Equações Diferenciais Ordinárias Lineares

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1 Equações Diferenciais Ordinárias Lineares 67

2 Noções gerais Equações diferenciais são equações que envolvem uma função incógnia e suas derivadas, além de variáveis independenes Aravés de equações diferenciais podemos fazer a formulação diferencial dos modelos represenaivos de vários fenômenos esudados, ano nas ciências físicas, como nas ciências biológicas e sociais Os primeiros eemplos de equações diferenciais enconramos em algumas Leis da Física Porém, com o desenvolvimeno do conhecimeno cienífico, usamos equações diferenciais em muias áreas desse conhecimeno Com os eemplos abaio, emos a inenção de moivar o esudo de equações diferenciais que propomos, mosrando algumas aplicações das mesmas Eemplo : Queda livre de um corpo quando é desprezado o coeficiene de ario d y ( ) = g d Eemplo : Queda livre de um corpo quando consideramos a resisência do ar d y( ) d y( ) m = m g k ou d d d v( ) m = m g k v( ) d 68

3 Eemplo : Movimeno de um pêndulo simples d l d + g sen = 0 Eemplo 4: Correne num circuio elérico d I L RI E d + = Eemplo 5: Forma assumida por um cabo suspenso y = k + ( y ) Fone: FAMAT em revisa n 5 - seembro/005 Fone: wwwguiasaovicenecombr 69

4 Eemplo 6: Problemas de perseguição y = a y y Eemplo 7: Sisema massa-mola: posição ocupada pela massa m no sisema d + + = 0 cos( ) m k F d d Eemplo 8: Problemas de vazão h = k h Ainda podermos ciar ouras aplicações, facilmene enconradas na bibliografia, ais como: resisência de fluidos; juros; dinâmica populacional; daação de carbono 4; lei de resfriameno de Newon, absorção de drogas; problemas de diluição, decaimeno radioaivo, ec 70

5 Nos eemplos ao 8, a função incógnia é função de uma variável independene; por isso as derivadas envolvidas são oais e as equações são designadas por equações diferenciais ordinárias (EDO) Quando a função incógnia for função de mais de uma variável, as derivadas presenes na equação serão parciais e a equação será designada por equações diferenciais parciais (EDP) Aqui esudaremos somene algumas equações diferenciais ordinárias A forma geral das equações diferenciais ordinárias é dada por: ( n) F(, y, y, y,, y ) = 0, para n N fiado Ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais elevada n N que figura nessa equação Além disso, as equações diferenciais ordinárias podem ser apresenadas ano na forma normal y ( = f (, y( ), como na forma diferencial M (, y) d + N(, y) d y = 0 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES Resolver uma equação diferencial significa enconrar uma função incógnia que saisfaça idenicamene essa equação diferencial Assim, solução de uma equação diferencial é uma função, definida num cero inervalo I, al que, conjunamene com as suas derivadas, verifica a equação Solução geral é uma epressão que coném um ou mais parâmeros reais arbirários e que nos fornece odas as soluções da equação Solução paricular é uma qualquer solução da equação saisfazendo ceras condições dadas Ceras equações diferenciais possuem ainda solução que foge ao formao geral, denominada de solução singular Os comandos após o símbolo > correspondem a comandos do sofware MAPLE Eemplo 9: A solução geral da equação y ( = y( é a função y( = C e, C R, que represena uma família de curvas, enquano cada uma das curvas abaio, onde C=, C=, C=0, C=-, C=-, são mas soluções pariculares É imporane observar que essa equação é uma EDO de primeira ordem e primeiro grau d y d y Eemplo 0: A solução geral da equação + y = 0 é a função y( = C C ; as reas d y ( =, y ( = 4, y ( =, ec, são soluções pariculares; a parábola y ( = é a 4 solução singular Esse é um eemplo de EDO de primeira ordem e segundo grau Enão, como podemos observar, o grau de uma EDO é o grau a que esá submeida a mais ala derivada da equação 7

