Cinemática em uma dimensão. o Posição, deslocamento velocidade, aceleração. o Movimento com aceleração constante, o Queda livre

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1 Cinemáica em uma dimensão o Posição, deslocameno velocidade, aceleração. o Movimeno com aceleração consane, o Queda livre

2 Mecânica( Dinâmica! é! o! esudo! do! movimeno! de! um! corpo! e! da! relação!dese!movimeno!com!conceios!lsicos!como!força! e!massa.!! CinemáXca( é( a! descrição! do! movimeno! do! corpo,! u0lizando!conceios!de!espaço!e!empo,!mas!sem!levar!em! cona!as!causas!do!movimeno.!!

3 Conceio(de(Par[cula( O movimeno de um corpo aravés do espaço (ranslação) pode ser acompanhado pela sua roação ou vibração, os quais podem ser muio complexos. Um corpo pode ser raado como uma parícula se o único movimeno que esá sendo considerado é sua ranslação aravés do espaço.

4 Posição de uma parícula - Sisema de coordenadas Para localizar uma parícula é necessário uilizar um sisema de coordenadas: - Devemos definir a origem e um sisema de eixos - Nese curso usaremos apenas sisemas de coordenadas caresianos. Sisema de eixos perpendiculares com reiculado uniforme. MOVIMENTO 3D MOVIMENTO 1D Posiive direcion Negaive direcion x (m) Origin Posiion is deermined on an

5 Deslocameno de uma parícula Nas primeiras aulas vamos considerar o movimeno de parículas em 1 dimensão. Uma mudança de posição x 1 para posição x 2 é chamada de deslocameno Δx Δx = x 2 x 1 Deslocameno Posição Inicial Posição Final O Deslocameno Escalar, Δx S, é o quano ele andou, sem imporar o sinal Δx S = Δx

6 Velocidade média e velocidade escalar média A velocidade média é a razão enre o deslocameno e o empo que se levou para realizar esse deslocameno v = x A Velocidade Escalar Média é a razão enre o deslocameno escalar e o empo que se levou para realizar esse deslocameno v = x

7 Exemplo 1 Uma parícula que se desloca ao longo do eixo x enconra-se no pono x i = 12 m em i = 1 s e no pono x f = 4 m em f = 3 s. Quano vale: (a) seu deslocameno? (b) sua velocidade média durane ese inervalo de empo? (a) A parícula se desloca ao longo de eixo x. Porano, seu deslocameno é dado por: Δx = x f x i = 4m 12m = 8m Como o deslocameno é negaivo, em direção aos valores decrescenes de x, a velocidade média ficou negaiva. (b) A velocidade média é dada por: v x = Δx Δ = = 4m / s

8 Exemplo 2 Uma!pessoa!corre!em!linha!rea,!com!um! módulo!de!velocidade!média!de!5!m/s! durane!4!min,!mudando!depois!para!4!m/s! durane!3!min.! (a)!qual!é!o!módulo!de!seu!deslocameno! final!desde!sua!posição!inicial?! (b) Qual!é!o!módulo!de!sua!velocidade! média!durane!odo!ese!inervalo!de! empo!de!7!min?! (b)!a!velocidade!média!durane!odo!o! inervalo!de!empo!pode!ser!enconrada! por:! v x = Δx Δ = 1, m 7,00 min " $ # 1 min 60 s % ' = 4,57 m/s & (a)!o!deslocameno!da! par_cula!pode! ser!enconrado!para!cada!pare!de!seu! movimeno:! v x = Δx Δ Δx = v x Δ Δx pare 1 = ( 5, 00 m s) ( 4, 00 min) Δx pare 1 =1, m Δx pare 2 = ( 4, 00 m s) ( 3, 00 min) Δx pare 2 = 7, m # 60s & % ( $ 1min ' # 60s & % ( $ 1min ' Δx = Δx pare 1 + Δx pare 2 =1, m A!velocidade!média!não!é!calculada!como!uma!média!arimé0ca!simples!das! duas!velocidades!dadas!no!problema!

