Projeto rumo ao ita. Física. Introdução. Equação do tipo: ẋ + w 2 x = 0. Movimento Massa-mola. Função horária do MHS. Movimento Harmônico Simples

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1 Projeo ruo ao ia Física Movieno Harônico Siples Inrodução Movienos periódicos esão presenes na sua vida odos os dias. Você ao ler ese eo pode não perceber as esá presenciando vários ovienos periódicos. A luz que reflee nese papel para ir aé seus olhos possui ua oscilação eleroagnéica; seus olhos ao percorrere de ua pona a oura essas linhas esão realizando u ovieno periódico; seu coração esá bobeando sangue nu ovieno periódico. Eise vários odelos de osciladores harônicos (siples aorecido e forçado). raareos aqui do ovieno harônico siples. U ovieno é dio periódico quando a posição dese se repee e inervalos de epo iguais. Ese inervalo de epo deve ser be definido para cada ipo de ovieno. Chaaos al inervalo de período (). O inverso dessa grandeza é denoinado frequência (f). A frequência represena o núero de vezes que o ovieno se repee no epo. Para u MHS (ovieno harônico siples) o período (ou a frequência) infora alguas caracerísicas sobre o ipo força que esá causando o ovieno. Vários eeplos clássicos de MHS sãs enconrados na naureza: pêndulos de relógio pêndulos físicos u objeo preso a ua ola u objeo fluuando sobre a superfície cala de u lago abé eerce u pequeno MHS enre ouros. Movieno Massa-ola Ese é o prieiro ovieno a ser esudado. Quando enenderos ese ovieno por copleo saireos fazendo analogias direas a ouras siuações físicas e assi resolvereos ua quanidade enore de probleas. Modelo: Movieno de u objeo preso a ua ola. I. II. III. F F s = = = = F s = Inicialene o objeo é deslocado e u fazendo a ola ficar disendida. Surge ua força F( ) no senido oposo ao deslocaeno. O eso ocorre da siuação I. A força é dia resauradora quando sepre apona para a posição de equilíbrio. Obs.: A posição de equilíbrio é a posição onde a resulane é nula. eos assi a seguine equação para a segunda lei de Newon: F a el = = = Usareos a noação de pono indicando ua derivada eporal: d e d = =. d d Desa fora obeos a seguine equação: ẋ + ω = Onde ω = /. Equação do ipo: ẋ + w = Esa é ua equação diferencial de segunda orde linear e hoogênea. Diferencial porque refere a ua derivada de segunda orde pelo fao de ser ua derivada segunda de linear porque odos os eros de possue epoene e hoogênea por não er u ero independene de. Esa equação aparece várias vezes e física e descreve perfeiaene o oscilador harônico siples. Ouras siuações da naureza ao sere raduzidas e equações aeáicas cae nese forao. A solução desa equação é siples. Veja: oda solução do ipo = A sin w + B cos w é solução da equação (onde A e B são consanes aribuídas à siuação física). Perceba que eise duas consanes a sere deerinadas pois a equação é de segunda orde. Se fosse ua equação de prieira orde eria ua consane a ser deerinada? A resposa é si! Podeos enão escrever de oura fora essa equação: = A cos(w + j ) Onde j é oura consane e assi eos A e j coo as duas consanes a sere deerinadas. Enconraos essas consanes co as condições de conorno do problea (faça o ese para verificar se ese realene é solução). Obs.: Ne sepre as equações da fora ẋ + ω = descreve MHS poré as soluções desa equação sepre são desa fora. Função horária do MHS Dada a solução da equação caracerísica do MHS define-se: = A cos(w + j ) A: Apliude do ovieno; w: Frequência angular do ovieno (pulsação); j : Fase inicial do ovieno. A apliude nos diz a posição ais afasada da posição de equilíbrio que o bloco pode alcançar. A frequência angular é ua grandeza proporcional à frequência; logo esá relacionada co a rapidez do ovieno. A posição inicial ( = ) é relacionada co a fase inicial do ovieno. Porano o ovieno esá copleaene descrio e função desas grandezas. A parir de () enconraos v() e a() siplesene derivando: v ( ) = = ωa sin( ω + ϕ ) ( ) = = ( + ) a ω A cos ω ϕ IA/IME Pré-Universiário

