Segunda lista de exercícios

Transcrição

1 Segunda lisa de exercícios 14 de arço de 2016 Docene Responsável : Prof. Dr. Anônio C. Roque Monior: Crisiano Granzoi Os exercícios desa lisa deve ser resolvidos e Malab. Para a criação dos códigos, uilize o edior de exo e anenha boas práicas de prograação: indenação (recuo do exo e relação à arge), coenários sobre o que esá feio no código, ec. A lisa resolvida deverá ser enviada por e-ail ao docene eaooniordadisciplina(conendoosgráficospedidosecódigosuilizados) aé o prazo de 29 de arço de Nãoseesqueçadecolocaroseunoe na lisa resolvida. 1 Biciclea e erreno plano se ario Oovienodeuciclisapedalandouabicicleaeerrenoplanose ario 1 pode ser descrio pela segunda lei de Newon, dv d = F, (1) onde v éavelocidade, éaassadosisea"ciclisa+biciclea"ef éaforça sobre a biciclea gerada pelo ciclisa. Deerinar F écoplicado,poisaforça do ciclisa é ransiida às rodas por pedais, engrenagens, correia, ec. Ua abordage alernaiva considera a poência P gerada pelo ciclisa. A poência pode ser escria coo, P = de d, (2) onde de é a energia oal do sisea "ciclisa + biciclea". Coo o ovieno ocorre no plano, a energia do sisea é oda cinéica. Porano, 1 Na realidade, se não houvesse ario enre os pneus da biciclea e o chão não haveria ovieno da biciclea. Os pneus da biciclea apenas deslizaria e a biciclea ficaria parada. O que esaos supondo aqui é que não exise resisência ao ovieno de ranslação da biciclea, por exeplo, por causa da resisência do ar. 1

2 ou, P = dk d = d d 1 2 v2 = v dv d, (3) dv d = P v. (4) Se P = cons., aequação(4)podeserresolvidaanaliicaene: vdv = P Zv d =) v 0 v 0 dv 0 = Z P q d 0 =) v = v0 2 +2P /. (5) 0 Esa solução não pode corresponder à realidade física porque segundo ela avelocidadeauenacooeposeliie. Énecessárioadicionaralgu ero que liie o crescieno de v eesseeroéjusaeneaqueledevido àresisênciadoar. Aadiçãodaresisênciadoarfarácoquesejanecessário enconrar ua solução nuérica para o problea. Por causa disso, é conveniene coeçar pela solução nuérica da equação solúvel analiicaene. AaplicaçãodoéododeEuleràequação(4)resulae, v i+1 = v i + P, (6) v i onde éoaanhodopassodeepoev i éavelocidadenoepo i i. Coo já viso na aula passada, o ero doinane no erro ao fazer esa aproxiação é da orde de ( ) 2. Resolva nuericaene a equação (6). Para a sua solução, considere que v 0 = 4 /s, = 70 kg e P = 400 W. Co relação ao valor de, ele deve ser suficieneene pequeno para que a variável dinâica do problea (a velocidade) varie uio pouco durane. Oqueésuficieneenepequeno? Ua boa dica é coeçar co u passo de epo que seja da orde de 1% da escala de epo do problea e depois repeir o cálculo para valores enores. A solução deve convergir para u valor único à edida que vai ficando enor. Poré, não se pode usar u uio pequeno porque isso auena o cuso da copuação. A escolha do passo de epo final é ua escolha de coproisso enre precisão vs. cuso. No caso desa quesão, use dois valores de : =1 se =0, 1 s. Produza u gráfico de velocidade por epo (coo o da Figura 2.1 do livro Copuaional Physics) conendo a solução analíica e as soluções nuéricas para os dois passos de epo uilizados. Faça co que cada curva enha ua cor diferene. 2 Biciclea e erreno plano co resisência do ar Para u ciclisa pedalando a k/h a energia perdida devido ao ario nas engrenagens e pneus da biciclea é desprezível e coparação co a perdida 2

