A Equação de Onda em Uma Dimensão (continuação)

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1 A Equação de Onda em Uma Dimensão (continuação) Energia em uma onda mecânica Consideremos novamente o problema da onda transversal propagando-se em uma corda vibrante em uma dimensão (lembrese, a corda vibrante é um modelo protótipo para todos os tipos de onda mecânica em uma dimensão). Suponhamos que a onda seja produzida na corda por uma pessoa ou máquina (que vamos chamar de agente motriz) que a segure por sua extremidade da esquerda e a faça vibrar transversalmente executando um MHS. A onda gerada por esse movimento se propaga ao longo da corda e o efeito disso é que os diferentes pedaços da corda sobem e descem, isto é, são postos em movimento. Se houver um objeto preso à outra extremidade da corda (um peso como o da figura da página da aula 4), ele também será posto em movimento. Esses movimentos dos diversos pontos da corda e do peso preso à sua extremidade ocorrem porque trabalho mecânico é realizado sobre eles. Esse trabalho é devido à energia que é transportada pela onda ao longo da corda.

2 Obviamente, quando a corda estava em repouso antes que o agente motriz pusesse sua extremidade da esquerda em movimento os seus pontos não se movimentavam para cima e para baixo. Isto significa que a corda sozinha não tem condições (ou energia) para produzir a onda que se propaga através dela. É necessário que energia seja fornecida de fora para que a corda seja posta em movimento e a onda ocorra. Essa energia vem do agente motriz que faz com que a extremidade da esquerda da corda oscile. Devemos notar que quando uma onda se propaga por uma corda, não somente os seus pontos se movem como também a corda sofre deformações (por causa da sua elasticidade). Isto implica que a energia transmitida à corda deve estar presente em duas formas: na forma de energia cinética, associada ao movimento da corda, e na forma de energia potencial elástica, associada à deformação da corda. Vamos, a seguir, calcular a energia total por comprimento de onda de uma onda harmônica propagando-se em uma corda esticada. A energia será calculada por comprimento de onda e não para a corda inteira porque a corda pode ter tamanhos diferentes, mas um comprimento de onda será sempre um comprimento de onda.

3 Vamos novamente considerar todas as aproximações feitas na aula passada para a dedução da equação das cordas vibrantes (consulte a aula passada para relembrá-las). Consideremos uma configuração qualquer da onda na corda em um instante t > 0. Seja um segmento de corda que, no repouso, está entre x e x + dx. Vamos supor que o segmento é tão curto que quando a corda está vibrando ele possa ser aproximado por uma linha reta. Vamos chamar o comprimento do segmento na situação em que a corda vibra de ds (veja a figura abaixo). A massa do segmento é dm µ dx e a sua velocidade transversal é v. () t Logo, a energia cinética do segmento é dk µdx t. () 3

4 Com base em () podemos definir a energia cinética por unidade de comprimento da corda, ou densidade linear de energia cinética, como dk dx µ t. (3) Para calcular a energia cinética de um pedaço da corda de um dado comprimento qualquer, basta integrar a expressão acima por esse comprimento. A energia potencial elástica do segmento pode ser calculada a partir do trabalho feito pela força atuando sobre o segmento (a tensão constante T) para deformá-lo. Note que como o segmento é tão pequeno que pode ser tomado sempre como reto, a única deformação possível é uma alteração no seu comprimento (um estiramento ou uma compressão). Essa alteração é dada pela diferença ds dx. O trabalho feito pela tensão T para deformar o segmento de corda é então dw T(ds dx), de maneira que a energia potencial elástica do segmento é du ( ds dx) T. (4) Olhando para a figura da página 3 podemos escrever, 4

5 ds [( dx) + ( d) ] / dx + x Certifique-se de que você entende o porquê de se escrever a expressão acima em termos da derivada parcial x. /. Supondo que os deslocamentos transversais são pequenos, temos que x <<. Isto implica que podemos aproximar o termo que multiplica dx no lado direito da expressão acima por sua expansão binomial truncada no segundo termo, obtendo ds dx + x, ou ds dx Substituindo (5) em (4) obtemos, x dx. (5) du T x dx. (6) ( + x) n + nx. 5

