GERAÇÃO DE PREÇOS DE ATIVOS FINANCEIROS E SUA UTILIZAÇÃO PELO MODELO DE BLACK AND SCHOLES

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1 XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Mauridade e desafios da Engenharia de Produção: compeiividade das empresas, condições de rabalho, meio ambiene. São Carlos, SP, Brasil, 1 a15 de ouubro de 010. GERAÇÃO DE PREÇOS DE ATIVOS FINANCEIROS E SUA UTILIZAÇÃO PELO MODELO DE BLACK AND SCHOLES Cesar das Neves (UERJ) Ese rabalho em por finalidade comenar as formas frequenemene usadas por analisas de invesimenos para geração de preços simulados de aivos financeiros. Preços simulados são relevanes para uilização em modelos de avaliação de invvesimenos, paricularmene os que envolvem opções. Nese úlimo caso em algumas das siuações eisem soluções analíicas, como a do modelo de Black and Scholes, quando a única fone de risco de um aivo for a fluuação do preço de mercado. Ese rabalho mosra que uma das formas mais uilizadas de geração de preços aleaórios, conforme se observa em Winson(001), embora possa ser uilizada para avaliação de opções gera uma série de preços inconsisene com a premissa de homocedasicidade (esabilidade da variância) o que pode ser uma propriedade indesejável em alguns ipos de análises. É mosrada uma forma de geração, a parir da mesma epressão de origem derivada do Lema de Io, na qual a série gerada é homocedásica. Os resulados dese procedimeno são comparados aos de uma erceira forma de geração, uilizada por Pindyck and Dii (1994), mosrando que os resulados são similares, sendo que, do pono de visa eórico a forma proposa é preferível. O rabalho aborda ambém a quesão da aa de crescimeno no modelo browniano, mosrando que esa deva ser inserida na fórmula de Black and Scholes, conrariando ambém Winson (op.ci). Palavras-chaves: Geração de Preços; Movimeno Browniano Geomérico, Modelo de Black and Scholes, Simulação

2 1. Inrodução Simulações de preços de aivos financeiros são relevanes em um número elevado de aplicações, das quais, uma delas é a avaliação de projeos de invesimenos envolvendo opções. Nese rabalho, consideraremos o movimeno browniano geomérico, que é o modelo de uilização mais frequene como represenaivo do movimeno de preços, sendo usado, ano para simulação de preços de ações, como movimeno de aas de juros, preços de commodiies e muios ouros casos. Comenaremos a forma de uilização dese modelo em simulação como proposa por Winson (1996), mosrando que esa não é a mais adequada quando se quer gerar séries simuladas de variância consane. Proporemos uma forma alernaiva endo por base a mesma equação derivada do Lema de Io. A forma proposa gera séries similares similares a do procedimeno uilizado por Pindyck (1994). Por fim, aravés de simulação esaremos as rês formas de geração de preços na avaliação de uma opção de compra, comparando os resulados ao do modelo eórico de Black and Scholes..Modelo Browniano Geomérico No modelo browniano geomérico, a equação descrevendo o processo esocásico relaivo a uma variável aleaória (preços) é represenada pela equação: d d dz dz d normalmene disribuído com : ( ) 0; e 1 e e. e h 0; h 0 modelo (1) A grande uilização dese modelo em finanças decorre da hipóese de eficiência de mercado, que gera, para preços em mercados eficienes, um modelo de randon walk (passeio aleaório) que pode ser represenado pelo modelo browniano geomérico conforme mosra Pindyck (op. ci, pp 68). Mais precisamene, o movimeno browniano é o limie do passeio aleaório quando o inervalo de empo ende a zero. O modelo 1 pode ser escrio em oura forma fazendo-se uso do Lema de Io. Ese Lema é derivado da regra simples do cálculo diferencial, na qual a diferencial de uma variável F(,) em orno de um pono (,) pode ser escria em função das derivadas de primeira ordem em e, iso é: F F df (, ). d. d O Lema de Io inclui o ermo de segunda ordem relaivamene mais epressivo (em ), considerando que demais ermos endem a zero mais rapidamene, obendo-se:

