Exercícios sobre o Modelo Logístico Discreto

Transcrição

1 Exercícios sobre o Modelo Logísico Discreo 1. Faça uma abela e o gráfico do modelo logísico discreo descrio pela equação abaixo para = 0, 1,..., 10, N N = 1,3 N 1, N 0 = Solução. Usando o Excel, a abela e o gráfico são dados abaixo. N 0 1, , , , , , , , Gráfico de N para o exercício 1 8,00 6,00 N 4,00 2,00 0,

2 O gráfico apresena um crescimeno logísico (ou sigmóide) ípico no início, mas ocorre um breve crescimeno além da capacidade de carregameno K = 10 em = 5, seguido de oscilações que decaem em ampliude em direção a N = 10. Isso pode ser melhor viso no gráfico a seguir, que mosra um zoom do comporameno de N para a escala do eixo verical indo de 9,98 aé 10,03. Zoom do gráfico de N para o exercício 1 N 10,03 10,03 10,02 10,02 10,01 10,01 9,99 9,99 9, Use o Excel para explorar o que aconece com o modelo N N = RN 1, 10 para N 0 = 1, nos casos em que o parâmero R assume os valores: 0,2; 0,8; 1,3; 2,2; 2,5; 2,9; e 3,1.

3 Será necessário variar o número de passos de empo de acordo com o modelo. Solução. Esses gráficos esão mosrados abaixo. R=0,2 12,00 8,00 N 6,00 4,00 2,00 0, R=0,8 12,00 8,00 N 6,00 4,00 2,00 0, Esses dois primeiros gráficos apresenam um comporameno sigmóide ípico, com o gráfico para R = 0,8 aingindo a capacidade de carregameno mais rapidamene do que o gráfico para R = 0,2.

4 O gráfico para R = 1,3 é idênico ao viso no exercício anerior, com a população apresenando um comporameno sigmóide no início do seu crescimeno, mas ulrapassando brevemene o valor de N = 10 (overshoo), para depois cair um pouco abaixo de N = 10 (undershoo) e seguir oscilando, de maneira amorecida, em direção ao valor de equilíbrio N = 10. R=2,2 12,00 8,00 N 6,00 4,00 2,00 0, Quando R = 2,2, surpreendenemene, a população não se aproxima do valor de equilíbrio N = 10. Ao invés disso, o valor da população oscila de maneira regular em orno de K, como mosrado na figura acima. Os valores de N salam repeidamene de N 7,5 para N 11,6.

5 R=2,5 12,00 8,00 N 6,00 4,00 2,00 0, Para R = 2,5, a população novamene não ainge o valor de equilíbrio K = 10, mas fica oscilando em orno dele de uma maneira mais complicada do que no caso anerior. Ela fica alernando em um ciclo composo por quaro valores, N 5,4, N 11,6, N 7,0 e N 12,25, como mosrado na figura abaixo. Para R = 2,9 o comporameno da população é mais complicado ainda. O seu valor coninua oscilando, só que agora não exise mais um padrão nas oscilações e, em alguns momenos, o amanho da população se reduz quase ao valor inicial de N = 1. Isso esá mosrado na figura abaixo

6 R=2,9 14,00 12,00 N 8,00 6,00 4,00 2,00 0, Para R = 3,1, o comporameno orna-se ainda mais complicado e as oscilações levam a população a se reduzir ano que ela ainge o valor nulo, ornando-se exina. Veja isso na figura abaixo. R=3,1 14,00 12,00 N 8,00 6,00 4,00 2,00 0,

7 Na próxima aula vamos analisar melhor o efeio que as mudanças no parâmero R êm no comporameno da população. 3. Suponha que você enha observado os seguines valores para o amanho de uma população de inseos em laboraório N 0,97 1,52 2,31 3,36 4,63 5,94 7,04 7,76 8,13 8,3 8,36 Você acha que esses dados podem ser, pelo menos de maneira aproximada, consisenes com um modelo logísico? Jusifique sua resposa. Se os dados forem consisenes com um modelo logísico, esime os valores de R e K para um modelo do ipo N = RN( 1 N K ). Solução. A primeira coisa a fazer para saber se os dados são consisenes com um modelo logísico é fazer um gráfico deles. O gráfico, feio no Excel, esá mosrado abaixo.

