LIMITES FUNDAMENTAL. Jair Silvério dos Santos * sen x

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1 MATEMATICA APLICADA A NEGÓCIOS 4,?? 200) Cálculo Cálculo Diferencial e Integral I TEOREMA DO SANDUICHE LIMITES FUNDAMENTAL Jair Silvério dos Santos * Teorea 0 Dadas f, g, h : A R funções e 0 ponto de acuulação de A i) Suponha eiste ɛ > 0 tal que para cada 0 ɛ; 0 + ɛ) te-se f) h) g) ii) Suponha que f) = L e g) = L, onde L é u núero real 0 0 Então h) = L 0 Eeplo 0 Seja h : A R R função dada por h) = sen ), e 0 = 0 Calcule h) Note que, sen ), entã toe f) = e g) = e tereos f) h) g) para todo R Coo = 0 =, o Teorea 0 nos garante que sen ) = 0 Prieiro Liite Fundaental Proveos que sen = Considereos o arco de circunferência de raio u AOC na Figura abaio Considere tabé o setor circular AOC e os triângulos BOC e AOG cujas as áreas são representasdas por s, B e G respectivaente G C O B A É fácil ver que B s G Vaos denotar a edida do arco AC por, e observar que a edida dos segentos de reta OA, OB, BC, e AG são u, cos, sen e sen respectivaente Co estes valores e cos enteveos que estas áreas satisfaze MATEMÁTICA & NEGÓCIOS DFM-FFCLRP-USP

2 2 SANTOS, J S 2 sen cos ) 2 Invertendo todas as frações tereos 2 sen cos ou seja sen cos sen cos sen cos cos sen Multiplicando todos os ebros das inequações acia por sen veja que sen > 0) tereos cos sen cos Agora estaos e condições de nos valer do Teorea 0 co as funções f) =, g) = cos e cos h) = sen Coo +f) = + cos = e +g) = cos =, o Teorea 0 nos asegura + que sen +h) = = + Note que todos os cálculos acia pode ser desenvolvidos para próio de zero, as pela esquerda de zero, o que nos faz ver que sen h) = = Coo os ites pela esquerda e pela direita de zero eiste e são iguais, tereos sen = Eeplo 02 cos Vaos calcular Veja que a fração dentro do ite pode ser escrita coo cos = cos + cos + cos = cos2 + cos = sen sen + cos sen Veja que = ite fundaental), sen = 0 e = Então teos + cos cos sen = sen + cos = 0 = 0 sen 3 sen i) Calcule i) ; ii) π fa + h) fa) ii) Toe f) = cos e calcule sen π sen 7 iii) i) Calcule ii) sen π ; OUTROS EXERCÍ CIOS ; iii) sen 3 ; iv) sen 5 sen 2 5 MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP

3 PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL 3 iv) a - Calcule b - Seja f : R R dada por f) = 5 Se a for u núero real fio não nulo, calcule seguida calcule a) f) fa) 5 a a v) Calcule os ites abaio : f) fa) E a i) ; ii) ; use o ite i) eercício 3) + 2 a) vi) Encontre e R o conjunto solução para as inequações abaio : ; b) ; c) Seja f : A R R dada por f) = 2 + Descreva o conjunto A vii) a Calcule as assíntotas horizontais e verticais de f) = , b Coo sabeos da definição de ite que = 7 se dado ɛ > 0 eistir δ > 0 tal que, se dist; 2) < δ, então distf), 7) < ɛ Dado ɛ = 0 4, encontre algu δ > 0 adequado que satisfaça a definição de ite Segundo Liite Fundaental Prieiraente vaos ostrar que se n for u núero natural aior que dois então + n n 2 se n 2 Usando o binôio de Newton, veos facilente que + n n ) n = n i ) i n = n i n) n 0 ) 0 n + 0 n) n ) n ) n + n i ) i, n i n i=0 i=2 ) 0 n as veja que n 0 = = n ) n ) Então n 0 ) 0 n + n n ) n ) = + = 2, ainda note n que n ) n n i ) i > 0, i n pois todas as suas parcelas são positivas Portanto, se n 2 tereos i=2 + n n 2 Proposição 0 Se e for o núero irracional neperiano cujo valor aproiado é 2, , então + t = e = + t t + t t t MATEMÁTICA & NEGÓCIOS DFM-FFCLRP-USP