3 F F 1 F df(, ) d. d. d.( ) () No modelo 1 a variável em uma disribuição lognormal, uma vez que a variável aleaória y= ln, dada por: dy d(ln ) d d dz segue um movimeno browniano (linear) com dz normalmene disribuída com média E(dy)=α.d e variância =σ.d Aplicando o Lema de Io para y = ln(), seguindo procedimeno ilusrado por Pindyck (op.ci, pp 81), em-se: y F( ) ln( ) F 1 F 1 F 0 e subsiuindo as derivadas acima na epressão () obem-se: 1 1 df ( d dz) ( d) 1 df d ln( ) ( d dz) ( d dz.... d. dz) ( d) 0 Enão: 1 df d ln( ) d dz (3) A epressão diferencial (3) em sido a formula mais frequenemene usada para simular a movimenação de preços uilizando um modelo geomérico browniano. Primeiramene, para iso, esa é escria em função de incremenos finios de empo Δ. Temos: A epressão acima gera: ln ln (4) 3

4 . e 0 1. que em sido a fórmula mais uilizada para gerar preços a parir de um valor inicial 0, vide Winson (pp16). Consideramos esa formula (5) adequada, por eemplo, para a consrução de inervalos de previsão do preço a parir de um valor inicial 0 no insane =0, porém não para simular séries de preços com variância consane. Iso porque, na epressão (5) a variância esá sendo ampliada pela incereza, dado que se supõe que a úlima informação observada é 0. Iso gera uma série de preços heerocedásica. Em simulação na maioria dos casos o que se quer é uma série simulada homocedasica, na qual a variância obida possa ser esada e esimada de forma convencional, e nese caso, o procedimeno mais adequado é uilizar a epressão (5) de forma recursiva, iso é, passo a passo, conforme abaio. (5) 1.e 1 (6) Nesa úlima forma as realizações de são condicionais as realizações de -1, - -3,... A racionália das epressões (5) e (6) pode ser facilmene compreendida ao se observar a propriedade esaísica de que, se y = ln, endo y uma disribuição normal com média μ y e desvio σ y, erá uma disribuição normal com média média μ e desvio σ e a relação das média desas variáveis será: y ( y) e 1 Ou seja, a ransformação inversa de μ não gera a média de y mas ão somene sua mediana. Esa é uma esimaiva endenciosa da média de y, decorrene da ransformação logaríimica. Ao simular o modelo geomérico browniano Pindyck (op. ci, pp) uiliza uma versão discrea, a saber: (7) ( 1 ) 1 1 A epressão (7) é aproimada, dado que incremenos infiniessimais do modelo eórico foram aproimados por incremenos finios. Na práica iso faz pouco diferença. O que faz diferença é o uso do modelo de forma recorrene como na epressão (7) ou (6) ou a parir de um pono fio (=0), forma uilizada por Winson (op.ci) em esudos de simulação. A simulação seguine, a parir dos dados uilizados por Pindyck (op.ci,pp 7) mosram as diferenças de resulados enre os modelos. A figura 1 replica a simulação de Pindyck do índice de preços mensais da Bolsa de Nova York (NYSEI) cuja aa de crescimeno é de 9% a.a e volailidade anual de 0%. Os dados mensais básicos serão: α =0,09/1 =0,0075 a.m e σ = 0,0 1-0,5 = 0,0577 a.m. Foram gerados 100 preços aleaórios a parir de um dado inicial P 0 =100. A série simulada Pindyck usa a epressão (7), a Mod1, a forma uilizada por Winson (op.ci), epressão 4

5 (5) e a Mod, a forma que sugerimos, epressão (6). Todas as séries foram obidas, para efeio de comparação, a parir do mesmo resíduo aleaório ( ). A série Média se refere à evolução da variável sem a consideração dos efeios aleaórios. 400, , ,000 50,000 00, , ,000 Pindyck Média Mod1 Mod 50,000 0, Figura 1- Resulados da Simulação de Preços Fica clara na figura 1 a heerocedasicidade da série obida pelos méodos mais usualmene uilizados seguindo a forma empregada por Winson. Iso pode ser ambém mosrado ao se esimar a variância das séries obidas pelos méodos radicionais, iso é, o da volailidade hisórica sobre os logaríimos ( / -1 ). A abela 1 seguine apresena os 10 primeiros resulados e o úlimo da simulação, e a esimaiva das volailidades pelo méodo esaísico convencional. Preços Simulados Mês Resíduo P() P() P() Pindyck Mod1 Mod Normal(0,1) Pindyck Mod1 Mod ln(p/p-1) ln(p/p-1) ln(p/p-1) 0 Epr 100 (7) Epr(5) 100 Epr 100 (6) 1 0,84 105,59 105,57 105,57 0,05 0,05 0,05-0,99 100,35 93,3 100,9-0,05-0,1-0,05 3 0,0 101,3 101,98 101,00 0,01 0,09 0,01 4 0,95 107,54 114,1 107,3 0,06 0,11 0,06 5-0,39 105,9 97,88 105,53-0,0-0,15-0,0 6-1,16 99,60 87,83 99,5-0,06-0,11-0,06 7-1,0 93,46 86,74 93,16-0,06-0,01-0,06 8-0,68 90,51 93,81 90,11-0,03 0,08-0,03 9 1,81 100,66 144,18 100,63 0,11 0,43 0,11 5