2 Projeo ruo ao ia Veja alguns eeplos de gráficos e perceba a defasage enre a posição velocidade e aceleração: v α v α I. Pêndulo Siples F e d s = gs nθ = d d θ g = s d L e nθ d θ g = θ d L g π ω = = = π L ω Aplicações L g θ L S g senθ θ g cos θ g Analogia a MCU II. Pêndulo Físico Muios auores raa u MHS coo ua projeção de u ovieno circular unifore para elhorar o aprendizado do aluno. Fareos isso aqui abé: R P d θ gds enθ = Pivô d d θ gd = θ ω θ d = ω = gd O θ d d sen θ CM A M A π = = π ω gd g oe ua circunferência de raio A e ua parícula passeando por esa co velocidade angular consane w parindo de u j coo ângulo inicial. Agora pense e projear a coponene da posição P() na direção do plano caresiano. ereos enão: j = j + w = A cos(j) = A cos(w + j ) III. Pêndulo de orsão l Veja só! Realene caíos e ua equação idênica a de u MHS. Às vezes visualizar ese ipo de projeção ajuda a enconrar j. Podeos deerinar aravés dese éodo velocidade e aceleração. Façaos as projeções da velocidade linear e da aceleração cenrípea sobre o eio e ereos: v = ωa y v v v P Q α = ω A y v = wa sen(j + w) a = w A cos(j + w) Observe aenaene os sinais da velocidade e da aceleração. α a α P Q θ a P d θ d θ = θ = θ = l = θ d d l = π l Energia no MHS Já esudaos as funções horárias já sabeos o ipo de força que gera MHS enão esudareos o balanço energéico. P r i e i r a e n e e s a f o r ç a é c o n s e r v a i v a (não dissipa energia) o peso e noral não realiza rabalho. Podeos concluir que a energia é conservada. eos enão u sisea conservaivo. Enão qual seria a energia oal? Depende da assa do bloco? Depende da consane elásica? IA/IME Pré-Universiário

3 Projeo ruo ao ia Logo: A energia oal é dividida e cinéica e poencial elásica. Ec = v = ω A sen ( ω + φ) ; Ep = = A cos ( ω + φ) ; E = A sen E ( ω + φ) + cos ( ω + φ) = E + E E = A. Ernegia E = + E p E c E p E c ( c p ) v a Ec Ep A ω A A /4 ωa A / A ω A A 3/4 ωa A A ω A A A A Ponos e que E = E c = E p. A energia oal só depende da apliude e da consane elásica. Noe que as equações de energia cinéica e poencial são função de seno e cosseno respecivaene. Quando ua é áia a oura é ínia. Isso significa que as energias esão se alernando poré anendo a soa consane. Aeno agora para dois ponos iporanes: A velocidade é áia quando o seno é áio ou seja na posição de equilíbrio ( = ); A aceleração é áia quando o cosseno é áio ou seja nas posições de reorno ( = ±A). π C π Ua ara uio efeiva para resolver alguns probleas é o esudo da equação de energia. Usareos o fao de a energia oal ser consane e parireos da equação de energia para conseguir achar a equação caracerísica do MHS. Veja: A energia oal de u sisea assa-ola e ua posição é dada por: E = + Derivando e relação ao epo: = + + ω = Ora quer dizer que se não souberos coo escrever a força as conhecer a energia conseguios chegar à equação caracerísica? Si de fao. Você enconrará probleas que a solução ficará be ais siples se aacar por ese éodo. Observe que isso se deve à fora do poencial dependene de. Ese é u poencial parabólico; assi para qualquer poencial na fora de parábola ereos MHS. Muias curvas de poencial pode ser aproiadas para ua parábola nas proiidades de u equilíbrio esável. É por isso que consaneene nos deparaos co a seguine frase (pequenas oscilações). a á v á 3π a á As figuras de Lissajous Podeos pensar na coposição das foras de onda senoidais coo a sua isura. É coo se ivésseos u isurador (ier) capaz de junar dois sinais de caracerísicas diferenes obendo-se u efeio final que é a sua cobinação. Desse odo visualizaos o que ocorre de ua fora uio siples usando para isso u osciloscópio iaginário inicialene. Aplicaos u dos sinais na enrada verical e o ouro sinal na enrada horizonal desligando o sincroniso inerno confore ilusra a figura a seguir. Sincroniso desligado v á Enrada verical f a á Enrada horizonal Osciloscópio f -A θ A X Aplicando sinais nas duas enradas coo o sincroniso inerno desligado. 3 IA/IME Pré-Universiário