6 Pode-se então definir a energia potencial elástica por unidade de comprimento da corda, ou densidade linear de energia potencial elástica, como du dx T x. (7) A energia potencial elástica de um dado pedaço de corda é dada pela integral da densidade linear acima pelo comprimento do pedaço de corda. As expressões obtidas acima para as densidades lineares de energia cinética (equação 3) e energia potencial elástica (equação 7) são gerais, válidas para qualquer tipo de onda que se propague pela corda. Vamos agora particularizar nosso estudo e considerar que a onda que se propaga pela corda é uma onda harmônica dada por, ( x t) Acos( kx ω t + ϕ),. (8) A velocidade transversal da corda, para um dado ponto x, é então, v x, t) ( x, t) ω Asen t + t ( kx ω ϕ) (. (9) Podemos escrever esta expressão como ( kx ω +ϕ) v( x, t) Vsen t, (0) 6

7 onde V ωa é a máxima velocidade transversal da corda. Num instante de tempo t qualquer, por exemplo t *, as velocidades transversais para os vários pontos da corda são: v ( x, t * * ( kx ω t + ϕ) V sen( + δ ) ) V sen kx onde δ ωt + φ é uma nova constante de fase., () Observe que para quaisquer outros instantes de tempo, t **, t ***, etc, a expressão acima é a mesma, apenas com uma constante de fase diferente. Dito de outra maneira, a distribuição de velocidades transversais ao longo da corda varia no espaço como uma função seno com amplitude V, independentemente do instante de tempo t considerado. Como estamos interessados aqui em calcular a energia de um comprimento de onda e a distribuição de velocidades transversais é sempre senoidal e de mesma amplitude, isto é, o comprimento de onda é o mesmo para toda a onda, a informação sobre a constante de fase δ é desnecessária para o nosso cálculo. Podemos, portanto, sem perda de generalidade para os nossos propósitos, fazer δ 0 na equação () e usar a distribuição espacial de velocidades transversais escrita como 7

8 v ( kx) ( x) Vsen. () Substituindo () em (3), temos que a densidade linear de energia cinética da corda é: dk dx [ v ( x) ] µ V sen ( kx) µ. (3) Podemos reescrever a expressão acima como dk dx π µ V sen x λ. (4) A energia cinética total de um pedaço de fio com comprimento igual a um comprimento de onda é, portanto: K λ x+ λ µ V sen x πx dx λ. (5) A integral do quadrado do seno na expressão acima vale λ/ (mostre isto como exercício para casa), x+ λ x sen πx dx λ λ, de maneira que, K λµω 4 4 λ λµ V A. (6) Esta é a energia cinética de um comprimento de onda da corda quando uma onda harmônica se propaga por ela. 8

9 Vamos agora calcular a energia potencial elástica de um comprimento de onda, também para o caso de uma onda harmônica propagando-se pela corda. Olhando para a equação (7), vemos que precisamos calcular x para isso. Da equação (8), temos: ( x, t) kasen( kx ω t +ϕ) x. (7) Assim como feito no caso do cálculo da energia cinética, num instante de tempo t qualquer, por exemplo t *, esta expressão é: ( x, t x * ) kasen * ( kx ω t + ϕ) kasen( kx + δ ) onde δ ωt + φ é uma nova constante de fase., (8) Como novamente nosso interesse restringe-se apenas a um comprimento de onda, podemos escrever a expressão acima como ( x) kasen x ( kx), (9) de maneira que a densidade linear de energia potencial elástica é: du T ( x) Tk A sen dx x Podemos reescrever a expressão acima como ( kx). (0) 9

10 du dx onde se usou a equação (9) da aula 5, ω π T A sen x v λ ω kv., () Também podemos usar a expressão para a velocidade de uma onda em uma corda deduzida na aula passada, v T µ, para reescrever du/dx em () como du dx π µω A sen x λ. () Integrando esta densidade por um comprimento de onda, obtemos a expressão para a energia potencial elástica de um comprimento de onda da corda: x λ du λ ( x) dx λµω A V x dx 4 4 U + λµ. (3) Note que esta expressão é igual a K λ : a energia cinética e a energia potencial elástica de um comprimento de onda são iguais. A energia total de um comprimento de onda da corda, no caso de uma onda harmônica, é então: E λµ λ Kλ + Uλ V. (4) 0

11 Imagine um pedaço de corda com comprimento igual a um comprimento de onda da onda harmônica, x λ. A massa desse pedaço de corda é m µ x µ λ. A equação acima nos diz então que a energia total de um comprimento de onda da corda é igual à energia cinética que um pedaço de corda de comprimento λ teria se todo ele estivesse se movimentando com a velocidade transversal máxima V da onda. Observe que as expressões obtidas para a energia cinética (equação 6) e potencial elástica (equação 3) de um comprimento de onda da corda indicam que essas energias são proporcionais ao comprimento de onda λ. Da mesma forma, a energia total de um comprimento de onda também é proporcional a λ. Não é conveniente, quando se estuda energia transmitida por uma onda, trabalhar com grandezas que dependam do tamanho do meio por onde a onda se propaga (no caso da corda, este é o comprimento L da corda) ou do comprimento de onda λ. Define-se, portanto, a energia média (cinética, elástica ou total) de uma onda como, E λ E λ. (5)