6 10-0,86 96,39 90,5 96,9-0,04-0,47-0, ,13 165,46 61,91 17,18 0,1,39 0,13 desvio mensal 0,0647 0,6571 0,0650 desvio anual 0,41,761 0,51 Tabela 1 Resulados da Simulação de Preços Obviamene, ouros méodos de esimaiva da volailidade poderiam ser uilizados considerando a heerocedasicidade, como o modelo Garch, o modelo de amorecimeno eponencial (EWMA) e ouros. Mas a práica comum é o méodo da volailidade hisórica dos logaríimos de preços conforme procedimeno usado na Tabela 1. As esimaivas obidas para a volailidade mosram o quano o modelo 1 (epressão 5 com 0 fio) gerou resulados disorcidos quano a esa premissa de esabilidade da variância. 3 Uso de séries simuladas no modelo de Black and Scholes Uma das principais aplicações de séries simuladas e no cálculo do VaR- Value a Risk em cenários de sress envolvendo opções. A avaliação da posição pode ser feia de forma não paramérica a parir dos resulados direos da simulação ou de forma paramérica uilizando esimaiva de parâmeros (aas médias e volailidades) e algum ipo de modelo, que no caso de opções, na maioria dos casos, é o de Black and Scholes. O modelo de Black and Scholes é basane conhecido. Nese a avaliação de uma opção de compra (call) é feia pela epressão: com: V(Call) = P. N(d 1 ) - PEX e - r N(d ) ln (P/PEX) + r + / e d 1 = ln (P/PEX) + r - / d = modelo 8 onde: N(d)-área da curva normal (-, d) PEX- preço de eercício da opção P - preço da ação no momeno presene - empo aé a daa de eercício - variância por período da aa de renabilidade (coninuamene composa) das ações r- aa de juros livre de risco (coninuamene composa) Os resulados do iem anerior indicam que as epressões (6) ou (7) podem ser uilizadas ano por méodos paraméricos quano não paraméricos, enquano a (5), nos paraméricos, as 6

7 esimaivas da volailidade devem considerar a propriedade de heerocedasicidade, um faor complicador a mais. Anes de se apresenar os resulados da simulação do valor de uma opção de compra por cada uma das epressões (5), (6) e (7), e o respecivo valor eórico derivado do modelo de Black and Scholes, convém ecermos algumas considerações sobre suas variáveis. Observe-se que o modelo de Black and Scholes em como parâmeros (, e r) além do preço aual (P), admiido como conhecido e o preço de eercício (PEX), valor conraual pré-esabelecido e deerminado aé o vencimeno. Como é o prazo de vencimeno, ambém conhecido, a quesão básica das esimaivas recaem sobre (volailidade ) e r (aa livre de risco). A fórmula de Black and Scholes admie para os preços um movimeno geomérico browniano na qual a aa de crescimeno dos preços se dá a aa livre de risco e a volailidade (consane) é a do reorno (conínuo) dos preços, iso é, de ln(p /P -1 ). Analisas de invesimeno êm concenrados esforços na esimaiva da volailidade. Esranhamene, é comum a uilização do modelo para avaliação de opções sobre diversas commodiies esimando-se apenas a volailidade, desconsiderando as esimaivas das aas de crescimeno, que endem a diferir enre as diversas commodiies em função de ciclos econômicos ou mudanças ecnológicas. Por eemplo, preços de commodiies ligadas à agriculura endem a mosrar crescimeno real negaivo decorrenes dos aumenos de produividade do seor, e muias commodiies minerais endem a mosrar crescimeno posiivo, em função de eausão de jazidas e crescimeno da demanda asiáica e de ouros países emergenes. Para reforçar a argumenação cia-se a esranha jusificaiva dada por Winson (1996) para desconsideração da aa de crescimeno: The Black-Scholes derivaion of he call opion price shows ha he sock s growh rae does no influence he price of a call opion. Esa colação não faz senido e o melhor seria observar que o modelo de Black and Scholes admie impliciamene que os preços dos aivos crescem na média a aa livre de risco (e não pagam dividendos). Caso esas não sejam as siuações observadas a uilização do modelo de Black and Scholes requer ajuses. O ajuse pode ser feio na variável P (preço do aivo) que deve refleir o valor aual do aivo, agregando valor se o crescimeno for superior à aa livre de risco e perdendo valor, caso haja pagameno de dividendos. Consideraremos no momeno o ajuse referene à aa de crescimeno. O preço ajusado para uso no modelo de Black and Scholes fica como: PA P e ( r). onde: PA Preço Ajusado para uso no modelo de Black and Scholes - aa de crescimeno (conínua) dos preços r aa (conínua) livre de risco - prazo de mauridade da opção epressão (9) Uilizando no modelo 8 o preço ajusado (PA) no lugar do preço aual do aivo (P) os resulados se ornam consisenes com o esperado, iso é, quano maior a aa de crescimeno maior o valor da opção de compra. A afirmaiva em Winson (1996) supra ciada, de fao, é conra a epecaiva da lógica financeira e incorrea. Invesidores valorizam mais as opções cujas aas de crescimeno são relaivamene mais elevadas. Feia esas considerações apresenamos a seguir na Tabela os resulados da simulação do valor de uma opção de compra, nos 3 modelos de geração.para os seguines dados básicos: 7