6 Observação : É basane habiual uilizarmos a designação de inegrar uma equação para resolver uma equação Porano, deerminar a inegral geral, significa deerminar sua solução geral Observação : No Cálculo Diferencial e Inegral já aprendemos a resolver algumas equações diferenciais Ou seja, na resolução de uma inegral emos uma equação diferencial solucionada Observação : Campos de direções Consiuem uma ferramena úil para ermos idéia do comporameno das soluções de uma EDO de ª ordem sem resolvê-la Para obermos o campo de direções de uma EDO, primeiro consideramos a equação na forma normal Geomericamene, a forma normal esabelece, em qualquer pono, o valor do coeficiene angular y da rea angene à solução da equação diferencial nesse pono Enão, em cada pono de uma malha reangular, desenhamos um segmeno orienado que em inclinação igual a da rea angene à solução que passa pelo pono da malha A seguir, mosramos, usando MAPLE, a relação enre o campo de direções e as soluções da equação diferencial do eemplo 9 > wih(deools): > wih(plos): > eq:=diff(y(,=y( > dsolve(eq,y(); d eq := = y( ) y( ) y( ) = _Ce > g:=conourplo(y/ep(,=-, y=-,conours=[0,,,,-,-,-,05,-05],numpoins=000,color=black,hickness=): > g:=dfieldplo(eq,y(,=-,y=-,arrows=line): > display({g,g}); 7

7 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES O campo de direções de uma EDO ambém é muio imporane numa análise qualiaiva das soluções da equação Por eemplo, na referência Boyce, WE & Di Prima, RC, Equações Diferenciais Elemenares e Problemas de Valores de Conorno, Guanabara Koogan, 994, podemos observar a modelagem da queda livre de um objeo com massa m = 0 k g, próimo ao nível do mar Considerando o coeficiene da resisência do ar como = k g / s, foi d v v obido o modelo maemáico 9,8 d = Aravés do campo de direções dessa equação, é possível 5 observarmos uma solução de equilíbrio v( ) = 4 9 m / s (equilíbrio enre a gravidade e a resisência do ar, ou seja, valores de v () ais que dv seja zero) d Todas as ouras soluções parecem esar convergindo para a solução de equilíbrio quando a variável empo aumena; dv abaio da solução de equilíbrio 0 d > ; acima, dv d < 0 Quando o empo fica muio grande, odas as soluções se aproimam da solução de equilíbrio > wih(deools): > wih(plos): > eq:=diff(v(),)=98-(v())/5; d eq := v( ) = 98 d 5 v( ) > dfieldplo(diff(v(),)=98-(v())/5,v(),=00,v=060); 7

8 > dsolve(eq,v()); v( ) = 49 + e 5 _C > A:=plo(49,=00): > B:=plo(49+ep(-/5*),=00): > C:=plo(49+ep(-/5*)*5,=00): > d:=plo(49+ep(-/5*)*(-),=00): > E:=plo(49+ep(-/5*)*(-5),=00): > display({a,b,c,d,e}); 74

9 > g:=conourplo(v-49-ep(-/5*),=00,v=060,conours=[0,4,0,-6],numpoins=000,color=black,hickness=): > g:=dfieldplo(eq,v(),=00,v=060,arrows=line): > display({g,g}); Observação 4: Sem o uso do sofware Maple, as soluções do eemplo 9 são obidas a parir da siuação elemenar na forma normal abaio: y ( = f ( y( = f ( + C Esa seqüência ambém pode ser aplicada para = f ( y) Nesse caso, deerminamos a solução ) dy (y Ainda podemos er a siuação y ( = f ( y), para a qual devemos ober a solução implícia y = g(, y) Eemplo : A solução geral da equação yy = 6 é dada impliciamene por y = + C As soluções são elipses (curvas de nível de z = F(, y) = y + ) O gráfico de F é um parabolóide elípico > wih(deools): > wih(plos): > eq:=*y(*diff(y(,=-6*; eq := y( ) d = y( ) 6 > dsolve(eq,y(, implici ); y( ) + _C = 0 75