9 Velocidade insanânea Para inroduzir o conceio de velocidade insanânea vamos considerar a posição de uma parícula em função do empo. x() 0

10 Calculemos a velocidade média enre 0 e 0 + Δ x() v m = Δx( ) Δ = anθ Δx() θ Δ v m 0,6 m/ s Δ

11 Agora consideremos um Δ menor x() v m = Δx( ) Δ = anθ Δ θ Δx() v m 0,7 m / s Δ

12 Δ ainda menor... x() v m = Δx( ) Δ = anθ θ Δ Δx() v m 1,1 m/ s Δ

13 Δ ainda menor... x() v m = Δx( ) Δ = anθ θ Δ Δx() v m 1,2 m/ s Δ

14 Δ ainda menor... x() v m = Δx( ) Δ = anθ θ v m 1,5 m/ s Δ

15 Δ endendo a zero... x() v( ) = lim Δ 0 Δx( ) Δ dx( ) = d anθ θ v ( 0 ) 1,5 m/ s 0

16 Quando Δ ende a zero a rea fica angene à curva que represena o movimeno da parícula. Definimos a velocidade insanânea no insane como sendo o valor da velocidade média quando o inervalo de empo ende a zero. x() v( ) = lim Δ 0 Δx( ) Δ dx( ) = d anθ θ v ( 0 ) 1,5 m/ s 0

17 A velocidade insanânea é a derivada da posição em relação ao empo dx( ) d x( + Δ) x( ) lim Δ 0 Δ x( + Δ) x() Δ

18 Algumas derivadas imporanes f () a f ( ) + b g( ) cons. n sinω cosω e λ ln λ df ( ) / d a df ( ) / d + bdg( ) / n 0 n 1 ω cosω ω sinω λe λ 1 d

19 Exemplo 3 A!posição!de!uma!par_cula!em!movimeno! ao!longo!do!eixo!x!varia!no!empo!de! acordo!com!a!expressão!x!=!32,!onde!x! esá!em!meros!e!!em!segundos.!enconre! a!velocidade!em!função!de!!para!qualquer! empo.! A!velocidade!em!qualquer!insane!pode! ser!calculada!a!par0r!da!definição!de! velocidade!insanânea.!se!a!coordenada! inicial!da!par_cula!é!xi!=!32,!num!insane! de!empo!poserior!!+!δ,!eremos:! x f = 3( + Δ)2 = 3( 2 + 2Δ + Δ 2 ) x f = Δ + 3Δ 2 Porano!o!deslocameno!no!inervalo!de!empo:! Δx = x f xi = ( Δ + 3Δ 2 ) (3 2 ) Δx = 6Δ + 3Δ 2 A!velocidade!média!nese!inervalo!de!empo!é:! Δx 6Δ + 3Δ 2 vx = = = 6 + 3Δ Δ Δ A!velocidade!insanânea!se!obém!no!limie:! Δx vins = lim = 6 Δ 0 Δ

20 Exemplo 4 Uma!par_cula!se!move!ao!longo!do!eixo!x.!Sua!coordenada!x!varia!com!o!empo!de!acordo! com!a!expressão!x!=!n4!+!2 2,!na!qual!x!esá!em!meros!e!!em!segundos.! (a) Deermine!o!deslocameno!da!par_cula!nos!inervalos!de!empo!de!!=!0!aé!!=!1!s!e!de!! =!1!s!aé!!=!3!s.! (b)!calcule!a!velocidade!média!no!inervalo!de!empo!de!!=!0!aé!!=!1!s!e!de!!=!1!s!aé!!=!3!s.! (c)!enconre!a!velocidade!insanânea!da!par_cula!em!!=2,5!s!(pono!c!).! (a)!no!primeiro!inervalo!de!empo,!de!a!! para!!b!),!colocamos! i!=!0!e! f!=!1!s.!como! x!=!n4!+!2 2,!o!deslocameno!durane!o! primeiro!inervalo!de!empo!é! 2 2 Δ! xab = xf x i = 4(1) + 2(1)! % 4(0) + 2(0) " &! = 2 m Da!mesma!forma,!no!segundo!inervalo! de!empo!(de!b!!para!d!)!podemos!colocar! i!=!1!s!e! f!=!3!s.!assim,!o!deslocameno! nese!inervalo!é! 2 2 Δ! xbd = xf x i = 4(3) + 2(3)! % 4(1) + 2(1) " & = 8 m!