8 Crescimeno da População de Inseos N Pelo formao do gráfico, que é de ipo sigmóide, podemos concluir que um modelo logísico parece ser uma escolha razoável para modelar os dados experimenais. O valor para o qual a população ende (o valor de equilíbrio, ou capacidade de carregameno) deve ser algo um pouco acima de 8,36, por exemplo K 8,4. Para esimar R lembremos que, para N pequeno, R é equivalene à axa de crescimeno geomérico do modelo malhusiano, dada por R = 1 λ. E λ pode ser esimada pela razão N 2 N1. Logo, R = 1 N N 2 1 = 1 1,52 0,97 = 1 1,567 = 0,567. Enão, nosso modelo logísico esimado é,

9 N N = 0,567N 1. 8,4 Para esar se esse modelo realmene fornece um bom fiing para os dados experimenais, podemos fazer um gráfico dele juno com o gráfico experimenal, que esá mosrado abaixo. Crescimeno da População de Inseos N Nmedido Neórico O ajuse não esá ruim, mas fica-se com a impressão que é possível fazer melhor. Como o Excel permie que se alere o valor de um parâmero e o resulado seja viso imediaamene no gráfico, por enaiva e erro o professor conseguiu chegar a um fiing melhor, com os parâmeros, R = 0,63 e K = 0,84. O gráfico esá mosrado abaixo.

10 N Crescimeno da População de Inseos R=0,63 e K=8, Nmedido Neórico 4. Suponha que uma população seja modelada pela equação, N + N 1 = _ 0,2 1 N N, onde N é medida em indivíduos. a) Enconre uma equação da mesma forma, descrevendo a mesma população, mas com a população medida em milhares de indivíduos. b) Enconre uma equação da mesma forma, descrevendo a mesma população, com a população medida em unidades escolhidas de forma que a capacidade de carregameno seja 1 nessas unidades.

11 Solução. Ese é um bom problema, pois mosra a vocês como fazer para mudar as unidades de um problema sem er que refazer odo o modelo maemáico sendo usado. No iem (a), pede-se para re-escrever a equação do modelo no caso em que a população é medida em milhares de indivíduos. Vamos supor que a nova variável que irá represenar o amanho da população em múliplos de mil indivíduos é M. Porano, quando M = 1, isso quer dizer que deveremos er N = 1000 nas unidades do modelo original. Logo, N = 1000M. Subsiuindo esa equação no modelo, 1000M = , M + M M, e, simplificando, chegamos à equação desejada, M + M 1 = + 0,2 1 M M. 200

12 Noe que, nese caso, a capacidade de carregameno fica escria como 200 em unidades de mil indivíduos, ou 200 mil, que é a mesma capacidade de carregameno do modelo original, Para resolver o iem (b), devemos considerar que o valor da capacidade de carregameno é de indivíduos. Porano, as unidades em que esse valor seja igual a 1 devem ser ais que (vamos chamar a nova variável para o amanho da população de P ), N = P. Subsiuindo isso na equação original do modelo, P = , P + P P, de maneira que, P ( P ) + 1 = P + 0,2P A écnica de cobwebbing não é limiada apenas ao modelo logísico. Ela pode ser usada para ober os valores de N de forma ierada para qualquer modelo baseado em equações de diferenças finias.

13 Deermine graficamene, pelo méodo de cobwebbing os valores do amanho da população para os próximos seis passos de empo para cada um dos quaro casos da figura abaixo, a parir dos valores de N 0 indicados. Solução. Os desenhos obidos pela aplicação do méodo de cobwebbing esão mosrados nos gráficos a seguir. Noe que o modelo do primeiro gráfico é linear (malhusiano) e que o amanho da população cresce veriginosamene.

14 Para o modelo (b), parece que o valor da população vai ficar oscilando enre dois valores em orno da capacidade de carregameno, como em um dos casos do exercício 2. No caso (c), a população ende direamene para a capacidade de carregameno. Já no caso (d), ela ambém ende para a capacidade de carregameno, mas a convergência ocorre de maneira oscilaória. 6. Muios dos modelos que esamos vendo para modelar dinâmica de populações podem ser usados para modelar várias ouras siuações de ineresse cienífico.