4 Projeo ruo ao ia Vaos parir inicialene de dois sinais de esa frequência e esa fase coo osrado na figura a seguir e que analisareos a foração da figura resulane pono a pono. f =36º 8º =8º 36º Figura resulane y 7º 8º f 36º 9º Cobinando sinais de esa frequência e fase. oaos e cada insane o pono correspondene à inensidade de u sinal e abé do ouro raçando linhas de projeção que se cruzarão deerinando assi o local do espaço e que irá aparecer o pono correspondene da iage que será gerada. Nuerando eses ponos podeos raçar a iage coplea que no caso é ua linha rea inclinada de 45 graus. O que aconeceria enreano se os sinais de esa frequência esivesse defasados de 45 graus? Dependendo da defasage a figura gerada udaria de fora adquirindo os foraos visos na figura a seguir. Eercícios de Fiação. U corpo realiza MHS cuja equação da elongação é: = cos + SI π π ( ). Deerine: A) a apliude fase inicial pulsação período e frequência. B) a equação da velocidade e da aceleração. C) a elongação velocidade e aceleração para = 3s.. E u inervalo de epo de in ua parícula efeua oscilações e orno de ua posição de equilíbrio e MHS e sua aceleração áia é igual a /s. No insane = a posição e a velocidade da parícula são respecivaene zero e (/π) c/s. Deerine: A) a apliude e c. B) a fase inicial. C) a posição no insane = 5 s e c. D) a velocidade no insane = 5 s e c/s. E) a aceleração no insane = e c/s. 3. U corpo realiza MHS de acordo co os diagraas apresenados abaio onde as grandezas esão no Sisea Inernacional. S º 45º 9º 8º Figuras para sinais de esa frequência poré co fases diferenes Mas os desenhos ais ineressanes se obê quando as frequências dos sinais são diferenes ebora anendo relações nuéricas be deerinadas. Se os sinais ivere frequências que anenha enre si relações de núeros ineiros coo para 3 para 5 para 4 ec. as figuras que serão foradas adquire aspecos basane ineressanes. Na figura seguine eos u eeplo de figura forada quando os sinais possue ua relação de frequência de para sendo que o sinal aplicado na varredura horizonal é aquele que e a frequência ais ala. Figura para sinais co relação de frequência de para. O ais iporane disso é que aravés da siples observação de ua figura forada por dois sinais podereos descobrir uio de u deles se conheceros o ouro. 4π v 4 Deerine: A) a apliude do ovieno a pulsação e o período. B) escreva as equações da elongação velocidade e aceleração. C) calcule o valor da aceleração quando = /4. 4. U óvel realiza MHS co apliude de c frequência de /8 Hz e fase inicial nula. Perguna-se. A) Depois de quano epo após er passado pelo pono de velocidade nula e elongação posiiva a elongação se orna pela prieira vez igual a 6 c? B) Qual o prieiro insane e que a posição = 5 c? C) Qual a velocidade édia enre os ponos de elongação 6 c? D) Qual a equação da velocidade? E) Qual o prieiro insane e que a velocidade é áia? 3 4 IA/IME Pré-Universiário 4

5 Projeo ruo ao ia 5. Ua ola helicoidal cuja consane elásica é e presa por ua das suas ereidades ao eo de ua sala. Na ereidade inferior prende-se u corpo de assa. Afasando-se o corpo da posição de equilíbrio e abandonando-o qual é o período das oscilações que ele realiza? 6. Cero pêndulo siples que bae o segundo e Paris onde g = 98 /s² foi ransporado para o equador erresre e enão se verificou que o núero de oscilações (de pequena apliude) realizadas pelo referido pêndulo por dia ficou diinuído de 5 e relação ao núero de oscilações (abé de pequena apliude) que ele realizava e Paris por dia. Pode-se enão afirar que o ódulo da aceleração da gravidade nu pono qualquer do equador erresre e valor: A) igual a 975 /s². B) igual a 98 /s². C) igual a 985 /s². D) igual a 99 /s². E) diferene de qualquer dos acia especificados. 7. (IA-8) Ua parícula P de diensões desprezíveis oscila e ovieno harônico siples ao longo de ua rea co período de 8/3 s e apliude a. Ua segunda parícula P seelhane a P oscila de odo idênico nua rea uio próia e paralela à prieira poré co araso de π/ rad e relação a P. Qual a disância que separa P de P 8/9 s depois de P passar por u pono de áio deslocaeno? A) a B) 9 a C) a D) a E) 7 a 8. (IA-) Considere u oscilador harônico siples coposo por ua ola de consane elásica endo ua ereidade fiada e a oura acoplada à ua parícula de assa. oscilador gira nu plano horizonal co velocidade angular consane ω e orno da ereidade fia anendo-se apenas na direção radial confore osra a figura. Considerando R a posição de equilíbrio do oscilador para w = pode-se afirar que: R A) o ovieno é harônico siples para qualquer que seja a velocidade angular w. B) o pono de equilíbrio é deslocado para R < R. C) a