10 > impliciplo({seq(y^+*^-c=0,c=-55)},=-,y=-,numpoins=5000); > plod(y^+*^,=-00,y=-00); Observação 5: Para a siuação elemenar na forma diferencial, M ( + N( y) dy = 0, que é conhecida como uma equação diferencial com variáveis separáveis, a solução geral é obida por: M ( ) + N ( y ) dy = C Eemplo : Para equação diferencial y = cos(, emos y = sen( + C 9 76

11 Observação 6: A seguine siuação na forma normal y y ( = f, pode ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis mediane seguine a mudança de variável: y( u( = y ( = u( y ( = u ( + u( ATIVIDADES Lisa - Ver eemplos E4 ao E45 no apêndice V Mosrar que y = e + c é solução da equação diferencial y + y = 0 Mosrar que y = sen( é solução da equação diferencial y + 4 y = 0 Mosrar que a função y (, definida impliciamene por y + y = 4, é solução da equação diferencial y = ( y + ) 77

12 4 Mosrar que a função y (), definida impliciamene por diferencial dy ( + y ) = d y ( + ) ( + y ) = ( + ), é solução da equação 5 Mosrar que a função dada na forma paramérica = sen y = cos é solução da equação = y y 6 Sejam as equações dy a) P( y 0 + = dy b) P( y Q( + = Mosrar que se y ( ) é solução da equação (a) e y ( ) é solução da equação (b), enão y( = Cy( + y( é solução da equação (b), para qualquer C Equações Lineares de Ordem Equações lineares de primeira ordem são equações da forma dy P( y Q( + =, onde P( e Q( são funções conínuas em um inervalo I A função incógnia e suas derivadas aparecem na forma linear Equações em que P( = 0 Na equação linear acima, se P ( = 0, resula dy Q( =, cuja solução obemos ao inegrarmos os dois membros Assim, a solução geral será: 78

13 y( = Q( + C Eemplo : A solução geral da equação linear y = cos, obida por inegração direa, é dada por y ( = sen( + C > wih(deools): > wih(plos): > conourplo(y-/*sin(*,=-, y=-,conours=[0,,,,5,7,-,-,-, -5],numpoins=000,color=black,hickness=); Soluções da equação y = cos Eemplo : A solução geral da equação linear y ( ) = e é y = e + C > wih(deools): > wih(plos): > conourplo(y+/*ep(-*),=-, y=-,conours=[0,,,,5,7,-,-,-, -5],numpoins=000,color=black,hickness=); 79

14 Soluções da equação y = e OBSERVAÇÕES IMPORTANTES Problema de valor inicial (PVI) - é uma equação diferencial a ser resolvida conjunamene com condições sobre a função incógnia y e as suas derivadas condições essas a serem saisfeias para um dado valor da variável independene Esas condições são chamadas condições iniciais dy = f (, y) O problema é chamado de PVI y( 0 ) = y0 A solução do PVI, em um inervalo I, é uma função definida em I al que sua derivada, ambém definida em I, saisfaz o PVI dy = e Eemplo : y(0) = Solução geral da EDO: y( = e + C A solução obida deve saisfazer a condição inicial y ( 0) =, assim, y ( 0) = + C =, e enão C = 80

15 Logo, y ( = e + é a solução do PVI OBSERVAÇÕES IMPORTANTES Problema de valores de froneira - é uma equação diferencial a ser resolvida conjunamene com condições sobre a função incógnia y e as suas derivadas - condições essas a serem saisfeias para dois ou mais valores da variável independene Eses ponos poderão ser os eremos do inervalo onde se considera a solução, e as referidas condições são designadas por condições de froneira Eemplo 4: Resolver a equação y + y = 0, com as condições de froneira y(0 ) = e y(π/ ) = 5 Esse ipo de problema será resolvido poseriormene quando esudarmos equações de segunda ordem Equações em que P( 0 (caso geral) Seja a equação dy P( y Q( + = Vamos usar uma função auiliar ( 0, de forma que ao muliplicarmos essa equação por (, obemos uma dy equação do ipo f ( =, cuja solução geral obém-se com a inegração de ambos os membros P( Esa função ( = e será chamada faor inegrane da equação linear; depois mosraremos porque ( deve ser definida dessa forma Inicialmene, vamos muliplicar a equação por ( : dy ( + ( P( y = ( Q( Como d ( d P( P( d ( ( ) ) = e e = P d, ou seja, d ( P( = e P( = ( P(, após a subsiuição desse resulado na equação ( dy + ( P( y = ( Q(, emos: dy d ( ( + y = ( Q( 8

