EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 1 2 quadrimestre 2011

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1 EN67 Transformadas em Sinais e Sisemas Lineares Lisa de Exercícios Suplemenares quadrimesre Figura Convolução (LATHI, 998) (N) (HAYKIN; VEEN,, p 79) O pulso rapezoidal x( ) da figura a seguir é aplicado a um diferenciador, definido por: d = x () y 8 6 y() (a) Deermine e esboce a saída resulane y do diferenciador (b) Deermine a energia oal de y( )

2 Resposa: (a) y = u ( + 5) u ( + 4) u ( 5) + u ( 4) ; (b) (N) (OPPENHEIM; WILLSKY,, p 39) Aprendemos diversas propriedades gerais dos sisemas De modo paricular, um sisema pode ou não ser: (a) Sem memória (b) Invariane no empo (c) Linear (d) Causal (e) Esável Deermine quais dessas propriedades são válidas e quais não são para o sisema de empo conínuo a seguir Jusifique suas resposas Como sempre, y( ) represena a saída do sisema e x( ) represena a enrada cos( 3) x y Resposa: (a) sem memória; (b) variane no empo; (c) linear; (d) causal; (e) esável = () 3 (N) (HSU, 4, p 7) O sisema mosrado na figura a seguir é formado pela conexão de dois sisemas em paralelo As resposas ao impulso dos sisemas são dadas por = e h e u h e u = (a) Enconre a resposa ao impulso h( ) do sisema oal; (b) O sisema oal é esável? Resposa: (a) h () = e + e u (); (b) esável 4 (N) (OPPENHEIM; WILLSKY,, p 49) Um sinal periódico de empo conínuo x( ) em valor real e período fundamenal T= 8 Os coeficienes diferenes de zero da série de Fourier de x( ) são Expresse x( ) na forma * 3 3 a = a =, a = a = 4j (3)

3 Resposa: = cos( ω + φ) (4) x A = π 3π π x () = 4cos 8cos (N) (LATHI, 7, p 593) Para o sinal periódico da figura a seguir, obenha os coeficienes da série de Fourier e race o especro correspondene Resposa: a, = 5 π sin 5, π 6 (D) (HAYKIN; VEEN,, p 79) O pulso rapezoidal x( ) mosrado na figura a seguir é definido por: Deermine a energia oal de x( ) x 5, 4 5, , 5 4, caso conrário (5) 8 6 y() 4 Resposa:

4 7 (D) (OPPENHEIM; WILLSKY,, p 39) Aprendemos diversas propriedades gerais dos sisemas De modo paricular, um sisema pode ou não ser: (a) Sem memória (b) Invariane no empo (c) Linear (d) Causal (e) Esável Deermine quais dessas propriedades são válidas e quais não são para o sisema de empo conínuo a seguir Jusifique suas resposas Como sempre, y( ) represena a saída do sisema e x( ) represena a enrada x( ) Resposa: (a) com memória; (b) variane no empo; (c) linear; (d) não causal; (e) esável y = x + (6) 8 (D) (HSU, 4, p 76) Calcule e esboce y = x h, em que x( ) e h( ) esão mosrados na figura a seguir Resposa: y (),<,< 3 5,3 < 5, caso conrário 9 (D) (OPPENHEIM; WILLSKY,, p 88) Usando os blocos básicos visos em aula, esboce represenações em diagrama de blocos para os sisemas LIT causais descrios pelas seguines equações diferenciais: (a) y dy = + 4x (b) dy + 3y = x 4

5 (D) (LATHI, 7, p 593) Para o sinal periódico da figura a seguir, obenha os coeficienes da série de Fourier e race o especro correspondene n Dica: ue du= ue n au n au n au u e du a a Resposa: a, = j, π (N) (HAYKIN; VEEN,, p 79) O pulso de cosseno elevado x( ) mosrado na figura a seguir é definido como: x Deermine a energia oal de x( ) π π cos ( ω) +, ω ω, caso conrário (7) 8 6 x() 4 -π/ω π/ω Resposa: E 3π 4ω = (N) (LATHI, 7, p 4) Um sisema é dado por: d = (8) x( ) y (a) O sisema é esável BIBO? [Dica: Considere a enrada do sisema x( ) como uma onda quadrada] 5

6 (b) O sisema é linear? Jusifique sua resposa (c) O sisema é sem memória? Jusifique sua resposa (d) O sisema é causal? Jusifique sua resposa (e) O sisema é invariane no empo? Jusifique sua resposa Resposas: (a) Não; (b) Sim; (c) Não; (d) Sim; (e) Sim 3 (N) (OPPENHEIM e al, 997, p 39) Seja: (a) Calcule e esboce y = x h 3 = ( 3) ( 5 ) e = x u u h e u (9) d (b) Calcule g = x h (c) Como g( ) esá relacionada com y( )?, 3 y = e,3 < e ( e e ), > Resposas: (a) (c) g dy = 3( 3) 3( 5) ; (b) g e u( 3) e u( 5) = ; 4 (N) (HSU, 4, p 7) Enconre os coeficienes especrais a e faça um gráfico de a para o sinal periódico T x mosrado na figura a seguir para d= 4 x() A -T d T T 6