3 por causa da resisência do ar. Porano, u odelo razoavelene realisa precisa levar e cona apenas a resisência do ar. Modelar a resisência do ar é uio coplicado. Ua abordage cou é usar ua expansão e poências da velocidade v do sisea "ciclisa + biciclea", F res B 1 v B 2 v 2. (7) Para velocidades uio pequenas (próxias de zero), o ero linear doina sobre o quadráico, as para as velocidades do problea e quesão o ero quadráico é doinane. Porano, pode-se aproxiar: F res B 2 v 2. (8) Coo calcular B 2? Pode-se esiá-lo da seguine aneira: O sisea "ciclisa + biciclea" epurra ua quanidade de ar à sua frene. A assa de ar ovienada no epo d é, ar Avd, (9) onde éadensidadedoar,v éavelocidadedosiseaea éaáreadeconao fronal enre o sisea "ciclisa + biciclea" e o ar. Esa assa de ar recebe ua velocidade v, poranosuaenergiacinéicaé, K ar = 1 2 arv 2. (10) Pelo eorea rabalho-energia, ese é abé o rabalho feio pela força de resisência do ar (é a assa de ar ovida que se opõe ao ovieno) sobre o sisea no epo d: oqueiplicae, Pode-se enão escrever, W res = F res vd = 1 2 arv Av3 d, (11) F res 1 2 Av2. (12) F res = 1 2 C Av2. (13) AconsanedeproporcionalidadeC éconhecidacoocoeficienedearraso ou ainda coeficiene de resisência aerodinâica. Ela depende da aerodinâica do corpo que se ove e pode ser deerinada experienalene, por exeplo co edidas feias e úneis de veno. Subsiuindo a expressão para F res na equação de solução nuérica do problea pelo éodo de Euler: v i+1 = v i + P v i F res, (14) 3

4 ou, v i+1 = v i + P v i Av 2 i 2. (15) Resolva nuericaene a equação (15) e produza u gráfico coo da Figura 2.2 do livro Copuaional Physics (ploe abé a curva da solução analíica se resisência do ar). Para a sua solução, assua que A =0, 33 2 equea densidade do ar é 1,29 kg/ 3.Usecoopassodeepo =0, 1 s. Qual é a velocidade erinal do sisea "ciclisa + biciclea"? 3 Biciclea e erreno inclinado co resisência do ar Generalize o odelo anerior para o caso e que o ciclisa esá pedalando e u erreno onanhoso. A inclinação do erreno é dada por an, onde éo ângulo que a superfície do erreno faz co a horizonal. Quando se sobe ua onanha, a inclinação do erreno é posiiva e, quando se desce, a inclinação é negaiva. Para equacionar ese problea, lebre-se que quando u ciclisa sobe ou desce por u erreno inclinado a força graviacional faz sobre ele u rabalho dado por, W EP = gh = gs sin, (16) onde o índice EP indica energia poencial (quando o ciclisa sobe ele ganha energia poencial graviacional e quando ele desce ele perde energia poencial graviacional), éaassadosisea"ciclisa+biciclea", h éaalurasubida ou descida e s éadisânciapercorrida. Paraonanhascoinclinações pequenas (apple 10%), pode-se aproxiar sin an. Paraessescasos,porano, eapoênciaassociadaé, W EP = gs an, (17) P = gv an, (18) onde v éavelocidadedosisea"ciclisa+biciclea". Adicione ese ero à equação de solução nuérica do problea do ie anerior e a resolva para os casos e que an =0, 1 (subida) e an = 0, 1 (descida). Quais são as velocidades áxias do ciclisa nas duas siuações? Deerine que condições (envolvendo a inclinação an eaáreafronala) deve ser saisfeias para que o ciclisa ainja ua velocidade na descida igual a115k/h. 4

5 4 Movieno de u projéil se resisência do ar Nese exercício, você irá aplicar o éodo de Euler viso aneriorene a u problea de ovieno e duas diensões. O problea é o do ovieno de u projéil se resisência do ar viso nos cursos de física básica. Para ornar oprobleaaisconcreo,considereuabalaairadaporucanhão. Se a resisência do ar for ignorada, as equações de ovieno da bala são: d 2 x d 2 = 0 d 2 y d 2 = g, (19) onde x e y são as coordenadas horizonal e verical do projéil e g éaaceleração da gravidade. Para usar o éodo de Euler, pode-se ransforar esas equações diferenciais de segunda orde e equações diferenciais de prieira orde: dx d = v x dv x d = 0 dy d = v y dv y d = g, onde v x e v y são as coponenes x e y da velocidade do projéil. Aplicando o éodo de Euler a esas equações: (20) x i+1 = x i + v x,i v x,i+1 = v x,i y i+1 = y i + v y,i v y,i+1 = v y,i g. (21) Dados valores iniciais para x, y, v x e v y,pode-seresolveresesiseaparaober ua aproxiação nuérica para a rajeória do projéil. Assi coo nos casos aneriores, se for usado u suficieneene pequeno será obida ua boa aproxiação para a rajeória real. Resolva nuericaene as equações (21) pelo éodo de Euler. Para a sua solução, considere que o projéil é lançado da orige (x 0 = y 0 = 0) co velocidade inicial v 0 = 700 /s e ângulos de lançaeno de 30, 35, 40, 45, 50 e 55. Considere que =0, 01. Noe que o seu prograa deve parar quando y i+1 apple 0, pois a bala não pode er coordenada y negaiva. Produza gráficos das rajeórias da bala para odos os ângulos dados e coloque-os no eso gráfico coo na Figura 2.4 (esquerda) do livro Copuaional Physics. Ua sugesão para fazer iso é criar dois loops no seu prograa, u loop inerno que calcula a rajeória pelo éodo de Euler e u loop exerno que define qual ovalordoângulodelançaenousado. Usandoinerpolaçãolinear,esiea coordenada x do pono de colisão da bala co o solo e a velocidade da bala nese pono. Coo ese problea pode ser resolvido analiicaene, copare os seus resulados nuéricos co as soluções analíicas. 5

