CAPÍTULO 8. v G G. r G C. Figura Corpo rígido C com centro de massa G.

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Manoela Gabeira Aquino
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1 7 CÍTULO 8 DINÂMIC DO MOVIMENTO LNO DE COROS RÍIDOS IMULSO E QUNTIDDE DE MOVIMENTO Nese capíulo será analisada a lei de Newon apresenada nua ra fora inegral. Nesa fora inegra-se a lei de Newon dada por (6.7) no epo. Esa fora se baseia nos conceios de ipulso e quanidade de oieno do corpo rígido. o final dese capíulo eses conceios são aplicados na eoria de ipaco. 8. QUNTIDDE DE MOVIMENTO LINER DE UM CORO RÍIDO Seja u corpo rígido C, de assa e cujo cenro de assa se localiza e. Seja a elocidade de u pono qualquer, de assa d, dese corpo. y d r r C x Figura 8. - Corpo rígido C co cenro de assa. Usando a definição de quanidade de oieno linear de ua parícula, podeos escreer para o corpo C a quanidade de oieno linear L coo

2 L d (8.) 73 posição do cenro de assa do corpo rígido pode ser obida araés de r r d (8.) E, porano, r r d (8.3) Deriando (8.3), obé-se d (8.4) Subsiuindo (8.4) e (8.), obeos L d (8.5) equação (8.5) é a definição da quanidade de oieno linear de u corpo rígido de assa, co cenro de assa e. É ua grandeza eorial obida pelo produo da assa do corpo pela elocidade de seu cenro de assa. 8. QUNTIDDE DE MOVIMENTO NULR DE UM CORO RÍIDO definição de quanidade de oieno angular de u corpo rígido é dada a parir da definição feia para a parícula, osrada no Capíulo 4. Seja u corpo rígido C, de assa e cujo cenro de assa se localiza e. Seja a elocidade de u pono qualquer, de assa d, dese corpo. ode-se escreer a quanidade de oieno angular dese eleeno de assa e relação ao pono oado na orige do sisea de referência, er Figura 8., usando a definição (4.3), seja

3 74 dh r d (8.6) Logo a quanidade de oieno angular do corpo rígido e relação a u pono é dada por H r d (8.7) ode-se relacionar a elocidade do eleeno de assa d co a elocidade do pono, araés de ω r (8.8) Subsiuindo (8.8) e (8.7), resula H r ( ω r) d (8.9) H r d r ( ω r) d (8.0) ara qualquer oieno plano, podeos fazer r x i yj e ω ω k, e ober H ( x i y j) d ( x i y j) ( y i x j) d (8.) que é igual a H ( x y ) ( x y ) d k (8.) y x, finalene H x y I ) k (8.3) ( y x

4 ssi a quanidade de oieno angular no oieno plano é ua grandeza eorial na direção de z, podendo escreer na fora escalar sua inensidade 75 H ( x y ) I (8.4) y x Obsere-se que se nas seguines condições:, iso é, x y 0 r y x 0 a equação (8.4) fica na fora siples H I (8.5) E geral são conhecidas as propriedades e relação ao cenro de assa. Nese caso a equação (8.4) pode ser odificada, usando e I I ( x y ) (8.6) ω r / ω r (8.7) ara o oieno plano, (8.7) pode ser escria nas coponenes x y x y y x y (8.8) plicando (8.8) e (8.6) e (8.4), obé-se H ( x y ) I (8.9) y x Obsere-se que quando se calcula a quanidade de oieno angular e relação ao pono, faz-se. Nese caso, x 0 e y 0. orano

5 76 H I (8.0) ssi, para o oieno plano qualquer, as equações que define as quanidades de oieno linear e angular de u corpo rígido são: L L x y H I x y (8.) Obsereos que na ranslação H (8.) ( x y y x) H 0 (8.3) definição da quanidade de oieno angular e relação ao cenro de assa, er Figura 8., é dada por: H r d (8.4) onde r r r. Enão H ( r r ) d (8.5) H r d r d (8.6) plicando a definição (8.7) e a propriedade da e (8.4), obé-se H H r (8.7)

6 escreer Obserando a Figura 8., para o caso do oieno plano, podeos 77 H I d (8.8) onde o sinal da segunda parcela dee ser obido pelo sinal do produo eorial. y d r C x Figura 8. - osição e elocidade do cenro de assa. 8.3 RINCÍIO DO IMULSO E D QUNTIDDE DE MOVIMENTO LINER Vaos parir da forulação diferencial da lei de Newon F d a (8.9) Realizando a inegral de (8.9) enre os insanes de epo e, sendo e as elocidades do denro de assa do corpo neses insanes, obeos F d (8.30) F (8.3) Vaos usar a definição de ipulso de ua força dada por

7 78 F I (8.3) ssi, pode escreer o princípio do ipulso e da quanidade de oieno coo F (8.33) I L L (8.34) Há ua fora angular correspondene a ese princípio. O princípio da quanidade de oieno angular pode ser obido a parir da equação de oenos da dinâica d M I (8.35) Inegrando (8.35) enre os insanes e, sendo ω e ω as elocidades angulares do corpo neses insanes, obeos I M I (8.36) Vaos usar a definição de ipulso angular dada por M Ω (8.37) ssi, podeos escreer o princípio do ipulso e da quanidade de oieno angular coo H H (8.38) s equações que serão uilizadas nas aplicações de oieno plano são

8 79 x F x x y F y y (8.39) I M I conseração da quanidade de oieno é conseqüência direa dese princípio. Se o ipulso resulane de odas as forças aplicadas é nulo, a quanidade de oieno se consera, iso é (8.40) Se o ipulso angular resulane de odos os oenos e relação ao cenro de assa for igual a zero, a quanidade de oieno angular se consera, seja I I (8.4) 8.4 IMCTO EXCÊNTRICO No esudo de ipaco enre duas parículas já fora definidos os conceios de ipaco cenral e de ipaco oblíquo, er Capíulo 4. Nese capíulo aos raar do ipaco excênrico. Ocorre u ipaco excênrico quando a linha de ipaco não coincide co a linha que une os cenros de assa dos corpos e conao, confore osra a Figura 8.3. Se esas linhas coincide, ocorre o ipaco cenral e pode ser aplicadas odas as equações correspondenes do Capíulo 4. plano de conao linha de cenros linha de ipaco Figura Ipaco excênrico enre os corpos e.

9 80 a - anes do ipaco: > b - ipaco - deforação - c - ipaco - esa elocidade d - ipaco - resauração - R R e - após o ipaco: > Figura Fases do ipaco excênrico enre e.

10 8 Figura 8.4 ilusra as fases: a ocorre iediaaene anes do ipaco; b, c e d ocorre durane o ipaco e após o ipaco. s elocidades indicadas são as projeções das elocidades dos ponos e conao na direção da linha de ipaco. s elocidades e são as projeções das elocidades iediaaene anes do ipaco, enquano que as elocidades e são as projeções das elocidades iediaaene após do ipaco. Durane o ipaco ocorre a fase de deforação, passando por u insane e que as projeções das elocidades deses ponos é igual, cujo alor é indicado por. Realizando os esos passos osrados na seção 4.4 do Capíulo 4, podeos osrar que e (8.4) onde e é o coeficiene de resiuição, confore já definido aneriorene. Uilizando as equações do princípio da quanidade de oieno e a equação (8.40) é possíel deerinar as projeções das elocidades após o ipaco, dado as elocidades iediaaene anes dese ipaco.

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