Instituto de Física USP. Física V - Aula 26. Professora: Mazé Bechara

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1 Insiuo de Física USP Física V - Aula 6 Professora: Mazé Bechara

2 Aula 6 Bases da Mecânica quânica e equações de Schroedinger. Aplicação e inerpreações. 1. Ouros posulados da inerpreação de Max-Born para a onda da parícula. A equação geral da mecânica quânica de Schroedinger.. Propriedades das funções de onda decorrenes da inerpreação probabilísica de Max Born. 3. Aplicação: funções de onda e seus resulados na inerpreação de Max Born.

3 Mecânica Ondulaória para a parícula: A Inerpreação Esaísica de Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Posulado 01: o esado dinâmico de uma parícula pode ser descrio por uma função de onda espaço-emporal que permie exrair (odas) informações sobre a dinâmica da parícula. Posulado 0: O que em siginificado físico direo não são as funções de onda espaço-emporais que podem aé ser funções imaginárias. O significado físico esá na grandeza O módulo ao quadrado da função de onda se relaciona com a densidade de probabilidade ou seja no caso de movimenos vale a relação: dp( ) é a probabilidade de uma única parícula esar na posição denro do volume =dxdydz (em coordenadas caresianas) no insane por unidade de dv.

4 Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Analogamene para os movimenos bidimensional e unidimensional a relação do módulo ao quadrado da função de onda é com a densidade superficial e a densidade linear de probabilidade respecivamene: Posulado 3. Há uma oura função de onda que ambém define o esado dinâmico da parícula e a função de onda momeno linear-emporal por: que analogamene em seu quadrado do módulo definido probabilidade da parícula er momeno linear por unidade de denro do volume

5 Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Posulado 3. As funções de onda são a ransformada de Fourier uma da oura ou seja ao se conhecer uma a oura pode ser deerminada pela ransformada de Fourier. O vínculo enre as duas funções de onda vem das relações de incereza que relaciona a indeerminação de cada coordenada com o momeno linear naquela direção. Posulado 4. Quando se descreve a dinâmica da parícula pelas funções de onda espaço real as grandezas físicas que dependem somene da posição são represenadas pelas mesmas funções que na Física clássica.

6 Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Posulado 5. As grandezas que dependem da velocidade quando uilizadas as funções espaço-emporais devem ser represenadas por operadores diferenciais consruídos a parir das expressões clássicas que definem a grandeza física subsiuindo o momeno linear pelo operador diferencial: Veorialmene: pˆ pˆ x i pˆ y j pˆ z k i i x i y j i k z Em Componenes: ˆ p x i x ˆ p y i y ˆ p z i z

7 Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Uma razão do Posulado 5: O valor esperado ou valor médio de uma grandeza física que depende do momeno linear pode ser deerminado com uso da função de onda do espaço real-empo da seguine forma: Observe que: 1. o operador é obido subsiuindo-se na expressão clássica da grandeza física o momeno linear pelo operador. Inerpreação física: a média é o resulado que a eoria prevê para várias medidas da grandeza física no mesmo esado quânico. Valem relação e inerpreação similares de f para grandeza escalar.

8 Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Posulado 6. Se a grandeza física depender da posição e do momeno linear como por exemplo o momeno angular vale a mesma regra de consrução de operador da grandeza física com a complicação que o operador dependerá de posição e de operadores diferenciais de posição. Obs. nessa disciplina só usaremos a função de onda no espaço real Ψ(r) já que rabalharemos com a mecânica quânica no formalismo de Schroedinger.

9 Mecânica Ondulaória Para A Parícula: A Inerpreação Esaísica De Max Born Ref. Enge Wehr & Richards - Inroducion o Aomic Physics Posulado 7: Quando uma grandeza física (F) obedece a equação do ipo: Que é conhecida em maemáica como equação de auo-valores enão é chamada de auo função da grandeza física F e a consane f o o auo-valor: Se (e só se) o auo-valor f o for real se inerprea que a grandeza física F na dinâmica quânica descria pela função de onda Ψ é uma consane de movimeno ou seja F não muda de valor e ese valor (consane) é f o em qualquer medida. Essa definição vale da mesma forma para grandezas veoriais. Obs. Esa equação é a equação da auovalor e a função é chamada de auo-função da maemáica. Mas na maemáica o auovalor pode ser imaginário.