16 Sabemos que d dy d ( ( ( y) = ( + y, enão subsiuindo esse resulado no primeiro membro dessa equação resulane, vem: d ( ( y) ( Q( = ( y = ( Q( y = ( Q( + C ( Finalmene, a solução geral será: y = e Q + C e P( ( ) P( P( Agora vamos provar porque ( = e : OBSERVAÇÕES IMPORTANTES Inicialmene, devemos observar que ( 0 deve saisfazer a seguine equação: d ( = ( P( Como ( 0, podemos muliplicar essa equação por : ( e pela regra da cadeia, resula d ( d d ( = P( (ln ( ) = P(, ( d d (ln ( ) = P( d( Agora, inegrando ambos os membros, obemos, ln ( = P( + C de onde: P( Porano, de fao ( = e ( P( + C C P( = e = e e P( = C e Observação : É imporane salienarmos que qualquer múliplo de ( ambém será um faor inegrane, ou um faor de inegração, para a EDO linear de ª ordem 8

17 Eemplo : Deerminar a solução geral da equação d ln FI: e = e = dy d y + = Muliplicando a equação pelo faor inegrane, obemos: dy y dy + = y d d + = O primeiro membro da equação acima é a derivada do produo y( ) : d ( y ( )) d = y( ) = d 4 C y( ) = + C y( ) = C Logo, a solução geral é y ( ) = + 4 dy y + = Eemplo : Resolver o PVI d y() = 4 A solução geral da equação já foi deerminada no eemplo anerior: y ( ) = + 4 Agora, emos de saisfazer a condição inicial y ( ) = 4 : assim, para = emos y = 4 C Com a subsiuindo da condição inicial na solução y () : deerminamos C = 6 Sendo assim, a solução do PVI é dada por C 4 = +, 4 6 y = + 4 dy Eemplo : Achar a solução geral da equação y e d = d FI: e = e Quando muliplicamos a equação pelo faor inegrane, obemos: dy e e y = e e, d ou seja, 8

18 dy e e y = e d A seguir, usamos a regra da cadeia e procedemos a inegração dos dois membros da equação: d ( e y ) e d = e y = e + C e C = e e y + y = e + Ce Logo, a solução geral é y e Ce = + > wih(deools): > wih(plos): > odeadvisor(eq); [ [ _linear, class A ] ] > eq:=diff(y(),)-*y()=ep(); eq := d y( ) y( ) = d e > dsolve(eq,y()); y( ) = e + e ( ) _C > g:=conourplo(y+ep()-ep(*),=-00,y=-00,conours=[0,,,,-,-,-],numpoins=000,color=black,h ickness=): > g:=dfieldplo(eq,y(),=-00,y=-00,arrows=line): > display({g,g}); 84

19 > limi(-ep()+ep(*),=infiniy); > limi(-ep()+ep(*),=0); 0 > limi(-ep()+ep(*),=-infiniy); 0 Eemplo 4: Calcular a velocidade de um paraquedisa com massa corporal m = 75kg, no insane ( = 5 s) em que abre o para-quedas, considerando o coeficiene de ario k = 5 kg / s Calcular ambém a velocidade limie, considerando o coeficiene de ario, após a aberura do pára-quedas, como k = 0 kg / s O modelo maemáico que descreve a queda livre, obido a parir da ª Lei de Newon ª ordem: dv( ) k + v ( ) = g, d m com g a aceleração graviacional i F = ma, é a EDO linear de i A solução dessa equação diferencial é: mg k m v( ) = + Ce k A consane de inegração é deerminada a parir da condição inicial Assim, para v ( = 0) = 0, emos: mg C = ; k 85