frequência do MHS cresce e relação ao caso de w =. D) o quadrado da frequência do MHS depende linearene do quadrado da velocidade angular. E) se a parícula iver carga u capo agnéico na direção do eio de roação só poderá auenar a frequência do MHS. 9. Dois pêndulos siples siuados próios u do ouro efeua oscilações de pequena apliude. Sabendo-se que o coprieno do prieiro é o quádruplo do coprieno do segundo e represenando-se por e os períodos das oscilações do prieiro e segundo respecivaene pode-se afirar que: ( ) = 4 ( ) = ( ) = ( ) = 5 ( ) NDA. Dois blocos de assas e são ligados por ua ola de rigidez. A ola esá copriida co a ajuda de dois fios coo osra a figura. Os fios são queiados. Deerinar o período de oscilações dos blocos.. Ua caia de assa M enconra-se na horizonal. O coeficiene de ario enre a caia e a esa é. No inerior da caia eise u corpo que pode se over no fundo da esa. O corpo é preso por ua ola de consane elásica. Qual a apliude áia das oscilações do corpo para que a caia peraneça e repouso?. Duas olas ideais se assa e de consanes de elasicidade e sendo < acha-se dependurados no eo de ua sala. E suas ereidades livres pendura-se assas idênicas. Observa-se que quando os siseas oscila vericalene as assas ainge a esa velocidade áia. Indicando por A e A as apliudes dos ovienos e (I) (II) por E e E as energias ecânicas dos siseas (I) e (II) respecivaene podeos dizer que: A) A > A e E = E B) A < A e E = E C) A > A e E > E D) A < A e E < E E) A < A e E > E 3. Ua barra de assa () repousa sobre dois cilindros que gira e velocidades conrárias. A disância enre os cenros dos cilindros é (I) e o coeficiene de ario enre ese e a barra é. Achar a frequência das oscilações. V L 5 IA/IME Pré-Universiário

6 Projeo ruo ao ia 4. Ua caia de assa M = g esá sobre ua esa horizonal. Da caia por eio de ua ola de consane = 6 N/ esá suspensa ua assa = g. Deerine o valor da apliude das oscilações da assa para que a caia M fique na iinência de salar sobre a esa. 5. As forças que aua nas parículas são perpendiculares ao eio e são funções da disância ao eso eio. As velocidades são v e paralelas a e as assas. Podeos afirar que: v r A) se as forças são do ipo (F = -r) podeos garanir que as parículas se enconrarão e O. B) se as forças são do ipo (F = -r) não podeos garanir que as parículas se enconrarão e O. C) se as forças são do ipo (F = -r) podeos garanir que as parículas passa por O as não no eso insane. D) odas as parículas se enconra e OO independene do ipo de força. E) N.D.A. 6. Por u plano horizonal e liso desliza ua hase fina de coprieno L. A velocidade da esa é v. Esa chega à ua região rugosa (coeficiene de ario µ). Considere que ela para anes de enrar copleaene na região rugosa. O epo que a hase leva para parar oalene é: A) π µ g B) π µ g L 4 L C) V o /g D) V o /g E) N.D.A. 7. Duas olas cujas consanes são = N/ e = 5 N/ esão unidas a ua parede verical e a u corpo de assa. E u deerinado insane a ola é elongada 3 e a ola é copriida 3. Deerine e c a apliude das oscilações do corpo. Despreze os arios. 8. Na figura o bloco e assa g o plano de apoio é horizonal e as quaro olas ideais são idênicas apresenando cada ua consane elásica 5 N/. Co o bloco na posição de equilíbrio (pono ) as quaro olas apresena-se livres de qualquer deforação. c c P P O bloco é enão deslocado aé o pono P de onde é abandonado passando a oscilar e condições ideais enre P e P. Deerine para o sisea oscilane: A) a energia ecânica. B) o período de oscilação. 9. (IA) Dois ovienos harônicos siples esão caracerizados no gráfico abaio. Podeos afirar: A B π A) = A sen + ω π = Bsen ω π C) = A cos ω = Bcos ω + π ( ). (IA/SP) U observador e u referencial inercial esuda o ovieno de ua parícula. A parir dos valores da velocidade v e da coordenada posição da parícula obeve o gráfico ao lado. π ω π B) = A cos ω = Bcos ω + π ( ) π D) = A sen + ω π = Bsen ω v () v( s - ) ± A ±A Denre os valores obidos acha-se abelados aneriorene onde e A são consanes posiivas. A) raa-se do lançaeno verical de u foguee na superfície da erra co velocidade inicial / ua vez que à edida que a alura auena e-se ua variação consane da velocidade. B) Para u observador fio à parícula o ovieno é circular co raio A +. C) raa-se de u ovieno harônico siples co apliude A consane elásica assa da parícula e aceleração para u observador na orige dos. D) Para u ouro observador inercial o ovieno é reilíneo co aceleração consane A. E) A parícula ove-se sob a ação de ua força consane. IA/IME Pré-Universiário 6