21 (b)!no!primeiro!inervalo!de!empo,! Δ!=! f!n! i!=!1!s.!!! Da!mesma!forma,!no!segundo!inervalo! de!empo!δ!=!2!s,!porano!!! (c)!a!velocidade!insanânea,!em!qualquer! pono,!pode!ser!enconrada!fazendo!a! primeira!derivada!de!x!com!relação!a!( ( v x = dx d = d ( ) = d Assim,!em!!=!2,5!s,!emos!! v x = Δx AB Δ v x = Δx BD Δ = 2 m 1 s = 2 m /s = 8 m 2 s = 4 m /s v x = 4 + 4(2,5) = 6 m/s

22 Parícula com velocidade consane Se a velocidade insanânea é consane, isso implica que a velocidade média é igual à velocidade insanânea, porano Logo, v x = v x! v x = x f x i x f = x i + v x

23 Exemplo 5 A!velocidade!de!uma!corredora!é! deerminada!por!seu!reinador!enquano! ela!corre!a!uma!axa!consane.!o! cronômero!é!iniciado!no!momeno!em! que!ela!passa!por!ele!e!o!para!depois!que! ela!passou!por!um!pono!localizado!a!20!m! de!disância.!o!inervalo!de!empo! regisrado!no!cronômero!é!de!4,4!s.! (a) Qual!é!a!velocidade!da!corredora?! (b) Qual!e!a!posição!da!corredora!10!s!após! er!passado!pelo!reinador?! (a) Assumindo!a!corredora!como!uma! par_cula,!e!levando!em!cona!que!sua! velocidade!é!consane,!emos:! v x = x f x i Δ = 20 m 0 4,4 s = 4,5 m/s (b) Aqui,!podemos!nos!valer!da!equação! que!descreve!a!par_cula!com! velocidade!consane! x f = x i + v x = 0 + 4,5 m/s ( )( 10 s) = 45 m

24 Aceleração Quando a velocidade de um corpo muda no empo, dizemos que houve aceleração: A aceleração média é a razão enre a variação da velocidade e o empo que se levou para realizar essa variação. a x vxf vxi Δv = Δ f i x Aceleração insanânea é o valor da aceleração média quando o inervalo de empo ende a zero. a x Δ v lim x dv = x 0 Δ d Δ

25 A inclinação do gráfico de velocidade vs. empo é a aceleração A linha verde represena a aceleração insanânea no pono B A linha azul é a aceleração média enre os ponos A e B

26 A parir das definições de aceleração e velocidade, vemos que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao empo: v x = dx d a x = d d " $ # dx d % ' a = d 2 x & d 2

27 Movimeno com aceleração consane: equação para a velocidade Se a aceleração é consane enão ela é igual à aceleração média Em geral emos: a x = v 2x - v 1x 2-1 Agora, faça 1 =0 e suponha que 2 seja um insane poserior arbirário. Usamos o símbolo v 0x para a velocidade no insane =0; a velocidade para qualquer insane é v x. Enão, Logo: a x = v x - v 0x - 0 v x = v 0x + a x Equação (1)