7 Resposa: a A, = 8 A π 8 π π j sin e 8, 5 (N) (HAYKIN; VEEN,, p 65) O sisema mecânico mosrado na figura a seguir em a força aplicada x( ) como sua enrada e a posição y( ) como sua saída A relação enre x( ) e y( ) é regida pela equação diferencial d d m y f y y x + + = (a) Enconre a função de sisema H( s) dese sisema; (b) Enconre a resposa em frequência H( jω) dese sisema; () (c) Para qual valor de frequência w c o módulo da resposa em frequência ainge seu máximo? H s = H jω = ; (c) m + + jfω Resposa: (a) ms + fs+ ; (b) ( ω ) ω = c m 6 (OPPENHEIM e al, 997, p 57) Deermine os valores de P e E para cada um dos seguines sinais: (a) x = e u (b) x = e π j + 4 (c) x = 3 cos Resposas: no livro 7 (OPPENHEIM e al, 997, p 57) Seja x( ) um sinal com x( ) = para < 3 Para cada sinal dado a seguir, deermine os valores de para os quais se garane que ele é nulo: (a) x( ) (b) x( ) + x( ) (c) x( ) x( ) (d) x( 3 ) 7

8 (e) x 3 Resposas: no livro 8 (OPPENHEIM e al, 997, p 57) Expresse a pare real de cada um dos seguines sinais na a forma Ae cos( ω φ) π< φ π : (a) x( ) = j (b) x ( 4 ) = e ( + π) π cos 3 (c) x = e ( + π) 3 sin 3 ( ) (d) x = je +j 4 Resposas: no livro +, em que A, a, ω e φ são números reais com A> e 9 (OPPENHEIM e al, 997, p 58) Deermine se cada um dos seguines sinais é ou não periódico Se um sinal for periódico, especifique seu período fundamenal j ( ) (a) x = je (b) x = e +j Resposas: no livro (OPPENHEIM e al, 997, p 58) Considere o sinal de empo conínuo: Calcule o valor de E para o sinal Resposas: no livro δ δ( ) x = + () y = x () (HSU, 4, p 5) Considere o circuio RC mosrado na figura a seguir Enconre a relação enre a enrada x( ) e a saída y( ): (a) se x = v e y v S = (b) se x = v e y i S C = 8

9 Resposas: no livro (OPPENHEIM e al, 997, p 59) Considere um sisema de empo conínuo com enrada x( ) e saída y( ) relacionada por: (a) Ese sisema é causal? (b) Ese sisema é linear? Resposas: no livro ( sin) y = x (3) 3 (OPPENHEIM e al, 997, p 59) Para a seguine relação enrada-saída, deermine se o sisema correspondene é linear, invariane no empo ou ambos: Resposas: no livro y = x (4) 4 (OPPENHEIM e al, 997, p 39) Deermine e esboce a convolução dos seguines sinais: Resposas: no livro +, x =,< (5), caso conrário h = δ( + ) + δ( + ) 5 (OPPENHEIM e al, 997, p 39) Suponha que: x,, caso conrário (6) h = x α, com < α e (a) Deermine e esboce y = x h (b) Se dy coném apenas rês desconinuidades, qual é o valor de α? 9

10 Resposas: no livro 6 (OPPENHEIM e al, 997, p 4) Quais das seguines resposas ao impulso correspondem a sisemas LIT esáveis? ( j ) (a) h = e u (b) h = e u Resposas: no livro cos 7 (OPPENHEIM e al, 997, p 4) Considere um sisema LIT cuja enrada x( ) e a saída y( ) esejam relacionadas pela equação diferencial: O sisema ambém saisfaz a condição de repouso inicial ( + 3j ) (a) Se x = e u, qual é d y ( ) + 4 y ( ) = x ( ) (7) y? (b) Noe que Re{ x( )} saisfará a Eq (7) com Re{ y( )} Deermine a saída sisema LIT se Resposas: no livro cos( 3) u x = e (8) y do 8 (OPPENHEIM e al, 997, p 5) Use a equação de análise da série de Fourier para calcular os coeficienes a do sinal periódico de empo conínuo: x 5, < 5, < (9) com frequência fundamenal ω = π Resposas: no livro 9 (OPPENHEIM e al, 997, p 5) Suponha que sejam dadas as seguines informações sobre um sinal x( ): x( ) é real e par x( ) é periódico com período T= e em coeficienes de Fourier a 3 a = para > x = 4

11 Especifique dois diferenes sinais que saisfazem esas condições Resposas: no livro 3 (OPPENHEIM e al, 997, p 54) Considere um sisema LIT causal implemenado como o circuio RLC mosrado na figura a seguir Nese circuio, x( ) é a ensão de enrada A ensão y( ) sobre o capacior é considerada a saída do sisema (a) Enconre a equação diferencial relacionando x( ) e y( ) (b) Deermine a resposa em frequência dese sisema considerando a saída do sisema a enradas da forma j x = e ω (c) Deermine a saída y( ) se x sin Resposas: no livro =