12 Desta forma, as energias médias cinética, potencial elástica e total da corda são, respectivamente: e K µω 4 A, (6) U µω 4 A (7) E µω A. (8) Compare estas expressões com as equações (5.4.6), (5.4.7) e (5.4.8) do livro do Nussenzveig. Vamos agora calcular a taxa média com que energia é transportada pela onda, ou potência média da onda. Voltando ao nosso exemplo da onda harmônica sendo gerada por um agente motriz fazendo sua extremidade da esquerda oscilar transversalmente como um MHS, notemos que este processo implica em um fornecimento contínuo de energia à corda. Para cada novo comprimento de onda λ gerado pelo agente que movimenta a corda, uma quantidade de energia dada por (4) é fornecida à corda. Vamos calcular o trabalho feito pelo agente motriz para garantir esse fornecimento constante de energia.

13 Consideremos a extremidade esquerda da corda (x 0) e a força (tensão T) atuando sobre ela nesse ponto, gerando a onda harmônica que se propaga pela corda (figura abaixo). O movimento da ponta da corda é, por hipótese, puramente transversal. A componente da força T na direção do movimento é, F Tsenθ. Vamos novamente supor que o ângulo θ é muito pequeno, θ <<, de maneira que podemos aproximar sen θ tan θ. Desta forma, F Ttanθ T x onde (x, t) é a expressão para a onda harmônica, x 0 ( x t) Acos( kx ω t + ϕ),., (9) A derivada desta expressão em relação a x, calculada em x 0, é x x 0 que substituída em (9) nos dá kasen ( ω t + ϕ), (30) 3

14 ( ω +ϕ) F katsen t. (3) Esta força é a responsável pelos deslocamentos transversais da ponta da corda, que executam um MHS descrito por, ( 0, t) Acos( ω +ϕ) ( t) t 0. (3) O trabalho feito pela força F para deslocar a ponta da corda por uma distância d 0 é, dw F d F sen [ ω A ( ωt + ϕ) dt] 0, e substituindo F dada por (3) nesta expressão, dw ω A T v ( ωt + ϕ)dt onde usamos novamente a expressão ω kv. sen, (33) Usando também que v T/µ, temos: dw µ vω A ( ωt + ϕ)dt sen. (34) O trabalho feito durante um ciclo completo da oscilação harmônica da extremidade esquerda da corda é dado pela integração da expressão acima por um período da oscilação. Note que tanto o período como a tensão sobre a corda são expressos aqui pela letra T. Portanto, fique atento, o símbolo que será usado na integral a seguir quer dizer período e não tensão. 4

15 O trabalho feito pela força F por um período é dado por, W ciclo µ vω A t + T t sen ( ωt + ϕ) dt. (35) A integral do quadrado do seno por um período é dada por, t + T t sen ( ωt + ϕ) dt T. Mostre isto como exercício para casa. Temos então, W ciclo µ vω A T. (36) Note (desculpe pela insistência) que a letra T que aparece na expressão acima é o período T e não a tensão T. Se dividirmos o trabalho feito por ciclo pela duração de um ciclo (o período T), teremos a potência média fornecida à corda, P : P W T ciclo µ vω A. (37) A potência média nos dá a quantidade de energia que passa, em média, por um dado ponto da corda por unidade de tempo. Para um caso unidimensional como o da corda vibrante, ela também pode ser chamada de intensidade I da onda (como faz o Nussenzveig), 5

16 I P. (38) Em mais de uma dimensão, porém, a intensidade de uma onda é definida como a quantidade de energia transportada pela onda por unidade de tempo por unidade de área (ela é medida em unidades de W/m ) Observe pela equação (37) que a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude, ao quadrado da frequência e à velocidade da onda. Comparando esta expressão com a equação (8) para a energia total por comprimento de onda da corda, temos que: I P ve. (39) Podemos interpretar esta equação como significando que, a cada ciclo, o agente motriz adiciona um novo comprimento de onda à corda, com energia média E. Essa energia não fica retida na extremidade esquerda da corda, mas se propaga por ela com velocidade v. A taxa com que essa energia passa por cada ponto da corda por unidade de tempo é dada pela potência média P acima. 6