Universidade Federal do Rio de Janeiro

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuios Eléricos I EEL42 Coneúdo 8 - Inrodução aos Circuios Lineares e Invarianes Algumas definições e propriedades gerais Relação enre exciação e resposa Resposa a exciação zero Resposa ao esado zero Resposa ao impulso Resposa a uma exciação arbirária Inegral de convolução Circuios lineares e varianes no empo Resposa complea Exemplos:...7

2 8 Inrodução aos Circuios Lineares e Invarianes 8.1 Algumas definições e propriedades gerais Revisando os conceios aneriores podemos classificar os circuios como: 1) Circuios lineares cada elemeno do circuio é linear ou uma fone independene; 2) Circuio invariane cada elemeno do circuio é invariane ou uma fone independene; 3) Circuio linear e invariane cada elemeno do circuio é linear e invariane ou uma fone independene; 4) Circuios não lineares ou varianes aqueles que não são lineares ou não são invarianes. Nesas definições as fones de ensão são raadas separadamene pois a ensão e a correne de uma fone represenam um papel diferene das demais variáveis de rede. Todas as fones independenes são elemenos não lineares (sua caracerísica é uma linha rea que não passa sempre pela origem). Todas as fones independenes são consideradas exciações do circuio. Damos o nome de esado do circuio no insane a qualquer conjuno de condições iniciais que, junamene com a exciação, deermine univocamene odas as variáveis do circuio para odo. Chamamos de esado zero aquele esado onde odas condições iniciais são nulas. Resposa ao esado zero é resposa de um circuio a uma exciação qualquer desde que o circuio eseja no esado zero. Resposa a exciação nula é a resposa do circuio quando a exciação é idenicamene nula. A resposa complea de um circuio é definida como a resposa de um circuio devida ano a exciação como ao esado inicial. Para circuios lineares a resposa complea é a soma da resposa a exciação zero com a resposa ao esado zero; a resposa ao esado zero é uma função linear da exciação, a resposa à exciação zero é uma função linear do esado inicial. Nese capíulo, por conveniência e simplificação, ambém vamos considerar que os circuios enham uma única exciação e uma única variável (resposa ou saída). Também vamos considerar possível escrever uma equação diferencial ou sisema de equações que nos permia deerminar odas as ensões de braço ou correnes de braço do circuio. Circuios Eléricos I EEL42 UFRJ 1

3 8.2 Relação enre exciação e resposa Para circuios lineares invarianes genéricos, com uma exciação e uma resposa a relação enre enrada e saída pode ser expressa por uma equação diferencial linear de coeficienes consanes: d n y n 1 d a d y m n 1 d... a y=b d w m 1 n 1 n d b d w m 1 d... b w m 1 m onde y represena a enrada e w a saída. Se não exisirem funções impulso ou suas derivadas, as condições iniciais são y, dy d,..., d n 1 y d n 1 A equação diferencial é obida das leis de Kirchhoff e das caracerizações de braço com análise de nós e malhas como ilusrado aneriormene. As condições iniciais da equação diferencial são obidas do esado inicial do circuio e das equações de rede Resposa a exciação zero A resposa a exciação zero é a resposa do circuio quando a exciação é nula. Assim a equação diferencial que descreve o sisema é d n y d n a 1 d n 1 y d n 1... a n y= O polinômio caracerísico desa equação é s n a 1 s n 1... a n 1 s a n = e as raízes dese polinômio são as chamadas freqüências naurais da variável de rede y. Se odas as raízes forem disinas enão n y = k i e s i i =1 Circuios Eléricos I EEL42 UFRJ 2

4 onde as consanes k i são deerminadas pelas condições iniciais. Se alguma das raízes coincidirem enão a resposa deve ser reescria levando-se em cona os ermos com poência de adequadas Resposa ao esado zero A resposa ao esado zero é da forma n y = k i e si y p i =1 onde y p é uma solução paricular que depende da exciação w e, por conveniência, podem ser escolhidas de acordo com a abela abaixo. As consanes k i são obidas pelas condições iniciais. Função forçada K K K 2 K sen K e a Solução assumida A A B A 2 B C A sen B cos A e a Resposa ao impulso O cálculo da resposa ao impulso é um problema delicado, pois o segundo membro da equação diferencial apresenará impulsos e suas derivadas. Apesar da dificuldade do cálculo ese se jusifica pela sua imporância na deerminação da resposa a uma exciação genérica. Seja a equação d n y n 1 d a d y m n 1 d... a y=b d w m 1 n 1 n d b d w m 1 d... b w m 1 m cujas condições iniciais são Circuios Eléricos I EEL42 UFRJ 3

