno é reido pela equação. fiura como no moimeno uniforme é consane podemos subsiuir pelo alor de (I) e cos

2 cos (III) Na direção o projéil esá sob a ação da aceleração da raidade, porano esá em queda lire que é reido pelas equações subsiuindo pelo alor dado em (II) e sen sen sen (I) sen () (I) com consane (o sinal de neaio indica que a aceleração da raidade esa conra a orienação do referencial). Assim pela fiura 3 emos que no moimeno ao lono da direção emos que para ineralos de empos iuais emos ineralos de espaços iuais ( = = 3 = 4 = 5 = 6 ) Na direção emos que durane a subida para ineralos de empos iuais emos ineralos de espaços menores, pois a parícula esá sendo freada pela ação da raidade ( > > 3 ) aé que a elocidade zera e enão a raidade começa a puar a parícula de ola ao solo com elocidade acelerada, assim para ineralos de empos iuais emos ineralos de espaços cada ez maiores ( 4 < 5 < 6 ) fiura 3 olução a) Para enconrarmos a alura máima ( h má ) ainida pelo projéil basa analisarmos o moimeno ao lono da direção. Quando o projéil aine a alura máima sua elocidade se anula ( = ), assim usando a equação (I) emos sen sen h h má má

3 h má sen b) O empo de subida ( ) para ainir a alura máima será obido de () com a condição de que a elocidade se anula na máima alura ainida pelo projéil ( ), enão emos que sen sen sen c) O empo oal ( T ) do moimeno será a soma dos empos de subida ( ) e de descida ( D ), sendo que no moimeno de lançameno erical e queda lire os empos de subida e de descida são iuais, emos a condição T D com = D T usando o resulado para o empo de subida obido no iem anerior,emos T sen d) O empo calculado acima, para o projéil subir e descer, é ambém o empo que ele leará para ir da oriem aé o pono má ao lono do eio, enão subsiuindo a resposa do iem anerior na epressão (III), obemos mas, da rionomeria, emos que sen má má sen cos sen sen cos sen cos sen sen cos cos e subsiuindo esa relação na epressão acima, ficaremos com o alcance máimo na seuine forma má sen e) Para ober a forma da rajeória indicada na fiura emos que er com função de, ou f, usando as equações (III) e (I) para os moimenos em e e lembrando que, emos o sisema 3

4 cos sen isolando o empo na primeira equação emos cos subsiuindo ese alor na seunda equação obemos sen cos cos cos sen cos Fazendo a associação mosrada abaio com uma Equação do.º rau do ipo a b c emos que obiemos uma função do ipo f com o coeficiene a < o que indica que a nossa rajeória é uma parábola de boca para baio. f) A resposa obida no iem (d) para o alcance máimo ( má ) depende do ânulo inicial de lançameno, da rionomeria sabemos que a função seno aria de a, enão o alor máimo do alcance ocorre quando o seno cujo o arco ale é iual a 9º, assim sen arc sen ) Da rionomeria emos que ânulos complemenares são aqueles que somam sejam, enão, dois ânulos e complemenares 9 ou, (II) 4

5 Usando o resulado do iem (d) que nos dá o alcance máimo escreemos os alcances má e má para os ânulos acima má sen (III) má sen (IX) Escreendo de (II) em função de fiura 4 e subsiuindo em (IX), emos má má sen sen o seno nesa equação pode ser desenolido seundo a relação que nos dá o seno da diferença, sen sen cos sen cos má sen cos sen cos sendo sen, cos, emos má.cos sen má sen (X) porano comparando as epressões (III) e (X) Q.E.D má má obseração: Q.E.D. é a abreiação da epressão em laim quod era demosnrandum que sinifica como queríamos demonsrar. h) Num pono qualquer da rajeória o eor elocidade ( ) pode ser decomposo nas suas componenes ao lono dos eios e ( e ), como se ê na fiura 5-A, abaio. O eor elocidade será enão a soma eorial de suas componenes X Y fiura 5 5

6 Pela fiura 5-B emos que os eores formam um riânulo reânulo e o módulo da elocidade pode ser calculado aplicando-se o Teorema de Piáoras (XI) X Y Escreendo, e eremos da equação (I) cos cos (XII) e de (),oberemos sen sen sen sen (XIII) subsiuindo (XII) e (XIII) em (XI). cos.sen..sen... nos dois primeiros ermos do lado direio da iualdade amos colocar erceiro ermo colocaremos em eidência. cos sen sen em eidência e no (XI) o primeiro ermo enre parêneses é, pela rionomeria, cos sen, o seundo ermo enre parêneses pode ser obido da equação (III) acima escria como sen mas, finalmene (XI) pode ser escrio como i) A aceleração da raidade ( ) a que o projéil esá sujeio em qualquer pono da rajeória pode ser decomposa na aceleração anencial ( ) e na aceleração normal ( n ), que é perpendicular à rajeória no pono considerado (fiura 6-A). Da fiura 6-C emos; cos cos (X) n sen sen (XI) n 6

7 onde é ânulo enre a aceleração da raidade ( ) e sua componene anencial ( ) num pono qualquer da rajeória. Mas ese ânulo é o mesmo que emos enre a elocidade do projéil ( )e sua componene ao lono da direção, ( ) como se ê na fiura 6-B. Pela fiura 6-D emos que cos usando o resulado do iem anerior para o alor da elocidade, obemos fiura 6 cos.. subsiuindo ese alor do co-seno na epressão (X) a aceleração anencial será Da mesma forma a fiura 6-D nos dá que sen sen.. e subsiuindo em (XI) para a aceleração normal eremos. n.. 7