20 nesse caso a solução paricular é k m ( e ) mg v( ) =, 5s k Enão, a velocidade alcançada no insane ( = 5 s) é v = 9,9 m / s A disância percorrida em queda livre é obida por: dy( ) mg k m m v( ) = y( ) = v( ) d y( ) e C d = + + k k Assim, para y ( = 0) = 0 : m g C = ; k passados 5s, emos y = 8,5m Com a aberura do para-quedas, devido ao maior coeficiene de ario, a variação da velocidade começa a decrescer, aé ser evenualmene aingido um equilíbrio enre a força graviacional e a força de ario; a parir desse momeno a velocidade é consane e para um empo suficienemene grande eremos a chamada velocidade limie: mg 75 9,8 vmin = lim v( ) = = = 6,68 m / s k 0 Para a obenção da solução geral das equações lineares de primeira ordem, em que P( 0, ambém esudaremos os méodos de Bernoulli e de Lagrange, além da uilização de faor inegrane, como procedemos Méodo de Bernoulli Inicialmene, vamos considerar primeira ordem y = u v, com u e v funções incógnias arbirárias, solução de uma EDO linear de Enão y = u v y ' = u v' + u' v dy Subsiuindo y e y na equação linear não homogênea P( y Q( + =, obemos: uv ' + u ' v + P( uv = Q(, ou [ v' P( v] + u' v Q( u + = Considerando que v pode ser deerminada arbirariamene, emos: dv v ' + P( v = 0 v ' = P( v P( v = dv P ( ) v = v P( = e 86

21 Subsiuindo v ' + P( v = 0 e v P( = e em u [ v' P( v] + u' v = Q( P( du P( u ' e = Q( = Q( e P( u = Q( e + C +, resula: P( du = Q( e Finalmene, levando u e v à equação, emos a solução geral na forma: P [ ( ) ] = + P( ( ) y e Q e C Eemplo : Achar a solução geral do PVI y + y = y 0 y() = e A solução da equação diferencial pode ser obida pelo méodo de Bernoulli: inicialmene, fazemos y ' = u v' + u' v ; após, subsiuímos na EDO e obemos: y = u v + + = u [ v'+ v] + u' v = u v ' u ' v uv A seguir, deerminamos v : v ' +v = 0 v' = v Usando esse resulado, enconramos u : du u' e = e = du = e Logo, a solução geral da EDO é y = ( ) + C e dv v = ln v = v = e u = e u = e e + C Agora, emos de saisfazer a condição inicial y0 y( ) = : assim, para = emos e Com a subsiuindo da condição inicial na solução deerminamos C = y0 y0 y = e A solução do PVI é dada por y = ( ) + y0 e Eemplo : Achar a solução geral da equação y ' = yg + cos usando o méodo de Bernoulli Subsiuindo y = u v e y ' = u v' + u' v na equação, emos: Da igualdade v ' vg = 0, emos: u v ' u ' v u vg cos + = + [ ] u v ' vg + u ' v = cos 87

22 dv v ' = vg g v = ln v ln(cos v = e ln(cos ln(cos = v = e v = (cos A seguir, deerminamos u : u'(cos = du cos cos = u u = + cos + cos = cos u = u = + sen + C 4 Subsiuindo u e v na equação: y = + + C 4 sen cos dy Eemplo : Achar a solução geral da equação + y =, aravés do méodo de Bernoulli d Segundo Bernoulli, y = u v ; assim y ' = u v' + u' v Com a subsiuição na equação, resula: De onde emos: v' + v = 0 v' = v Agora, deerminamos u : u v' + u' v + u v = u v v + u v = ' + ' dv = v d ln v ln = v = e ln v = Subsiuindo u e v em 4 u ' = u ' = u = + C 4 C y = u v, chegamos a seguine solução geral: u = + 4 Méodo de Lagrange (Méodo de variação dos parâmeros) Dada uma equação diferencial linear, quando o ermo independene da variável incógnia é nulo, a equação é denominada homogênea Assim, dada a equação dy P( y Q( + =, se Q ( 0, a equação é dia equação diferencial linear não homogênea; se Q ( = 0, emos uma equação 88

