7. OSCILADOR HARMÓNICO COMPOSTO

Transcrição

1 7. OSCIDOR HRÓNICO COPOSTO 7. OSCIDOR HRÓNICO COPOSTO Renato P. dos Santos 7

2 CÁCUO TRICI. Introdução. aplicação dos étodos atriciais à ísica é variada. Podeos citar coo eeplos as transforações de orenz na Relatividade Restrita a atriz S na ecânica Quântica dentre as ais iportantes. Neste capítulo tratareos da aplicação de alguns dos étodos atriciais já vistos nos volues I e II a alguns eeplos no âbito da ecânica Clássica. uitos sisteas físicos de interesse são constituídos por coposição de sisteas eleentares. Por eeplo u circuito eléctrico é constituído por u conjunto de coponentes eléctricos tais coo condensadores resistências e indutores sendo o coportaento do sistea coposto deduzido a partir da coposição das propriedades físicas de cada coponente estas supostas já be conhecidas. qui os poderosos étodos do cálculo atricial pode ser de grande auílio. Considerareos aqui apenas sisteas que pode sob certas circunstâncias apresentar u coportaento oscilatório. O paradiga de tais sisteas é o chaado oscilador harónico coposto cujas propriedades são análogas à do pêndulo coposto e de circuitos C. O oscilador harónico coposto consiste na associação ecânica de osciladores harónicos siples e por essa razão iniciareos este teto por u breve estudo desse sistea. 8

3 7. OSCIDOR HRÓNICO COPOSTO. O oscilador harónico siples U oscilador harónico siples é forado por ua assa presa a ua etreidade de ua ola estando a outra etreidade desta presa a u ponto fio e estando todo o sistea apoiado nua superfície se atrito de fora que a assa possa eecutar u oviento rectilíneo horizontal. ola quando deforada isto é quando te seu copriento natural alterado por copressão ou por alongaento reage eercendo ua força dada pela lei de Hooe onde é o valor algébrico da variação no copriento da ola é ua constante que caracteriza a rigidez da ola e o sinal negativo indica que a força opõe-se sepre ao afastaento do ponto de equilíbrio isto é à deforação. Coo se sabe da ª ei de Newton o resultado da actuação de ua força sobre ua assa constante é ua aceleração a dessa assa na direcção da actuação da força dada por a. Igualando-se essas duas equações e lebrando que a aceleração é a segunda derivada teporal da posição resulta a seguinte equação diferencial à qual a posição da assa deverá obedecer d ou d onde introduzios a constante. Coo se sabe ua equação diferencial linear de segunda orde co coeficientes constantes coo a indicada te a solução geral ( t αsen( t βcos( t onde α e β são constantes arbitrárias. Toando agora se perda de generalidade α cosδ e β sen δ onde δ é ua constante real a solução assue a epressão ( t sen( t δ função que representa ua oscilação de aplitude e período T π e co δ passível da interpretação geoétrica de u ângulo inicial de fase isto é a indicar e que ponto da oscilação se encontra o sistea no início ou seja e t confore se vê na igura. Coo na prática o sistea é posto a oscilar pela deforação áia da ola e sua posterior libertação teos que ( ( t isto é δ π o que nos perite rescrever a solução para este caso finalente coo 9

4 CÁCUO TRICI ( t cos( t. (t T/4 T/ T/4 T - t igura oviento harónico siples Por outro lado sendo o período T de oscilação igual a π significa que a oscilação dá-se co ua frequência π e por isso é chaada frequência angular do oscilador. Note-se que da definição acia de quanto aior a assa ais lenta será a sua oscilação e quanto ais rígida a ola ais rápida será sua oscilação. 4