7 Projeo ruo ao ia Eercícios Proposos. Ua ola de assa desprezível e consane elásica e coprieno L quando não esicada. A ola é suspensa vericalene por ua das ereidades L e e oura ereidade é preso u corpo de assa. Inicialene o corpo é anido e repouso e ua posição al que a força eercida pela ola seja nula. E seguida a assa é abandonada co velocidade inicial nula. Desprezando as forças dissipaivas o coprieno áio (L) da ola será dado por: g g A) L = L + B) L = g g C) L = L + D) L = g E) L = L +. Ua parícula que descreve ovieno harônico siples e a seguine equação horária da posição: 3π = cos 4 + onde é dado e c e e s. Pede-se: 4 A) a elongação áia. B) a posição da parícula no insane =. C) a fase inicial do ovieno. D) o período. E) a frequência. 3. Deerine o período de oscilação de u líquido de assa e densidade r colocado denro de u ubo de área ransversal S (figura abaio). O ângulo de inclinação do lado direio é q. 4. No éodo de Rüchhard para edir γ = C p do ar usa-se u Cv grande frasco co u gargalo cilíndrico e esreio de raio a abero para a aosfera (p = pressão aosférica) no qual se ajusa ua bolinha eálica de raio a e assa. Na posição de equilíbrio O da bolinha o volue de ar abaio dela no frasco é V (figura). Calcule a força resauradora sobre a bolinha quando ela é epurrada de ua disância para baio a parir do equilíbrio o ovieno sendo suficieneene rápido para que o processo seja adiabáico. Mosre que a bolinha eecua u MHS e calcule o período e função de a v p e y. O a p θ 5. U corpo de assa sobre ua superfície horizonal se ario oscila co a apliude A preso a cera ola de consane força. Quando a ola esá co a elongação áia e o corpo oenaneaene e repouso u segundo corpo de assa é superposo a ele. A) Qual o enor valor do coeficiene de ario esáico s enre os dois corpos para que o segundo não escorregue sobre o prieiro? B) Eplique coo a energia oal E a apliude A a frequência angular e o período do sisea se odifica pela colocação de sobre adiindo que o coeficiene de ario seja suficiene para não haver escorregaeno. 6. Quano epo dura o choque enre ua bola de fuebol de raio r e assa e ua parede? Dados: Pressão inerna = p Pressão aosférica = p 7. U pêndulo duplo oscila co frequência angular w. O coprieno do fio que vai do pono fio aé a assa M e o que vai de M aé vale L. Calcule o período (aproiado) das oscilações. Dados: M = 7. M 8. U corpo de assa pode deslizar ao longo de u eio horizonal enre duas paredes vericais. E abos lados do corpo eos olas ideais de igual consane elásica. O corpo esá siuado siericaene enre as paredes e os ereos livres das olas esão a ua disância a das paredes. Counica-se ao corpo a velocidade V e o eso coeça a oscilar enre as paredes. Deerine o período das oscilações. Despreze os arios. a 9. Ua bolinha de assa ligada a ua ola cuja consane é realiza oscilações harônicas de apliude A. A ua disância A da posição de equilíbrio se coloca ua prancha de aço de grande assa na qual bae a bolinha. O choque da bolinha co a prancha é perfeiaene elásico. Enconre o período das oscilações. Despreze a gravidade. Dado: = 4 π 3 V g a V A 7 IA/IME Pré-Universiário

8 Projeo ruo ao ia. Ua cona carregada co carga q pode over-se por u fio ensionado de coprieno I o qual possui nas ereidades cargas fias Q. Enconre o increeno de energia poencial quando a cona é deslocada da orige. Q. Calcule o período de oscilações do problea anerior. q Q 5. Dois pêndulos siples de coprieno (I) cada u esão ligados por ua ola de peso desprezível coo osra a figura abaio. O coeficiene de elasicidade da ola é igual a. E equilíbrio os pêndulos esão na posição verical e a ola não se defora. Deerine a frequência das pequenas oscilações de dois pêndulos unidos nos casos: quando os pêndulos fore inclinados e u eso plano e ângulos iguais para u eso lado (oscilações e fase) e para lados diferenes (oscilações e fase oposa).. U pêndulo siples de coprieno L esá solidário co u carrinho que rola se ario por u plano inclinado de θ (figura abaio). Calcule o período de oscilação do pêndulo no carrinho rolando no plano ao lado. L θ 3. Quaro assas iguais esão unidas por olas de consane elásica (ver figura). Siulaneaene as assas adquire a esa velocidade volada para o cenro. 