28 humanos pela Força as décadas os piloando orar 2. As rês cia mosram hn Sapp 88 m/s apenas 5 s. módulo de ndo o. Movimeno com aceleração consane: equação para a posição Observe Para que deduzir se a aceleração uma segunda for expressão consane para a velocidade v mx, observe varia que a veloci com uma com axa uma consane axa consane se a se aceleração a aceleração for consane. for consane. Nesse caso, a v média durane o inervalo de empo de 0 aé é simplesmene a média Nesse das caso, velocidades a velocidade desde o média início durane aé o insane o inervalo final do de inervalo: empo de 0 aé é simplesmene a média ariméica das velocidades desde o início aé v mx o = insane 1 2 (v 0x + final v x ) do (somene inervalo: para aceleração consane) v(essa mx = 1 2 equação (v 0x + vnão x ) (somene vale quando para a aceleração consane) varia durane o in empo.) Sabemos ambém que, no caso de aceleração consane, a velo Agora em usamos qualquer v x insane = v 0x + é adada x pela e subsiuímos Equação 2.8. na Subsiuindo expressão essa exp acima: v x na Equação 2.10, enconramos: v mx = 1 2 1v 0x + v 0x + a x 2 (somene para aceleração consane) = v 0x a x Finalmene, igualando a Equação 2.9 com a Equação 2.11 e simpl

29 na Equação 2.10, enconramos: v mx = 1 2 1v 0x + v 0x + a x 2 Por ouro lado, a velocidade média enre 0 e é dada por: = v 0x a x v mx = x - x 0 sendo x0 a posição em =0 e x a posição em no insane. Combinando as duas úlimas equações para a velocidade média emos: v 0x a x = x - x 0 Porano: Posição da parícula no insane 0 osição no insane e uma parícula com celeração consane x (somene para aceleração consane) Finalmene, igualando a Equação 2.9 com a Equação 2.11 e simplifi ulado, obemos: v 0x a x = x - x 0 Tempo x = x 0 + v 0x + a x Equação (2) Velocidade da parícula no insane 0 Aceleração consane da parícula

30 Em muios problemas, é conveniene usar uma equação que envolva a posição, a velocidade e a aceleração (consane), que não leve em cona o empo. Para obê-la, inicialmene expliciamos na Equação (1); a seguir, a expressão obida deve ser subsiuída na Equação (2) e simplificada: = v x - v 0x a x x = x 0 + v 0x a v x - v 0x b a a a v x - v 0x b x x a x 2 Transferindo o ermo x0 para o membro esquerdo, muliplicando por 2ax e simplificando: 2a x 1x - x 0 2 = 2v 0x v x - 2v 0x 2 + v x 2-2v 0x v x + v 0x 2

31 Finalmene, ao simplificar, obemos v x 2 = v 0x 2 + 2a x 1x - x 0 2

32 Exemplo 2 Exemplo 6 Um*moorisa*disraído,*dirigindo*com*uma* velocidade*consane*de*45,0*m/s,*passa* sem*perceber*por*um*bloqueio*da*polícia.* Um*segundo*após*a*passagem*do*carro,*a* polícia*sai*em*perseguição*a*ele,*com*uma* aceleração*consane*de*3,00*m/s 2.** Depois*de*quano*empo*o*policial* alcança*o*carro*perseguido?* Equações*de*Movimeno:* Carro:* Polícia:* * C C C xf () = xi + vx P 1 x () P P P f = xi + vxi + ax 2 Condições Iniciais: P C! xi = 0 m! xi = 45m " P " C # vxi = 0 m/s # vx = 45,0 m/s " P 2 " C $ " ax = 3,00m/s "$ ax = 0 2 Solução: Enconro Tempo = 31 s C P x () = x () Como é o gráfico da posição vs empo para cada veículo?

