Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática. Primeira Lista de Exercícios MAT 241 Cálculo III

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1 Universidade Federal de Viçosa Cenro de Ciências Exaas e Tecnológicas Deparameno de Maemáica Primeira Lisa de Exercícios MAT 4 Cálculo III Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando ( V para verdadeiro ou ( F para falso Jusifique sua resposa! (a ( O raio da esfera que coném os ponos A ( 3,,4, B (,5,3 e ( 4,4, em seu cenro no plano xy é igual a 3 C e (b ( Exise um plano que coném os ponos A (,, -, B (,,3, C ( -,, e D ( 4,,3 (c ( O riângulo deerminado pelos ponos, A ( 3,, -, B (, -, e C ( 7,, - é um riângulo reângulo (d ( Se u v = u w com u, enão v = w (e ( 3 u, v IR, u v u v ( u v A 5,4,5, e os rês vérices adjacenes nos ponos B ( 4,,6, C (,8,7 e D (,6,9 é igual a 5 A 7,6,5 perence ao segmeno de rea r : x = + 3, y = + e z = 3 +, onde C, 4, e angene ao plano-yz é Para quaisquer veores + + = + ( f ( O volume do paralelepípedo que em um dos vérices no pono ( ( g ( O pono ( ( h ( A equação da esfera de cenro ( x + y + z + 4x 8y + z + 7 =, b IR 3 a b ( i ( Para quaisquer veores a, = a b ( a b π a Sejam a e b veores, com ângulo enre si medindo θ =, e ais que a b = 6 Deermine a área do riângulo que em os veores a e b como lados adjacenes b Se u e v são veores ais que u + v = e u v = 8, deermine u v 3 Considere os veores u= i+ 3j+ k, v= i j + k e w= i j Seja π um plano paralelo aos veores v e w, e r uma rea perpendicular ao plano π Deermine o veor que é a projeção orogonal do veor u sobre a rea r 4 Deermine a equação do plano α que coném os ponos A (,,5 e (,, perpendicular ao plano β : x + 3y z 7 = B e é

2 5 Escreva as equações paraméricas da inerseção dos planos (a x + y z = e x + y + z = (b x + y = e z = 6 Deermine o pono de inerseção da rea x = + y = = 4 + IR com cada um dos planos (a x y + 3z = 8 (b x + z = 5 (c x = 7 Verifique que a rea = + y = + 3 z = 5 IR esá conida no plano x + y z = 8 Verifique que a rea = + y = + = + 3 IR não inercepa o plano x + y z = 3 9 Deermine os valores de a e b para que as reas x = + a x = + r : y = + b IR e s y = + b IR = + = + (a paralelas (b concorrenes (c reversas : sejam: Deermine os valores de a, b e d para que o plano a x + b y + 3 z = d seja (a paralelo ao plano x + y 5 z = 4 (b represene o mesmo plano que x + y 5 z = 4 Verifique que as reas x = + = + r : y = IR e s : y = IR = 5 + z = + são concorrenes e deermine uma equação do plano por elas definido

3 Deermine a disância do pono A (,,3 a cada um dos planos (a x y + z = (b x + y z = (c x 5 z = 8 3 Deermine: ( à rea = + 5 r : y = z = IR (,, à rea x = + r : y = 5 = + 3 IR,3,5 (,,3 x + y z = e x y z = 3 (a a disância do pono 5,4, 7 (b a disância do pono (c a disância do pono ( a cada um dos eixos do sisema de coordenadas 4 Escreva uma equação do plano que coném o pono A e é perpendicular a cada um dos planos 5 Escreva uma equação do plano paralelo ao eixo z e que coném a inerseção dos planos x + y + 3 z = 4 e x + y + z = 6 Deermine a equação da rea r que passa pelo pono A ( 3,, e que é paralela aos planos α e β de equações: α : x y + z = 3 e β : 5x 4y + z = 7 (a Deermine as equações paraméricas da rea que é a projeção da rea x = r : y = + IR sobre o plano α : x y + z = = 3 + (b Deermine o ângulo da rea r com o plano α x = + r y = 3 z = + perpendicular ao plano α de equação 3 x + y z = 5 projeane de r sobre α 8 Escreva as equação do plano que coném a rea : IR e é 9 Deermine o ângulo agudo enre as reas = + = 4 + r : y = IR e s : y = + IR z = 3 + z = 5 + Deermine o ângulo agudo enre os planos y + 3 z = Ese plano é chamado plano x e + y 8 z = x