5 7. OSCIDOR HRÓNICO COPOSTO. O pêndulo siples e o circuito C Confore foi dito na introdução o oscilador harónico siples é u paradiga para outros sisteas. O pêndulo siples por eeplo consiste nua assa presa a ua etreidade de u fio inetensível de copriento l cuja outra etreidade está presa a u ponto fio estando todo o sistea sob a acção de u capo gravitacional cuja intensidade é dada pela constante g de fora que a assa possa eecutar ua trajectória que consiste e u arco de circunferência contido no plano vertical. O sistea está sujeito agora à coponente força da gravidade de tal fora que ua parte dela anté o fio esticado enquanto outra parte é tangente à trajectória da assa. É esta coponente que interessa ao oviento da assa e será tanto aior quanto ais a assa estiver distanciada do seu ponto de equilíbrio que é evidenteente o ponto ais baio da trajectória. Introduzindo coo variável o ângulo θ que o fio faz co a vertical a força será dada por gθ. Neste caso a ª ei de Newton torna-se d θ l e a equação que descreve o oviento será então d θ θ co g l. Por seelhança das equações de oviento deduz-se que a solução desta é idêntica à do oscilador harónico siples ou seja θ ( t cos( t. Neste caso quanto ais coprido o fio do pêndulo ais lenta será a sua oscilação e quanto ais intenso for o capo gravitacional (e Júpiter p.e. ais rápida será a oscilação. Da esa fora nu circuito C forado por u condensador co capacidade C e u indutor co indutância a carga eléctrica Q arazenada no condensador é dada pela solução da equação d Q Q C ou d Q Q co C o que significa que o valor da carga oscilará coo Q( t cos( ot. Neste caso quanto aior for a capacidade ou a indutância ais lenta será a oscilação do valor da carga. 4

6 CÁCUO TRICI 4 Eeplo : Considereos u oscilador coposto por duas assas iguais e ua assa situada entre as outras duas e ligadas entre si por duas olas ideais co a esa rigidez dada pela constante. Seja então as deslocações de cada assa de suas posições iniciais dadas respectivaente por e. plicando a ei de Hooe para cada ola e a ª lei de Newton a cada assa tereos após eliinar u sistea de três equações diferenciais: ( ( ( ( d d d. Para o caso presente procurareos soluções e que as três assas oscila co a esa frequência angular o que constitui os chaados odos norais de oscilação. Substituindo então no sistea acia por analogia co o oscilador siples cos( ( t t i i obté-se e fora atricial isto é. Note-se que as soluções deste sistea co e não siultaneaente nulos ais não são que os vectores próprios da atriz associados ao valor próprio. Então calculando pelo étodo usual através da equação característica obteos

7 7. OSCIDOR HRÓNICO COPOSTO 4 que equivale a ou seja valores próprios estes que corresponde a três frequências angulares. Procurando os vectores próprios associados teos a para o que equivale a solução que representa o sistea e repouso se oscilação isto é se deforação das olas; b para

8 CÁCUO TRICI 44 o que equivale a solução que representa o sistea co as assas a oscilar co a esa aplitude e e sentido contrário e a assa e repouso; c para o que equivale a

9 7. OSCIDOR HRÓNICO COPOSTO solução que representa o sistea co as assas a oscilar co a esa aplitude e no eso sentido e a assa a oscilar e sentido contrário co ua aplitude da das outras assas. Tais são portanto os três odos norais de oscilação deste sistea. Note-se que ua vez que as forças devido às olas são internas ao sistea o centro de assa não se ove. Isso vê-se facilente no prieiro odo noral caso trivial e no segundo pela sietria da oscilação das assas e iobilidade da assa central. No terceiro caso pode-se verificar que o valor da aplitude da oscilação da assa é eactaente o que garante a iobilidade do centro de assa. Eeplo : Considereos agora u oscilador coposto da esa fora por três assas iguais ligadas entre si por duas olas ideais co a esa rigidez dada pela constante e por sua vez ligadas a duas paredes por olas idênticas. Seja da esa fora as deslocações de cada assa das suas posições iniciais dadas respectivaente por e. plicando a ei de Hooe para cada ola e a ª lei de Newton a cada assa tereos após eliinar u sistea de três equações diferenciais d ( d ( (. d ( Tal coo no eeplo anterior procurareos os chaados odos norais de oscilação. Substituindo-se então ua solução do tipo ( t cos( t i i obté-se e fora atricial isto é 45