33 Exemplo 37 Um*remGbala*viaja*a*161*km/h*e*ao*final*de*uma*curva*seu*maquinisa*vê,*a*uma* disância*de*676*m,*uma*locomo9va*andando*no*mesmo*sen9do*a*apenas*29*km/h*(em* relação*ao*solo).*qual*a*desaceleração*mínima*para*que*não*haja*colisão?* Equações de movimeno: Trem Bala: Locomoiva: x B B B B f i xi x () = x + v + a /2 L L xf () = xi + v Condições Iniciais: B L! xi = 0! xi = 676 m " B " L # vxi = 44,7 m/s # vxf = 8 m/s " B " " $ ax =? " $ Solução: Apenas se ocam B L! " x f ( c) = xf ( c) # B L "$ vxf ( c ) = vxf ( c) L xf 2 B d B B B B vxf () = xf () vxf () = vxi + ax d B B 2 L L! " vxi c + ax c /2= xi + vxf c # B B L "$ vxi + ax c = vxf L B L B 2! # 2xi 2( vxi vxf ) c ax c = 0 $ B L B 2 #% ( vxi vxf ) c + ax c = 0 i xi L 2xi c = B L vxi vxf a a 2x ( v v ) = 0 L B B L B x x L c i B x L B L xf vxf vxi B ( vxi vxf ) = a = 2x (44,7 8) = c 1m/s 2 2

34 Queda livre Galileu mosrou experimenalmene que odos corpos caem com a mesma aceleração, independenemene de suas massas, amanho, composição, ec. Iso ocorre quando não há ouras forças auando no corpo em queda considerado (e.g. resisência do ar). Além disso, quando a disância da queda livre é pequena em comparação com o raio da Terra e ignoramos os pequenos efeios exercidos por sua roação, a aceleração é consane. O movimeno ideal resulane de odos esses pressuposos denomina-se queda livre (inclui ambém a ascensão de um corpo).

35 A aceleração consane de um corpo em queda livre denomina-se aceleração da gravidade, e seu módulo é designado por g. O valor aproximado de g na superfície erresre ou próximo a ela é: g = 9,80 m>s 2 = 980 cm>s 2 Na superfície da Lua, como a aração graviacional é da Lua e não da Terra, g = 1,6 m/s 2. Próximo à superfície do Sol, g =270 m/s 2.

36 Adoando um sisema de coordenadas com o eixo y posiivo para cima, as equações que descrevem o movimeno de queda livre são: Todo objeo em queda livre fica sujeio a uma aceleração dirigida para baixo, qualquer que seja seu movimeno inicial (objeos airados para cima ou para baixo ou aqueles solos a parir do repouso). g y ( ) y y g v v g v y y g v v = + = =

37 Exemplo 4 Exemplo 8 Uma*pedra*é*lançada*para*cima*com*velocidade*inicial*de*20*m/s* do*opo*de*um*prédio,*a*50*m*do*chão.* 1. Em*quano*empo*ela*a9nge*a*alura*máxima?* 2. Qual*a*alura*máxima*a9ngida,*a*par9r*do*opo?* 3. Em*quano*empo*ela*vola*ao*pono*de*onde*foi*lançada?* 4. Qual*a*velocidade*com*que*ela*vola*de*onde*foi*lançada?* 5. Em*quano*empo*ela*chega*no*chão?* 6. Com*que*velocidade*ela*chega*no*chão?* Equações de movimeno:! # yf () = y $ # % vyf () = v i yi + v yi g 1 2 g 2! yi = 0 " Condições # v yi = 20m/s Iniciais: " 2 $ g = 9,8m/s

38 Exemplo 4 - coninuação 1. Na*alura*máxima,* 2. Na*alura*máxima,* 3. No*pono*de*par9da,* 4. ** v yf ( B ) = 0 0 = v yi g B B = 2,04 s 1 2 = B yf ( B) = yi + vyib gb yb = 20,04 m yf ( C) = 0 0 = yi + vyic gc C = 4,08 s 2 v = v( ) v ) = v g v = 20 m/s C C ( C yi C C 5. *No*chão,* 1 2 y ( E) = 50 50= vyie ge E = 5,83 s 2 6. *** v = v ( ) v = v g v = 37,1 m/s E E E yi E E