4 x = = 3 3,, (a Verifique que qualquer pono da rea r : y = + IR é eqüidisane dos vérices do riângulo A (,,, B (,4,3 e ( C (b Deermine o pono de r mais próximo deses ponos (a Dados os ponos A (,,, B (,, e C ( 3,,4 x y + 5 z = um pono eqüidisane dos vérices do riângulo ABC (b Deermine o circuncenro do riângulo ABC 3 Dados A (,,3, ( 4,,, deermine no plano B e o plano α de equação x y + z = 3 equações paraméricas de uma rea r de α al que odo pono de r é eqüidisane de A e B 4 Escreva as equações paraméricas da bisseriz do ângulo menor das reas x = x = 6 r : y = + IR e s : y = + IR = z = P,,3 em relação (a ao pono O ( 3,, = (b à rea r : y = IR z = + (c ao plano x y + 3z = 5 Deermine o simérico do pono ( = z = +, deermine as 6 Escreva as equações paraméricas da simérica da rea r : y = IR, em relação ao plano x y + 3z = 7 Escreva as equações paraméricas da rea que coném o pono (,3,5 8 Dadas as reas reversas R P e é concorrene com = + 3 x = + as reas r : y = 3 IR e s : y = + 3 IR z = z = 5 x = x = r : y = + 3 I e s : y = 4 IR z = 5 + = + 3 deermine: (a a menor disância enre r e s (b as equações paraméricas da perpendicular comum às reas r e s

5 9 Deermine uma equação do plano perpendicular ao plano - yz, conendo o pono,, fazendo um ângulo com o plano x y + z 3 = com medida de arccos ( 3 rad 3 Prove que o veor u v, onde u = ( a, b, c e v = ( a, b, c planos ax + by + cz = d e a x + b y + cz = d a, b, c é uniário, enão a disância do plano ax by + cz = d 3 Demonsre que se ( ( e, é paralelo à inerseção dos + à origem é d 3 Deermine o pono do plano ax + by + cz = d mais próximo da origem 33 (a Deermine a disância de uma diagonal de um cubo a cada uma de suas aresas (b Unindo-se o cenro de uma face de um cubo com os vérices da face oposa, obém-se uma pirâmide de base quadrada Deermine os ângulos enre os planos das faces da pirâmide 34 Escreva uma equação do plano paralelo a x y + 6 z = 4 e angene à esfera x + y + z 4x + y = 4 35 Deermine o cenro e o raio da circunferência de inerseção da esfera x + y + z = 5 com o plano x + y + z = 4 36 O movimeno de uma parícula é al, que no insane sua posição é P( = ( +,, (a Em que insane a parícula esá mais próxima da esfera x + y + z =? (b Qual é o pono desa esfera mais próxima da rajeória da parícula? 37 ELIMINADO Era igual ao de número 4 38 Seja α o plano x + y z + = e r a rea que coném os ponos A (,, e B (,3,6 Deermine as equações da rea m que coném o pono C (,,3, é perpendicular à rea r e paralela ao plano α 39 Em compuação gráfica e desenho em perspeciva, precisamos represenar objeos capados pelo olho no espaço como imagens em um plano bidimensional Suponha que o olho eseja em E ( x,,, onde x, e queiramos represenar um pono P ( x, y, z como um pono no plano-yz Fazemos isso projeando P no plano com raio a parir de E O pono P será represenado como o pono P (, y, z O problema para os designers gráficos é enconrar y e z, dados E e P a Escreva uma equação veorial que envolva os veores EP e EP Use a equação para expressar y e z em ermos de x, x, y e z b Teses as fórmulas obidas para y e z no iem anerior, invesigando o comporameno delas em x = e x = x, e vendo o que aconece quando x + O que você enconrou? 4 Seu olho esá siuado no pono P (4,, Você esá olhando para uma placa riangular cujos vérices esão em A (,,, B (,, e C (,, (a O segmeno de rea de E (,, a F (,, passa pela placa? (b Em caso afirmaivo, qual a medida da pare do segmeno de rea que esá escondida da sua visão pela placa?