5 y =, dy =,..., d n 1 y = d d n 1 Se a função w for um impulso o segundo ermo da equação coném impulsos e suas derivadas (funções singulares). Assim a resposa ao impulso depende da relação enre n e m: n>m a resposa ao impulso (h) não inclui funções singulares (caso próprio, a função possui mais pólos do que zeros); n=m a resposa ao impulso vai incluir um impulso b ; n<m a resposa ao impulso (h) vai incluir mais de uma função singular (a função possui mais zeros do que pólos função não causal). Para o caso próprio a solução pode ser obida da seguine forma: Como para > o segundo ermo da equação é zero a resposa do circuio será igual a resposa a exciação zero. Assim as funções singulares do segundo ermo especificam apenas as condições iniciais do problema em = +. Desa forma n h = i=1 k i e i s u Os diferenes valores de k podem ser enconrados subsiuindo-se h() na equação diferencial original. Aenção especial deve ser dada a derivada da função u() e das funções singulares. Por exemplo d 2 y d 4 dy 2 d 3 y= dw d 2 w As raízes da equação caracerísica são s 1 = 1 e s 2 = 3 Circuios Eléricos I EEL42 UFRJ 4

6 h = k 1 e k 2 e 3 u ḣ = k 1 e k 2 e 3 k 1 e 3 k 2 e 3 u ḣ = k 1 k 2 k 1 e 3 k 2 e 3 u ḧ = k 1 k 2 k 1 3 k 2 k 1 e 9 k 2 e 3 u subsiuindo w por δ e y por h na equação original emos ḧ 4 ḣ 3 h = k 1 k 2 3 k 1 k 2 = 2 assim k 1 k 2 =1 e 3 k 1 k 2 =2 porano k 1 =,5 e k 2 =,5 8.3 Resposa a uma exciação arbirária Inegral de convolução A resposa ao esado zero de um circuio linear e invariane devido a uma exciação arbirária é função de sua resposa ao impulso e da exciação. Podemos chegar a esa conclusão facilmene se considerarmos que qualquer sinal i S pode ser aproximado por um somaório de pulsos ( p )deslocados no empo e com ampliude igual a do sinal no insane de empo em que o pulso inicia. Ese é um processo semelhane ao da amosragem de sinais analógicos anes de se realizar a conversão analógico digial. Circuios Eléricos I EEL42 UFRJ 5

7 1 p ={ Sendo i SA a aproximação do sinal i S enão i SA =i S p i S 1 p 1... i S n 1 p n 1 n 1 i SA = i S k p k k = Como o sisema é linear e invariane, enão a resposa a um somaório de pulsos deslocados e muliplicados pela ampliude do sinal, é igual ao somaório das resposas individuais ( A ). Sendo a resposa ao pulso a função h enão n 1 A = i S h k k = Se o inervalo de empo enre dois pulsos ender a zero o pulso ende a um impulso. Nese caso a resposa final do sisema passa a ser um somaório de resposas ao impulso deslocados no empo e o somaório dos infinios ermos passa a ser uma inegral. Sendo a resposa ao impulso a função h enão = i S ' h ' d ' Observe que esa equação deve ser uilizada apenas para calcular a resposa no insane. Iso ocorre porque o inegrando desa equação ambém depende de. Também vale a pena observar que a operação de convolução é linear e obedece as regras de comuação, associação, disribuição e pode ser enconrada expressa na sua forma simplificada i S h. Apesar da forma compaca e elegane da solução do problema, resolver esa inegral nem sempre é uma Circuios Eléricos I EEL42 UFRJ 6

8 arefa fácil. Normalmene usaremos esa equação ransformada para o domínio da freqüência ou para ober uma solução numérica para o problema Circuios lineares e varianes no empo Circuios lineares e varianes no empo ambém podem er sua resposa a exciação arbirária descria como uma inegral de convolução, porém é necessário observar as caracerísicas peculiares deses sisemas. A resposa ao impulso, agora, não depende apenas do empo, como no caso anerior, mas ambém do momeno em que a exciação é fornecida ao sisema. Assim a função resposa ao impulso é uma função de duas variáveis. Em geral a resposa ao impulso é definida como h, que represena a resposa ao esado zero no insane de empo devido a um impulso uniário aplicado no insane. v = h, ' i S ' d ' Resposa complea Para circuios lineares, invarianes ou não a resposa complea do sisema é da forma y = z h, ' w ' d ' onde y é a resposa complea, z a resposa a exciação zero e w a exciação. É imporane observar que a resposa do sisema é uma função linear da enrada apenas se as resposa a exciação zero for nula (na maioria das vezes iso significa que as condições iniciais do problema são nulas) Exemplos: Deermina a resposa ao esado zero para o circuio cuja: a) exciação é i S =u u 1 e a resposa ao impulso é h =e u. Circuios Eléricos I EEL42 UFRJ 7

9 = h ' i S ' d ' para = e ' d '=e e e =1 e para 1 1 = e ' d '=e e 1 e = e 1 e b) exciação é i S =sen u e h =u u 1 = h ' i S ' d ' = sen d ' para = sen d ' = 1 [1 cos ] para 1 = sen d '= 1 1 [cos cos ]= 2 cos c) exciação é i S =sen u e h =u u 2 = h ' i S ' d ' Circuios Eléricos I EEL42 UFRJ 8

10 = sen d ' para = sen d ' = 1 [1 cos ] para 2 = sen d '= 1 [cos 2 cos ]= 2 Circuios Eléricos I EEL42 UFRJ 9