23 diferencial linear homogênea Primeiramene, dada uma equação diferencial linear homogênea dy P( y 0 + =, por inegração obemos a solução ( ) y C e P =, onde C é uma consane arbirária Agora, se a equação é não homogênea, podemos usar, além dos méodos já esudados, o méodo de Lagrange para deerminar a solução dessa equação Nesse méodo, usamos a solução como uma função de, ou seja, fazemos variar o parâmero: ( ) y C e P = e consideramos a consane ( ) y C( e P =, com C ( uma função derivável que precisa ser deerminada Derivando ( ) y C( e P = emos: dy d = C e dy d d = + P( ( ) P( ( ) P( e C( C( e Subsiuindo y e dy na equação não homogênea, obemos: P( d P( P( e ( C( ) C( P( e + P( C( e = Q( d P( C e Q ( ) Assim, a solução geral é dada por: P( ( ) = ( ) C( = e Q( + C ( ) y C( e P = P( P( ( ) y = e e Q + C, onde C é uma consane arbirária Eemplo : Resolver a solução geral da equação y ' yg = cos, usando o méodo de Lagrange Primeiro, vamos considerar a EDO linear homogênea y ' yg = 0, 89

24 cuja solução é y g = Ce ln(cos = Ce = Ce ln(cos = C (cos Pelo méodo de Lagrange, a solução procurada é da forma C( y = Temos enão: cos Subsiuindo y e y na equação dada, resula: C '( cos + C( sen y ' = cos C '( cos + C( sen C( y ' = g = cos cos cos Após algumas simplificações, emos como deerminar C ( aravés da inegração de C ( : C'( = cos C' ( = cos C( = cos cos C ( = + sen + C 4 Enão, a solução geral é: y = + sen + C cos 4 A seguir, vamos resolver, por esse méodo, alguns eemplos que já foram solucionados aneriormene Eemplo : Achar a solução geral da equação Dada a equação homogênea y ' + y = 0, a solução é y ' + y = aravés do méodo de Lagrange y = Ce = Ce Logo, a solução de Lagrange será da forma: y = C ) ( e ; a derivada dessa função é dada por ' '( ) y = C e C( e Subsiuindo y e y na equação dada, emos: C '( e C( e + C( e = C '( = e C( = e C( = e e + C Subsiuindo em y = C ) ( e : ( ) y e e C e = + y e e e e C e = + y = ( ) + C e 90

25 Eemplo : Achar a solução geral da equação dy + y = pelo méodo de Lagrange d Inicialmene, resolvemos a equação homogênea y ' + y = 0 : Ce ln y = = Ce ln = Ce = C Logo, a solução a ser deerminada é C( ) y =, cuja derivada é: C'( ) C( ) y' = 4 Subsiuindo na equação dada: C '( ) C '( ) C( ) C( ) + = 4 C '( ) C( ) C( ) + = 4 4 = C '( ) = C( ) = d = + C 4 Logo, a solução geral é C y = + 4 Observação : Muias vezes é conveniene resolvermos uma EDO linear de ª ordem, com função incógnia (y) : ( ) ( an ) + y = arc y dy, arc any =, dy + y an + = arc y, dy + y + y Solução Geral: an arc any Ce arc y = + 9

26 ATIVIDADES Lisa - Ver eemplos E46 ao E5 no apêndice V Resolver as equações diferenciais lineares de primeira ordem: y + y = Resp: y = + C 5 y + y = Resp: y = C + + = Resp: y + = g + Ce g y cos y g 4 y + y = 0 Resp: y = + Ce / 5 dy y + = + arcsen d Resp: y = ( arcsen) + C 6 Seja a EDO linear de ª ordem y + y = 0 Deerminar a solução geral Deerminar os ponos críicos da solução Calcular lim y( 0 C Resp: y ( = + ; se C > 0, os ponos críicos das soluções são = ± 4 4C e se C < 0 não êm 4 ponos críicos; lim y( 0 = + quando C > 0 e lim y( 0 = quando C < 0 7 Dado o PVI y + y = 0 y( ) = Deerminar o inervalo de validade da solução Resp (,0) 9