8 Variáveis, Valores e Unidades adoadas na simulação Preço Aual (P) 100 unidades moneárias Preço de Eercício (PEX) 130 unidades moneárias Taa de Crescimeno do Preço (g) 10% conínua ao período Volailidade (sigma) 0% ao período Taa de Juros Livre de Risco (r) 5% conínua ao período Duração da Opção () 48 Períodos Tabela - Dados básicos da Simulaçao Observe-se que a aa livre de risco é 5%, sendo apresenados resulados nos quais o preço do aivo cresce menos que a aa livre de risco (0%) e mais que esa (10%). As esimaivas do valor da opção de compra pelo modelo Black-Scholes inclui o ajusameno do preço sugerido dada em (9). Simulação do Valor de uma opção de compra (dados básicos da Tabela ) Taa de Crescimeno (Preço) 5% 0% 10% Epressão (5) Epressão (6) Epressão (7) B&S (valor eórico com ajuse) Erro da epressão 5-0.4% -0.5% 0.% Erro da epressão 6 0.% -1.1% -0.5% Erro da epressão 7 0.4% 0.9% 0.0% Tabela 3- Resulados da Simulação do Valor de uma opção de compra Os erros de odas as epressões em relação ao modelo eórico são pequenos e desprezíveis. Iso é, a epressão (5) embora gere série de preços heerocedásica deriva esimaivas não endenciosas para valores de opções, resulado ese similar ao da eoria economérica em modelos lineares onde a heerocedasicidade nos resíduos não afea os valores esperados das esimaivas dos parâmeros da regressão. Pode-se concluir que a epressão (5) gera série de preços heerocedásica mas cujo valor esperado é não endencioso. Nesa epressão os movimenos de preços de curo-prazo são mais bruscos do que a dos modelos alernaivos mas a longo prazo os valores esperados convergem. Adicionalmene pode-se observar pela epressão análiica que ln( / -1 ) ende a esabilizar com a varável. Iso quer dizer que possíveis problemas decorrenes da insabilidade da variancia afeariam mais o curo prazo do que o longo prazo. Dese modo o uso desa forma para solução de problemas compleos dependerá enão se a propriedade de esabilidade da variância é ou não relevane para o problema em foco ou ainda se o horizone de planejameno da análise é de curo ou longo prazo. Para eviar eses conraempos sugerimos a forma proposa, epressão (6), que consideramos eoricamene superior a uilizada por Pindyck (op.ci.). 8

9 4 - Referências Pindyck, R.S and Dii, A.K Invesmen under Uncerainy, - Princeon Universiy Press, Princeon, New Jersey, USA, Winson, W.L Simulaion Modeling Dubury Press, Wadsworh Publishing Company, Inernaional Thomson Publishing Company, 1996 Winson, W.L Financial Models using simulaion and Opimizaion II, Palisade Corporaion, Newfield, New York, USA,

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