4 4 SANTOS, J S A prova da Proposição 0 envolve o conceito de Séries de nuéricas e será oitida, as fareos aluas observações sobre este assunto Faça t N, t assuir apenas núeros Naturais) Neste caso é fácil ver que Vaos provar que + s s = e s 0 0) Fazendo t = s, tereos que s + se t 0+, então Ainda tereos que s se t 0, então + s s = + t P rop = e s 0 + t t Coo os ites laterais são iguais, tereos + s s = + t P rop = e s 0 t t + s s = e s 0 PROBLEMA DE JURO SIMPLES Suponha que voce investiu u quantidade P 0 de capital a ua taa de juros de 6% ao ano Então ua conta siples ostra que ao final do prieiro período, o Principal P valor atualizado), será dado por: P = P ) se o juro for coposto anualente ao capital inicial P 0 P = P ) 2 se o juro for coposto seestralente ao capital inicial P 0 2 P = P ) 3 3 se o juro for coposto quadriestralente ao capital inicial P 0 P = P ) 4 4 se o juro for coposto triestralente ao capital inicial P 0 P = P ) 2 se o juro for coposto ensalente ao capital inicial P 0 2 Pode-se ver facilente que se a taa anual de juros for u núero real r, 0 < r <, e o Principal for coposto vezes ao ano N), ao final de n anos n N) será dado por: 02) P n ) = P 0 + r ) n 03) Então, Principal é ua função que relaciona o conjunto dos núeros naturais co o conjunto do núeros reais sob a luz da igualdade 03) Observe que no sentido acia a acuulação de capital, e verdade, é ua aneira de dois conjuntos N e R trocare inforações de acordo co a epressão 03) Podeos ver facilente que + r ) n = + r ) r r n = + r ) r nr 04) MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP

5 PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL 5 Então, P n) = P 0 + ) r n = P0 + r ) r r n = P 0 + r ) r nr = P0 Após n anos se o Principal for corrigido infinitas vezes a cada ano, tereos + r ) 05) r nr = P0 e rn P n) = P 0 e rn Substituindo n por t tereos P t) = P 0 e rt 06) Portanto, ao findar u período de tepo t a quantidade de capital P 0, quando coposta instantaneaente ou continuaente a ua taa de juros r por cento ao ano, será dada por P t) = P 0 e rt 07) Eeplo 03 Quanto tepo será necessário para que Q 0 =, 00 unidades de oeda dobre o valor noinal quando aplicado e ua carteira à taa de juros 4% ao nao? Resolução Segue de 07) que P t) = P 0 e 0,04t ou seja quereos saber para qual valor t 0 tereos P t 0 ) = 2P 0 Isto é P 0 e 0,04t0 = 2P 0 O valor de t 0 deve satisfazer e 0,04t0 = 2 Calculando o logaríto neperiano e aos os ebros tereos 0, 04t 0 = ln 2 U cálculo relativaente siples nos ostra que t 0 = 7 anos e quatro eses, aproiadaente Sabeos da teoria de ite que dadas f, g : a, b R tais ) que f é ua função contínua e g 0 ) a, b e eiste g) = L R, enão fg)) = f 0 0 g) 0 = fl) Note que este resultado é útil para se calcular o ite abaio: ln + = ln + ) = ln e = 08) Proposição 02 Seja a R tal que 0 < a, então a = ln a Prova : tereos Fazendo t = a, tereos a = t + Calculando Logarito Nepariano e abos os ebros ln a = lnt + ), então ln a = lnt + ), portanto = É fácil ver que se 0 0) então t 0 t 0), Assi tereos lnt + ) ln a a = t lnt + ) ln a = ln a lnt + ) t = ln a lnt + ) t ver08) = ln a Eercícios Use a teoria acia e calcule os ites abaio: MATEMÁTICA & NEGÓCIOS DFM-FFCLRP-USP

6 6 SANTOS, J S a b a) a, b R tal que 0 < a, b, b) + n+5 n n) c) + 2, ), 2n + 3 ) n d) 5) ) + n 2n + Outros Eercícios Calcule sin9) sin0) a), b) sin9), c) cos 2, d) ) EXERCÍCIOS sin i) Quanto tepo será necessário ara que Q 0 =, 00 unidades de oeda dobre o valor noinal quando aplicada e ua carteira a ua taa de juros 5% ao nao? Rep 3, 86 anos ii) Quanto tepo será necessário ara que Q 0 unidades de oeda dobre o valor noinal quando aplicada e ua carteira à taa de juros 3% ao nao? iii) Quanto tepo será necessário ara que Q 0 unidades de oeda dobre o valor noinal quando aplicada e ua carteira à taa de juros 7% ao nao? iv) Qual será a taa r de juros ao ano, para que Q 0 unidades de oeda aplicada e ua carteira dobre o seu valor noinal e 2 eses? Rep r = 578% DERIVADA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA Agora, se a R, a > 0 e a, podeos calcular facilente a derivada das funções que Denoine f ) o seguinte Liite: f) = a para todo R e g) = log a para todo > 0 f f + h) f) a +h) a ) = = Veja que a Proposição 02 nos diz que h 0 a h h = a a h a = a h = lna Portanto, Denoine g ) o seguinte Liite: f ) = a lna Portanto g g + h) g) ) = = log a + h) log a = h 0 h + h) log a = log h 0 a + h h = log h 0 a + h h = log + h h faça s= h ) = a h 0 log s ver 0)) + s = a s 0 log e a g ) = lna MATEMÁTICA & NEGOCIOS DFM-FFCLRP-USP