10 A equação básica da Mecânica Quânica no formalismo de Schroedinger Posulado 8. Usando o posulado 5 para deerminar o operador energia cinéica: No caso de movimeno unidimensional: A equação de Schroedinger é compaível com o princípio de incereza ou de indeerminação de Heisenberg e as relações de de Broglie. ) ( } { ) ( )} ( { r i r r U m ) ( = i (x) + U(x) x x m ) ( ) ( )] ( ˆ [ ) ( r i r r U E r H c

11 A equação de Schroedinger para odas as parículas em movimeno não relaivísico { m U ( r )} ( r ) { i } ( r )

12 No caso de esados não ligados nos quais a parícula pode ir a posições no infinio (infiniamene longe da origem do poencial de ineração) a função de onda deve ser finia em qualquer pono. A possibilidade de ocupar um espaço infinio orna a função de onda não normalizável. O que se impõe nesas siuações físicas é a conservação da parícula (a ser discuido poseriormene como se faz). Propriedades das funções de onda decorrenes da inerpreação probabilísica 1. As funções de onda devem ser: unívocas porque a probabilidade (módulo ao quadrado das funções) em cada pono não pode er valores diferenes; conínuas porque as probabilidades não podem er valores indefinidos em nenhum pono; finias em odos os ponos do espaço porque probabilidades são finias.. As funções de onda de esados ligados (que descrevem parículas que ocupam região finia do espaço) devem ser normalizadas ou seja:

13 Propriedades das funções de onda decorrenes da inerpreação probabilísica. Observação imporane: No caso de esados não ligados nos quais a parícula êm probabilidade não nula de ir a posições no infinio (infiniamene longe da origem do poencial de ineração) a função de onda deve ser finia em qualquer pono. Porém a possibilidade de ocupar um espaço infinio orna a função de onda não normalizável. O que se impõe nesas siuações físicas é a conservação da parícula ou seja que ela eseja em algum lugar do espaço infinio não desapareça! (a ser discuido como se faz poseriormene)

14 Propriedades decorrenes Da Inerpreação Probabilísica 3. As derivadas espaciais das funções de onda ambém devem ser: unívocas conínuas e finias em odo o espaço. As derivadas esão associadas aos valores das componenes do momeno linear p no espaço das funções de onda espaço-emporal e devem ser unívocos e finios. Cuidado com o caso paricular de energia poencial infinia em alguns ponos ou regiões do espaço aproximação no caso de energias poenciais muio maiores do que a energia oal e usada como boa aproximação da realidade. Neses casos não há coninuidade das derivadas das funções de onda. Mas há coninuidade das funções de onda!

15 Aplicação - inerpreações na mecânica quânica Uma parícula de massa m em funções de onda abaixo: Quesãp Q7 do Guia ao ópico IV (a) Deermine a densidade de probabilidade de se er a parícula em uma posição em um cero insane por unidade de dx. Comene como al resulado depende do empo. (b) Deermine a consane A que permie ais funções represenarem funções de onda mecânica quânica. Jusifique. (c) Quais as posições mais prováveis da parícula no esado com n=1? E com n=? E as menos prováveis? O que você enende por "posição mais provável e posição menos provável em ermos de medidas? Jusifique. (d) Deermine a probabilidade da parícula ser enconrada a um quaro do comprimeno da caixa de uma das paredes para qualquer esado n. Mosre no gráfico perinene nos esados n=1 e n= o que represena a probabilidade. Jusifique. Sua resposa depende da definição da origem do eixo? Jusifique. (e) O momeno linear é uma consane no movimeno da parícula? E a energia? Jusifique formalmene. Se forem consanes deermine os valores do momeno linear e energia; se não forem consanes deermine os valores médios. Jusifique. (f) É o quadrado do momeno linear uma consane de movimeno? Se for deermine o seu valor. Se não for deermine o valor médio. (g) Não são conradiórias as resposas aos dois iens aneriores? Jusifique e comene. (h) O que é possível prever usando a função de onda espaço emporal sobre o resulado de uma unica medida das seguines grandezas físicas da parícula: f1 posição; f energia; f3 momeno linear? Jusifique suas resposas. (i) (0 x a ) n x Asen exp( a i n ) ( x oex a ) ~ 0 ma Responda o mesmo que no iem anerior no caso de cem (100) medidas. Jusifique. (j) O que é mosrar formalmene que as funções de onda dadas são compaíveis com o princípio de incereza? Faça dealhadamene em casa! na

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