6. A) Enconre a dependência da energia poencial de ua esfera de raio r e assa e relação a u pequeno a parir da posição de equilíbrio. A pequena esfera esá deslizando ao longo de ua superfície curva de raio R. C R r E quano epo as olas esarão: A) co o coprieno áio? B) co o coprieno ínio? 4. A figura abaio osra u sisea oscilane assa-ola sobre ua superfície horizonal se ario e u ouro corpo que se dirige conra o corpo oscilane co a velocidade v. O ovieno do corpo oscilane é dado por: () = () cos(4s ) e que é o deslocaeno do corpo e relação à posição de equilíbrio. Os dois corpos colide no insane e que o corpo vibrane passa pela posição de equilíbrio avançando para a direia. A colisão é elásica. B) Agora adia que na esa siuação eisa ario e a bolinha não desliza. Calcule a frequência angular w. Para ese ie faça as seguines considerações: R»r e j «. 7. U pêndulo de assa M e coprieno l oscila e orno da verical efeuando pequenas oscilações. Pendurado do pêndulo esá ua pequena assa que oscila na verical (acho que a figura eplica a siuação...). Coo é que a assa afea o período do pêndulo? 8. A ua polia de raio r e assa desprezível esá fia ua barra de coprieno l e assa abé desprezível co ua bola de assa na ereidade. Eise u fio enrolado na polia que possui ua assa M na ereidade livre (ver figura). Deerine o período das oscilações. M v r A) Qual a velocidade v do segundo corpo para que o sisea assa-ola fique e repouso depois da colisão elásica? B) Qual a velocidade do segundo corpo depois da colisão elásica? M IA/IME Pré-Universiário 8

9 Projeo ruo ao ia 9. Enconre o período de oscilações do pêndulo abaio. As assas são e e a barra possui peso desprezível. 4. Na figura abaio que represena a cobinação de dois MHS e eios perpendiculares = A sen ω e y = B sen (ω + α) sendo α u núero posiivo qual das epressões abaio poderá represená-lo? y l l A) α = B) < α < π. Ua ábua de largura h repousa y sobre u cilindro de raio R. Considerando que não eise deslizaeno e que condições a barra oscilará sobre a posição de equilíbrio? C R C) α < π D) < α < π E) < α < 3 π 5. Calcule o período das oscilações de u cilindro preso a duas olas de consane coo na figura abaio.. A inerferência de dois MHS orogonais de esa frequência resula: A) ua rea se a diferença de fase for nπ onde n = 3 B) u círculo se as apliudes fore iguais e a diferença de fase for π onde = 3 5 C) ua elipse se a diferença de fase for arbirária (diferene de π onde = 3 ) ou nπ (eclusivaene no caso de as apliudes dos MHS sere diferenes). D) odas as alernaivas acia são correas.. Na inerferência de dois MHS orogonais de esa frequência e apliude pode-se afirar que: A) a figura de Lissajous não poderá ser ua elipse. B) a figura de Lissajous só poderá ser u círculo. C) a figura de Lissajous só poderá ser ua rea. D) a figura de Lissajous poderá ser ua elipse co eios não coincidenes co os eios coordenados desde que a 6. Ao pono O de ua parede que fora u pequeno ângulo a co a verical prende-se aravés de u fio de coprieno L ua bola. Logo inclina-se o fio co a bola de u pequeno ângulo b (b > a) e sola-se. Considerando absoluaene elásico o choque da bola conra a parede enconre o período das oscilações dese pêndulo. α β 7. U corpo de assa é conecado por ua ola nu pono O sobre ua superfície horizonal sobre a qual o corpo pode se over se arios. R diferença de fase dos MHS seja arbirária (diferene de π onde = 3 ). O r 3. (IA) Na figura ao lado que represena a y cobinação de dois MHS e eios perpendiculares = A sen ω e y = B sen (ω + α) sendo α u núero posiivo qual das epressões abaio poderá represená-lo? A) α = B) < α < π C) α < π E) < α < 3 π D) < α < π O coprieno relaado da ola é l e sua consane elásica é. Nu dado insane a disância do corpo aé o pono O é r. Suponha que se faça o corpo girar co frequência angular w e no insane inicial ele não possui nenhua coponene radial de velocidade. A) Calcule o raio de equilíbrio para o qual o corpo realiza ovieno circular e orno de O. Epresse r e eros de l e w. B) Calcule o período de pequenas oscilações radiais do corpo e relação ao raio de equilíbrio r. Iagine que inicialene o corpo se enconrava e ovieno circular e r e co velocidade angular w quando ua pequena perurbação radial fez co que ela coeçasse a oscilar. Dê o resulado e função de e r. 9 IA/IME Pré-Universiário