6 5 Movieno de u projéil co resisência do ar Nese exercício, você resolverá o eso problea do ie anerior para caso co resisência do ar. Assi coo no caso do ovieno do ciclisa, você verificará que a resisência do ar e u efeio uio iporane sobre o ovieno do projéil. A resisência do ar será odelada por ua força de arraso proporcional ao quadrado da velocidade do projéil, coo no caso da biciclea: F res = B 2 v 2, (22) q onde v éavelocidadedabala:v = vx 2 + vy. 2 Aforçaderesisênciadoarsepreéoposaàdireçãodavelocidadedoprojéil, de aneira que podeos decopô-la e coponenes coo osrado na Figura 2.3 do livro Copuaional Physics. A parir da figura, eos que: Subsiuindo (22) e (23), F res,x = F res cos = F res v xv F res,y = F res sin = F res v y v. (23) F res,x = B 2 vv x F res,y = B 2 vv y. (24) Adicionando essas forças à equação (21) que dá a solução nuérica da rajeória da bala pelo éodo de Euler, ou x i+1 = x i + v x,i F v x,i+1 = v res,x x,i y i+1 = y i + v y,i v y,i+1 = v y,i g F res,y, (25) x i+1 = x i + v x,i B v x,i+1 = v 2v iv x,i x,i y i+1 = y i + v y,i v y,i+1 = v y,i g B 2v iv y,i. (26) Adape o seu prograa do exercício anerior para resolver nuericaene as equações (26). Use os esos valores de x 0, y 0, v 0 e do caso se resisência do ar e assua que B 2 / = Produzaugráficocooodafigura 2.4 (direia) do livro Copuaional Physics. Assi coo no exercício anerior, use inerpolação linear para esiar a coordenada x do pono de colisão da bala co o solo e a velocidade da bala nese pono. No caso co resisência do ar, o ângulo de lançaeno que axiiza o alcance do projéil não é 45 coo no caso se resisência do ar. Usando seu prograa, ene esiar o ângulo de lançaeno para o qual ocorre alcance áxio nese problea. 6

7 6 Movieno de u projéil co resisência do ar e variação na densidade do ar co a aliude Nese exercício, você irá adapar o seu prograa do exercício anerior para incluir o efeio da variação da densidade do ar co a aliude. Coo a bala ainge aliudes elevadas durane sua rajeória, a redução da densidade do ar nessas aliudes (e relação à densidade do ar ao nível do ar) diinui a resisência do ar e a bala pode aingir aluras aiores e er u alcance aior e coparação co os resulados do exercício anerior. Para invesigar o efeio da redução na densidade do ar co a aliude é preciso er u odelo de coo a densidade do ar varia co a aliude. Há vários odelos para isso e aqui será usada a chaada aproxiação adiabáica (veja as páginas do livro Copuaional Physics). Segundo esa aproxiação, adependênciadadensidadedoarcoaaliudeédadapor, ay = 0 1, (27) T 0 onde 0 éadensidadedoaraoníveldoar(y =0), a 6, K/ e 2, 5 são parâeros que ajusa be a função (27) aos dados experienais para o caso do ar e T 0 é a eperaura ao nível do ar e K. Considerando avariaçãodadensidadedoarcoaaliude,aforçaderesisênciadoaré alerada para, F res (y) = (y) 0 F res (y = 0), (28) onde F res (y = 0) éaforçaderesisênciadoaraoníveldoar. Para incluir ese efeio nas equações do exercício anerior, basa subsiuir B 2 nas equações (26) por B 2 / 0.Façaissonoseuprograadoexercícioanerior eresolvanovaeneasequaçõesparaoberasrajeóriasdabalalevandoe cona a redução da resisência do ar devido à diinuiçào da densidade do ar co a aliude. Nos seus cálculos, considere que T 0 = 300 K. Produza curvas para a rajeória da bala co o efeio da redução da densidade do ar e se o efeio da redução da densidade do ar para ângulos de lançaeno de 35 e 45 e gere u gráfico coo o da Figura 2.5 do livro Copuaional Physics. 7