10 CÁCUO TRICI 46. Novaente as soluções deste sistea co e não siultaneaente nulos ais não são que os vectores próprios da atriz associados ao valor próprio. Da esa fora através da equação característica obteos que equivale a ( ( ou seja ( ( valores próprios estes que corresponde a três frequências angulares. Procurando os vectores próprios associados teos a para o que equivale a

11 7. OSCIDOR HRÓNICO COPOSTO 47 solução que representa o sistea co a assa central e repouso e as outras duas assas a oscilar co a esa aplitude e e sentido contrário; b para ( o que equivale a solução que representa o sistea co as assas eternas a oscilar co a esa aplitude e no eso sentido e a assa do eio a oscilar e sentido contrário co ua aplitude de da das outras assas; c para (

12 CÁCUO TRICI 48 o que equivale a solução que representa o sistea co as três assas a oscilar no eso sentido as assas eteriores co a esa aplitude e a assa do eio co ua aplitude de da das outras assas. Tais são portanto os três odos norais de oscilação deste sistea. Note-se que agora ne todas as forças são internas ao sistea e por este otivo o centro de assa pode over-se. No segundo caso ebora a assa central oscile e sentido contrário às assas eternas o valor da sua aplitude leva à oscilação do centro de assa. No terceiro caso coo as três assas oscila no eso sentido o centro de assa obviaente ove-se. Eeplo : Considereos agora u oscilador coposto do eso odo por duas assas iguais e ua assa situada entre as outras duas e ligadas entre si por duas olas ideais co a esa rigidez dada pela constante e sendo todo o conjunto sujeito a ua força periódica que actua sobre a prieira assa. Seja da esa fora as deslocações de cada assa de suas posições iniciais dadas respectivaente por e. plicando a ei de Hooe para cada ola e a ª lei de Newton a cada assa tereos após eliinar u sistea de três equações diferenciais

13 7. OSCIDOR HRÓNICO COPOSTO 49 ( ( ( ( ( d d t d Considerando-se o caso particular e que a força de ecitação é sinusoidal isto é da fora cos( ( t t co frequência angular e aplitude e analogia co os eeplos anteriores tentareos ua solução do tipo cos( ( t t i i onde agora a solução deve ter ua frequência angular idêntica à da ecitação. Obté-se então e fora atricial ( t isto é que equivale a e que te por solução ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 4 Se lebraros que no Eeplo as frequências dos odos norais do sistea se a força de ecitação ecluindo o caso trivial era e

14 CÁCUO TRICI vê-se que se a frequência dessa força tender para algua dessas frequências as aplitudes de oscilação cresce de fora iliitada co ecepção da aplitude para o segundo odo o qual correspondia no Eeplo ao estado de repouso da assa. Esta situação é conhecida na ísica coo ressonância e as frequências de u sistea para os quais a sua aplitude de oscilação cresce indefinidaente são chaadas frequências de ressonância e tende a coincidir co as frequências próprias do sistea. O efeito de ressonância pode ser útil sendo eso o princípio básico do funcionaento de u forno de icroondas ou da ipulsão de u baloiço ou prejudicial e perigoso coo e estruturas de edifícios e pontes sendo de triste eória a ponte Tacoa Narrows Bridge e Washington que desabou e Novebro de 94. Na prática a eistência de atrito e outras foras de dissipação de energia liita a aplitude áia e desvia ligeiraente a frequência de ressonância da frequência própria. 5

15 7. OSCIDOR HRÓNICO COPOSTO. Conclusão Tal foi u eeplo siples da utilização das atrizes à ecânica Clássica. Confore dito na Introdução a aplicação das atrizes à ísica é variada tendo sido encionados eeplos na Relatividade Restrita e a ecânica Quântica. Esperaos todavia ter deonstrado aqui algo do potencial dos étodos atriciais na ísica. 4. Bibliografia RKEN George; WEBER Hans J. atheatical ethods for Physicists cadeic Press Inc. ondon. GODSTEIN Herbert Classical echanics ddison-wesley sterda. 5