15 Uma delas ocorre na modelagem de reações químicas, pois, em geral, as axas em que as reações ocorrem são proporcionais às quanidades de reagenes presenes. Suponha uma reação em que a subsância A é converida coninuamene na subsância B. Considere que a soma das quanidades das duas subsâncias é sempre consane e igual a K e que os valores iniciais de A e B são, respecivamene, iguais a K e 0. Consrua uma equação de diferenças finias para modelar a reação e use-a para deerminar como o gráfico da quanidade da subsância B deve se comporar em função do empo. Solução. A reação que esamos esudando é, A B. Esamos ineressados em modelar como o comporameno de B varia no empo, dadas as condições iniciais A = K e B 0 = 0, e que a soma de A e B é consane e igual a K.

16 Vamos supor que a axa com que B é formada é proporcional à quanidade de A exisene, iso é, quano mais moléculas de A exisirem, mais moléculas de B esarão sendo formadas por unidade de empo. Escrevendo isso em ermos de uma equação de diferenças finias (empo discreo), B = RA, onde R é a consane de proporcionalidade. Vamos agora usar a condição de que a soma das quanidades de A e B é sempre consane, A + B = K A = K B. Subsiuindo isso na equação para B, B = R( K B). Esa é a equação procurada. Ela nos diz que a axa com que B é criada é proporcional à diferença enre a quanidade oal de subsâncias K e a quanidade de B.

17 Ou seja, quando há pouca quanidade de B formada, a axa de formação de B é grande, mas quando há muia quanidade de B já formada a axa é pequena e se aproxima de zero à medida em que a quanidade de B se aproxima de K. Porano, nese modelo, as consanes K e R êm papéis similares às consanes K e R do modelo para uma população: K é a quanidade máxima de B que pode exisir e R conrola a velocidade com que B é criada. O valor de R em que esar enre 0 e 1. Se R = 0, não emos formação de B a parir de A e, se R = 1, oda a quanidade de A é converida em B em apenas um passo de empo. Para ver isso, reescreva a equação anerior como, B = B + R( K B ). Porano, se R = 1 emos, onde fizemos B 0 = ( K B ), B = 1 = B K

18 Gráficos de B versus para R = 0,2 e R = 0,7 esão mosrados nas figuras abaixo (com K = 10). Nos dois casos, comporameno de B x é o de um fore crescimeno inicial cuja axa vai se reduzindo à medida que B se aproxima de K = 10. Quano maior o valor de R, mais rapidamene o valor de B se aproxima de K (noe as mudanças nas escalas do eixo horizonal). Quanidade de B R=0,2 B 12,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0, Quanidade de B R=0,7 B 12,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,

19 7. Uma reação química é dia auocaalíica quando a axa em que ela ocorre é proporcional às quanidades, ano dos reagenes como dos produos presenes (iso é, o produo da reação é um caalisador para a reação). Assuma novamene a reação da quesão anerior, onde a soma das quanidades de A e B é consane e igual a K, mas considere que agora a reação é auocaalíica de maneira que a axa de criação de B em que ser proporcional às quanidades de A e de B exisenes. Faça um modelo de diferenças finias para essa siuação e repia a análise feia na quesão anerior. Solução. Como a reação é auocaalíica, é necessário que exisa pelo menos uma quanidade mínima de B no início da reação para que ela proceda. Iso implica que B 0 0. Podemos escrever a equação para a axa de formação de B como, B = RAB = RB( K B). Noe que se B = 0 não há formação de B.

20 Observe que a equação obida em a forma de uma equação logísica. Podemos reescreve-la como, B = B [ 1+ R( K B )]. + 1 Um gráfico dessa equação para B 0 = 0,001, K = 10 e R = 0,1 esá dado abaixo. Noe que ele em a ípica forma sigmóide da solução de um modelo logísico. Quanidade de B R=0,1 B A forma sigmóide da solução é basane apropriada para uma reação auocaalíica. Ela indica que a reação progride lenamene no início, quando a quanidade do produo B é pequena; que depois ela se acelera quando há quanidades significaivas ano de B como de A; e que, finalmene, ela se desacelera de novo quando a quanidade de A diminui.

21 Noe que se o valor da consane R for um pouco maior do que 0,1, começam a ocorrer oscilações na convergência de B para K. Nessas oscilações, o valor de B ulrapassa 10, que é o máximo valor possível (veja a figura abaixo, para R = 0,15). Porano, elas não são aceiáveis para ese caso. Isso indica que o modelo de equações de diferenças finias desenvolvido é válido apenas para valores bem pequenos de R, enre 0 e 0,1 aproximadamene. Quanidade de B R=0, B