Movimento oscilatório forçado

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Eduardo Nobre Gorjão
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1 Moviento oscilatório forçado U otor vibra co ua frequência de ω ext 1 rad s 1 e está ontado nua platafora co u aortecedor. O otor te ua assa 5 kg e a ola do aortecedor te ua constante elástica k 1 4 N 1. Despreze a assa da platafora. A aplitude de oscilações de ua assa a oscilar e regie forçado co atrito é dada por A F ω ( ω ext ) + 4λ ω ext onde é a assa do otor, F / é a aplitude da força exterior, ω é a frequência própria do sistea, ω ext é a frequência da força exterior, λ é a constante de aorteciento das oscilações. a) Qual a frequência própria de vibração da platafora co o otor instalado (ω )? b) Quando o otor pára de trabalhar a aplitude das oscilações da platafora reduzse a etade ao fi de,35 segundos. Calcule a constante de aorteciento das oscilações (λ). c) Escreva a equação de oviento do otor, quando o otor está ligado e explique a orige de cada ua das forças que actua no otor. d) Qual a solução geral para o oviento e função da aplitude da força exterior, e regie peranente? e) Suponha que e regie peranente, co o otor ligado, a aplitude de vibração é 1 c. Qual a aplitude da força exterior? f) Suponha que a frequência do otor pode variar. Deterine a frequência do otor para a qual o sistea entra e ressonância. g) Qual a aplitude do oviento da platafora se a frequência do otor for a frequência de ressonância e a aplitude da força exterior for a deterinada anteriorente? Resolução a) ω k 14 7 rad.s 1 b) No oviento oscilatório aortecido a aplitude das vibrações varia de acordo co A( t ) A e λt 1

2 Define-se o tepo T 1/ coo sendo o intervalo necessário para que a aplitude das oscilações se reduza a etade, ou seja A( T 1 ) A e λt 1 A Resolvendo para λ: ln e λt 1 ln 1 λt ln 1 ln λ ln T 1,35 s 1 c) Forças que actua no otor (todas segundo a direcção vertical x): Força da gravidade (que se anula co a reacção noral da platafora) Força elástica, de sinal contrário ao deslocaento: F el kx Força de atrito, de sinal contrário à velocidade: F a µ x Força exterior (vibração do otor): F ext F cos( ω ext t ) Equação do oviento: Ou na fora ais cou: a F x kx µ x + F cos ω ext t x + µ x + k x F cos( ω t ) ext d) A solução geral da eq. oviento consiste na soa de dois teros, x ( t ) x h ( t ) + x f ( t ) e que o prieiro é a solução geral da equação hoogénea correspondente (eq. diferencial obtida e (c) as se o tero da força exterior) e o segundo é ua solução particular da equação co o tero forçado. Equação hoogénea Vaos calcular a solução do prieiro tero, sabendo que a solução é da fora x ( t ) e αt : x + µ x + k x e αt α + µ α + k x t α µ ± µ ω e αt

3 Definindo λ µ podeos escrever as duas soluções possíveis na fora copacta α 1 λ + λ ω α λ λ ω A solução da eq. hoogénea é assi x ( t ) Ae α 1 t + Be α t e que A e B depende das condições iniciais. Relativaente ao carácter da solução: É aperiódico, se λ ω É oscilatório aortecido, se λ ω < Neste segundo caso podeos escrever a raiz quadrada de u núero negativo coo u núero iaginário ( 1 i ), α 1 λ + i ω λ α λ i ω λ Assi a solução adquire u carácter diferente, já que se pode escrever a identidade x ( t ) Ae α 1 t + Be α t e λt Ae i ω λ + Be i ω λ Para quaisquer A e B, podeos sepre encontrar u par de núeros C e φ, que depende das condições iniciais, que satisfaça siultaneaente 1 A 1 Ceiϕ B 1 iϕ Ce Podeos por fi escrever a solução geral da equação hoogénea coo x ( t ) Ce λt cos( ωt + ϕ), ω ω λ Assi, a solução é oscilatória, co frequência ω<ω, e co a aplitude a decair exponencialente : oviento oscilatório aortecido. Equação co o tero forçado Pode-se deonstrar (usando o étodo dos coeficientes indeterinados, ver anexo no final) que ua solução particular da equação co o tero forçado te a fora 1 Pode verificar que, dados A e B, se te C AB e φ i ln A B. 3