10 Projeo ruo ao ia 8. U corpo de assa M esá preso a ua ola de assa e consane. Calcule o período de oscilações do ovieno. Ua esa co sua superfície a ua alura H do chão e u orifício e seu cenro. Ua parícula de assa é presa a u corpo suspenso de assa M por ua corda de coprieno I > H que passa pelo orifício. r M 9. Dado o sisea abaio: A) Escreva a equação da força resulane para cada parícula. B) Sabendo que as soluções são do ipo: j = A j e iw calcule as frequências naurais do ovieno. 3. rês pequenas oedas idênicas de assa cada ua esão conecadas por duas cordas leves e não conduoras cada ua de coprieno d. Cada oeda e ua carga desconhecida Q. As oedas são colocadas e ua superfície horizonal isolane e se ario as duas cordas fazendo u ângulo próio a 8 confore osra a figura. Após solar as oedas observa-se que elas vibra co u período. Deerine a carga Q de cada oeda. 3. U p ê n d u l o é f o r a d o p o r u a h a s e r í g i d a (de assa desprezível e coprieno I) e ua assa presa e sua ereidade inferior. Ele pode oscilar livreene e orno do seu pono de suspensão e a gravidade local é g. Prende-se ua ola de consane elásica a ua disância h abaio do pono de suspensão. h Suponha que a ola anenha-se sepre horizonal (iso é podeos iaginar que a ola seja uio longa) e que ela se enconre relaada quando o pêndulo esiver verical. A) Calcule o período de pequenas oscilações do pêndulo e orno de sua posição de equilíbrio. Assua que o ovieno eseja resrio ao plano da ola-hase. B) E se a hase abé ivesse ua assa hoogeneaene disribuída coo isso enraria na epressão para o período? = π L + 3 h + gl + 3 L 3 H A parícula pode se over se ario pela superfície da esa (e abé não há arios enre a corda e o orifício). É dada à parícula ua velocidade angular e orno do orifício (se nenhua coponene radial de velocidade). A) Sendo r a disância da parícula aé o orifício calcule o raio de equilíbrio r = r para o qual o corpo de assa M fica parado. Epresse o r e eros M e g a gravidade local. B) Calcule a frequência de pequenas oscilações radiais da parícula e orno de r. Iagine que inicialene a parícula se enconrava e ovieno circular e r e co velocidade angular w quando ua pequena perurbação radial fez co que ela coeçasse a oscilar. C) Considere que a parícula eseja inicialene a ua disância r do orifício co ua velocidade angular w. O sisea é enão solo de odo que o corpo M desça nauralene aé o chão iso é suponha que l - H > r. Qual será a nova velocidade angular w da parícula nessa nova siuação? Epresse o resulado e função dos parâeros básicos do problea. ω f = π Fique de Olho 3 M + Os leiores que ivere dificuldades e enender a aeáica de nossas eplicações ou que desejare ir alé calculando o que deverá resular da cobinação de senoides de deerinadas frequências pode procurar nos livros de Física inforações no capíulo que raa de Coposição de MHS ou Movienos Harônicos Siples. Usando as Figuras de Lissajous para Medidas de Sinais Eise duas foras de rabalhar co as figuras de Lissajous para se edir apliude frequência e fase de sinais senoidais. Veja que é preciso er os recursos para se visualizar essas figuras. O ais cou é o osciloscópio as elas pode ser produzidas e copuadores e eso por siseas ecânicos. A) Sinal único Co a ajuda de u gerador de sinais senoidais ligado a ua das enradas podeos descobrir as caracerísicas de qualquer sinal senoidal que seja aplicado na oura enrada. Ese fao orna as figuras de Lissajous u iporane recurso para o diagnósico de probleas e equipaenos ou ainda para a edida de frequências se que para isso seja necessário usar u frequencíero. IA/IME Pré-Universiário