27 Equações ransformadas em lineares Uma equação de Bernoulli é uma EDO de ª ordem da forma n, y + P( y = Q( y com n R e onde P( e Q( são funções conínuas em um inervalo I É claro que se n = 0, n = a equação é linear Porém, se n 0, n a equação não é linear Nesse caso, a mudança de variável z n = y ransforma a EDO de Bernoulli em uma EDO linear de ª ordem De fao, se z n = y, emos: y n = z y = z n n n z Subsiuindo y e y na equação de Bernoulli, resula: z n n n n z + P( z = Q( ) z n n z + P( z = Q(, n que é uma EDO linear de ª ordem Observação : Com a mudança de variável proposa, se o epoene n for negaivo, precisamos verificar separadamene se y = 0 é uma solução da EDO de Bernoulli, pois essa solução, nesse caso paricular, é eliminada ao n fazermos a subsiuição z = y Uma equação de Riccai é uma EDO de ª ordem da forma dy a( y a ( y a0( =, em que a ( ), a ( ) e a ( ) são conínuas um inervalo I e a ( 0 em I 0 Se y ( ) é uma solução paricular da equação de Riccai, enão a mudança de variável y = y reduz a uma EDO linear de ª ordem Assim, podemos concluir que a solução geral de uma equação de Riccai pode ser deerminada desde que se conheça uma solução paricular + z Observação : Uma equação de Riccai com coeficienes consanes dy ay by c =, 9

28 em uma solução y =, um número real, se e somene se é raiz da equação quadráica a + b + c = 0 Observação : Se y ( ) e y ( ) são soluções pariculares da equação de Riccai, enão a solução geral é dada por: y y y y = Ce a ( ( y y ), com C uma consane arbirária Observação 4: Se y ( ), y ( ) e y ( ) são soluções pariculares da equação de Riccai, enão a solução geral é dada por: com C uma consane arbirária ( y y)( y y) = C, ( y y )( y y ) ATIVIDADES Lisa - Ver eemplos E5 ao E56 no apêndice V Achar a solução geral de cada uma das seguines equações: y ; y + y = Resp: = ( ) e = 0 y Ce y + = 0 ; yy y Resp: > eqb:=y(*diff(y(,+*(y()^-=0; eqb := y( ) d + = y( ) y( ) 0 > dsolve(eqb,y(); y( ) = + e ( ) _C, y( ) = + e ( ) _C > dsolve(eqb,y(, implici ); y( ) e ( ) _C = 0 94

29 y + y y + = 0 ; Resp y( ) = + + _C + _C 4 y + 4y 9 = 0 ; 9 Resp y( ) = + 4 _C Achar a solução geral de cada uma das seguines equações, sendo dada uma solução paricular: y y = ; solução paricular y = ; + ( ) = ; solução paricular y = y y y Equações Diferenciais Lineares de ª Ordem Equações diferenciais lineares de segunda ordem são equações da forma d y ( ) d y( + f ( + g( y( = h(, d d onde f (, g ( e h ( são funções definidas num inervalo I Para simplificar a escria, usaremos a noação y + f ( y + g( y = h( Também vamos considerar o operador diferencial linear L ( y) = y + f ( y + g( y Em geral, para L ( y) = y + f ( y + g( y, emos i ) L y + y ) = L( y ) + L( ) ( y i i ) L( C y) = C L( y) ; por isso o operador é chamado linear Assim, quando resolvemos a equação y + f ( y + g( y = h(, deerminamos as funções que saisfazem L ( y) = h( Teorema : Teorema de Eisência e Unicidade O problema de valor inicial 95

12 Integral Indefinida

12 Integral Indefinida Inegral Indefinida Em muios problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objeivo é enconrar a própria função. Por eemplo, se a aa de crescimeno de uma deerminada população é conhecida, pode-se desejar

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