4 x f ( t ) A( ω ext )cos( ω ext t θ) e que A( ω ext ) θ ω ext F ω ( ω ext ) + 4λ ω ext ( ω * ω ext ) arctan λω ext ' % & ou seja, tanto a aplitude coo a fase desta solução depende do valor da frequência de oscilação da força externa, da frequência própria e do atrito, as não depende das condições iniciais. Contudo, na presença de atrito a solução da equação hoogénea tende exponencialente para zero, à edida que o tepo passa, ficando apenas o que se designa por regie peranente x ( t ) x f ( t ) Assi, calculando o valor dos teros te-se F A F ( 7 1 ) ,8 F 7,7 1 5 N θ arctan arctan,784,66 rad Assi, x f ( t ) 7,7 1 5 F cos( 1t,66) e) A aplitude da vibração, coo vios, é dada por A. Assi: A F 7,7 1 5,1 F,1 13 N 5 7,7 1 f) A frequência de ressonância é o valor de ω f que axiiza a aplitude de oscilação A(ω f ). Podeos deterinar o valor áxio calculando a derivada do tero dentro da raiz quadrada e igualando a zero, d ω ω f dω f + 4λ ω f ω f ω ω f 4ω f ω ω f λ + 8λ ω f 4

5 A solução ω f corresponde a ua força de valor constante e não interessa para este caso, pelo que teos para a frequência de ressonância ω f ω R ω λ 7 6,4 rad/s g) Nesse caso, substitui-se ω f por ω R na expressão para A(ω f ), obtendo-se A( ω R ) F ( ω ( ω λ )) + 4λ ω λ F ( λ ) + 4λ ω 8λ 4 F 4λ ω 4λ 4 F λ ω λ Repare-se que o denoinador corresponde à definição da frequência ω do oscilador co aorteciento, confore se viu e c). Usando ainda a relação entre µ e λ, teos: ω ω λ 7 6,7 rad/s µ λ 8 kg.s 1 A( ω R ) F µω 13,4 c 8 6,7 5

6 Anexo: Solução particular de ua equação diferencial forçada Considere-se a seguinte equação co u tero forçado do tipo oscilador harónico, A x +B x +Cx D cos( ωt ) Esta equação pode ser resolvida se procuraros a solução coplexa Φ(t) para ua perturbação do tipo e!"#, e no final toaros apenas a parte real, x! t Re Φ. Escrevendo então a equação coplexa equivalente: AΦ +BΦ +CΦ De iωt A fora do lado direito sugere que ua solução particular pode ser do tipo Φ~ke!"#, e tese assi: +B ( iωke iωt ) +C ( ke iωt ) De iωt D A ω ke iωt k ω A +C + ibω k D C ω A + ibω O denoinador desta fracção é u núero coplexo da fora a + ib. U núero coplexo pode ser escrito na fora polar, de acordo co a + ib re iθ, r a + b θ arctan b a Escrevendo o denoinador na fora polar, co a C ω! A e b Bω: k D ( C ω A) + Bω exp% i arctan $ # Bω & ( C ω A ' Assi a solução particular Φ~ke!"# toa a fora Φ( t ) D ( C ω A) + Bω * $ exp, i & ωt arctan + % Bω '- )/ C ω A (. O últio passo é toar a parte real, obtendo assi a solução particular x f ( t ) Re" # Φ( t ) $ % D C ω A + Bω ( cos* ωt arctan ) Bω + - C ω A, 6

7 Concretizando agora para o exeplo do problea atrás, isto é, para ua equação diferencial do tipo x + µ x + k x F cos( ω t ) A x +B x +Cx D cos ωt ext Fazeos as seguintes identificações: A 1 B µ λ C k ω D F ω ω ext A solução particular escreve-se assi x f ( t ) A cos( ω ext t θ) A F ω ( ω ext ) + 4λ ω ext θ arctan λω ext ω ω ext As figuras abaixo ilustra a variação da aplitude e da fase co a frequência (eixos noralizados) para os seguintes valores de λ/ω : (se aorteciento),,5,,5,,75 e 1 (oviento aperiódico) F /ω λ/ω,5,5,75 θ λ/ω,5,5,75 1,.5 1, ω ext /ω ω ext /ω Variação da aplitude noralizada A (esq.) e da fase θ e função da frequência ω ext/ω, para diversos valores da constante de aorteciento λ/ω. 7

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