11 Projeo ruo ao ia Para edir a frequência de u sinal epregando as figuras de Lissajous o que precisaos fazer inicialene é aplicar o sinal desconhecido nua das enradas do osciloscópio por eeplo a verical. Na horizonal vaos ligar u gerador de sinais senoidais e ajusá-lo aé que enhaos ua figura esável e que possaos conar os lóbos ou prouberâncias foradas. Vaos supor que confore osra a figura seguine a figura forada enha 3 lóbos na pare horizonal e dois na verical. 3 figura gerada co 3 lóbos horizonais e vericais. Sabeos que a relação de frequências para os sinais aplicados é de 3 para. Dessa fora se a frequência do sinal aplicado na varredura horizonal que serve coo referência for de 5 Hz por eeplo a frequência do sinal desconhecido será de Hz. Veja enão que o aior cuidado que o operador que esá realizando as edidas deve er é ir ajusando vagarosaene seu gerador de sinais para que possa enconrar ua posição e que a figura enha poucos lóbos ano na horizonal coo na verical e assi fique fácil coná-los. Ua relação de frequências de 35 para 34 por eeplo não apenas ornaria praicaene ipossível a conage dos lóbos as abé não poderia ser obida co a devida esabilidade. Na figura que segue eos diversas figuras que são foradas para relações de frequências ais couns. Gerador de sinais Figura de Lissajous Osciloscópio Frequência desconhecida Usando o osciloscópio e figuras de Lissajous para edir frequências. No caso específico dos sinais de esa frequência quando obeos reas elipses ou círculos nas figuras podeos edir abé a defasage do sinal o que é ouro recurso iporane dese ipo de análise. B) Dois sinais Nese caso podeos usar as figuras de Lissajous para edir a fase enre eles. Basa aplicar os sinais nas enradas verical e horizonal do osciloscópio (que erá o sincroniso inerno desligado) e analisar a figura forada que poderá ser qualquer ua das que são osradas na figura a seguir. Relação de frequência : : : 3 : 3 3 : 4 Fase α = π/4 π/ 3π/4 Figuras para diversas relações couns de frequências. No copuador: Os leiores co habilidades de prograação poderão escrever prograas siples que gere as figuras no onior de seu copuador. Eses prograas pode ser ineressanes ano para o leior aprender ais coo para aulas práicas osrando coo serão as figuras resulanes da aplicação de frequências deerinadas. Conclusão eos salienado e nossos arigos a iporância do osciloscópio coo insrueno de bancada. Não só para visualizar as foras de onda e edir apliudes ele abé e ouras uilidades coo as que descreveos nese arigo. O leior que possui u osciloscópio deve failiarizar-se co as figuras de Lissajous e seu uso e ais do que isso deve praicar co seu uso. Na indúsria onde probleas de defasagens de sinais da rede de energia são iporanes para se deerinar o faor de poência por eeplo o uso das Figuras de Lissajous se osra e especial de grande uilidade eliinando assi a necessidade de ouros equipaenos. eo eraído de: hp://newoncbraga.co.br Auor: Newon C. Braga. Apêndice Grandezas Fundaenais A) Apliude: agniude áia de deslocaeno da posição de equilíbrio. (SI - ) ~ A. B) Período: epo necessário para a repeição do oeno cineáico ; v; a ( ) ou a repeição do ciclo. (SI - S) ~. C) Frequência: Núero de ciclos por unidade de epo. ciclo SI Hz = = s f s D) Pulsação: w = p f Derivadas Seja u e v funções deriváveis de e n consane.. y u n n = y = nu u. y = uv y = u v + v u 3. u u v v u y = y = v v 4. u u y = a y = a ( ln a) u ( a > a ) 5. y e u u = y = e u 6. u y = log u y = log u 7. y u y u u a a e v v v 8. y = u y = v u u + u (ln u) v 9. y = sen u y = u cosu. y = cos u y = u senu IA/IME Pré-Universiário

12 Projeo ruo ao ia. y = g u y = u sec u. y = cog u y = u cosec u 3. y = sec u y = u sec u g u 4. y = cosec u y = u cosec u cog u u 5. y = arc sen u y = u u 6. y = arc cos u y = u u 7. y = arc g u y = + u u 8. y = arc g u co + u u 9. y = arc sec u u y = u > u u u. y = arc cos ec u u y = u > u u Idenidades rigonoéricas. sen + cos =. + g = sec 3. + cog = cosec 4. sen = cos cos 5. cos = + 6. sen = sen cos 7. sen cos y = sen( - y) + sen( + y) 8. sen sen y = cos( - y) - cos( + y) 9. cos cos y = cos( - y) + cos( + y). ± sen = ± cos π Anoações AN 6/3/3 Rev.: M OSG.: 695/3 IA/IME Pré-Universiário

13 Projeo ruo ao ia 3 IA/IME Pré-Universiário