Calcule a área e o perímetro da superfície S. Calcule o volume do tronco de cone indicado na figura 1.

Transcrição

1 1. (Unesp 017) Um cone circular reo de gerariz medindo 1 cm e raio da base medindo 4 cm foi seccionado por um plano paralelo à sua base, gerando um ronco de cone, como mosra a figura 1. A figura mosra a planificação da superfície laeral S desse ronco de cone, obido após a secção. Calcule a área e o perímero da superfície S. Calcule o volume do ronco de cone indicado na figura 1.. (Unesp 017) Leia a maéria publicada em junho de 016. Energia eólica deverá alcançar 10 GW nos próximos dias O dia mundial do veno, 15 de junho, erá um marco simbólico ese ano. Anes do final do mês, a fone de energia que começou a se ornar realidade no país há seis anos alcançará 10 GW, sendo que o poencial brasileiro é de 500 GW. A perspeciva é a de que, em meade dese empo, o Brasil duplique os 10 GW. ( Adapado.) Considerando que a perspeciva de crescimeno coninue dobrando a cada rês anos, calcule o ano em que o Brasil aingirá 64% da uilização do seu poencial eólico. Em seguida, calcule o ano aproximado em que o Brasil aingirá 100% da uilização do seu poencial eólico, empregando um modelo exponencial de base e adoando log 0, no cálculo final.. (Unesp 017) Uma lancha e um navio percorrem roas lineares no mar plano com velocidades consanes de 80 e 0 km h, respecivamene. Suas roas, como mosra a figura, esão definidas por ângulos consanes de medidas iguais a α e β, respecivamene. Quando a lancha esá no pono L e o navio no pono N, a disância enre eles é de 10 km. Página 1 de 10

2 Sendo P o pono em que a lancha colidirá com o navio, demonsre que o ângulo obuso LPN será igual a α β. Em seguida, calcule a disância enre N e P, considerando 9 cos( α β) (Unesp 016) Esá previso que, a parir de 1º de janeiro de 017, enrará em vigor um sisema único de emplacameno de veículos para odo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As novas placas serão composas por 4 leras e algarismos. Admia que no novo sisema possam ser usadas odas as 6 leras do alfabeo, incluindo repeições, e os 10 algarismos, ambém incluindo repeições. Admia ainda que, no novo sisema, cada carro do Mercosul enha uma sequência diferene de leras e algarismos em qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas. No novo sisema descrio, calcule o oal de placas possíveis com o formao Lera-Lera- Algarismo-Algarismo-Algarismo-Lera-Lera, nessa ordem. Em seguida, calcule o oal geral de possibilidades de placas com 4 leras (incluindo repeição) e algarismos (incluindo repeição) em qualquer ordem na placa. Deixe suas resposas finais em noação de produo ou de faorial. 5. (Unesp 016) Uma empresa oferece free grauio para enregas do seu produo em um raio de aé 5 km do depósio. Para a disância que ulrapassar 5 km, medida em linha rea desde o depósio, a empresa cobra R$ 0,00 por quilômero que ulrapasse os 5 km iniciais grauios. Essa cobrança ambém é feia de forma proporcional em caso de frações de quilômeros. Um consumidor do produo reside 0 km a lese do depósio e x km ao sul. Apresene uma figura represenando a siuação descria e deermine o valor máximo de x para que esse consumidor enha direio ao free grauio na enrega do produo em sua residência. Em seguida, deermine o cuso do free C (em reais), em função de x, para o caso em que C(x) (Unesp 016) Em um plano caresiano orogonal são dadas uma rea d, de equação x, e um pono F, de coordenadas ( 1, ). Nesse plano, o conjuno dos ponos que esão à mesma disância do pono F e da rea d forma uma parábola. Na figura, esão nomeados dois ponos dessa parábola: o vérice V, de coordenadas (, ), e o pono P, de coordenadas (0, y p ). Página de 10

3 Deermine as coordenadas de dois ponos quaisquer dessa parábola que sejam diferenes de V e de P. Em seguida, calcule y p. 7. (Unesp 016) O gráfico da parábola dada pela função f(x) (x 16x 4) 40 indica, para uma deerminada população de inseos, a relação enre a população oal aual (x) e a população oal no ano seguine, que seria f(x). Por exemplo, se a população aual de inseos é de 1 milhão (x 1), no ano seguine será de,95. milhões, já que f(1),95. Dizemos que uma população de inseos esá em amanho susenável quando a população oal do ano seguine é maior ou igual a população oal aual, o que pode ser idenificado graficamene com o auxílio da rea em azul (y x). Deermine a população oal aual de inseos para a qual, no ano seguine, ela será igual a zero (adoe 4,7), e deermine a população oal aual para qual a susenabilidade é máxima, ou seja, o valor de x para o qual a diferença enre a população do ano seguine e do ano aual, nessa ordem, é a maior possível. 8. (Unesp 016) A demanda de um produo químico no mercado é de D oneladas quando o preço por onelada é igual a p (em milhares de reais). Nese preço, o fabricane desse produo oferece F oneladas ao mercado. Esudos econômicos do seor químico indicam que D e F Página de 10

4 variam em função de p, de acordo com as seguines funções: p 1p 5p 10 D(p) e F(p) 4 p Admiindo-se p 1 e sabendo que , deermine o valor de p para o qual a ofera é igual à demanda desse produo. Em seguida, e ainda admiindo-se p 1, deermine o inervalo real de variação de p para o qual a demanda D(p) do produo é posiiva. 9. (Unesp 016) Os gráficos indicam a diversificação de aplicações para um invesimeno, por grau de risco, sugeridas por cada um dos bancos A, B e C. Um invesidor decidiu aplicar um capial de R$ 6.000,00 em pares que foram disribuídas pelos rês bancos, seguindo a diversificação do grau de risco sugerida por cada banco. O capial aplicado foi disribuído da seguine forma: - oal de R$ 1.000,00 no banco A (considerando os rês graus de risco junos); - R$.700,00 em invesimenos de baixo risco (nos rês bancos junos); - R$ 1.850,00 em invesimenos de médio risco (nos rês bancos junos); - R$ 1.450,00 em invesimenos de alo risco (nos rês bancos junos). O gráfico a seguir represena a diversificação da aplicação, por grau de risco, junando os rês bancos. Calcule os monanes de capial que foram invesidos nos bancos B e C, e as medidas dos ângulos α, β e γ, indicados no gráfico. Página 4 de 10

5 Gabario: Resposa da quesão 1: O perímero da superfície S é π π ( π 1)cm. A área da superfície S é igual a π 10 (1 6 ) 6πcm. 60 A alura, h, do cone de raio 4cm e gerariz 1cm é dada por h 1 4 h 8 cm. Logo, o volume, V, desse cone é 1 18π V π 4 8 cm. Por ouro lado, sendo cone menor, emos v 1 V v. V k a razão de semelhança enre os dois cones e v o volume do 1 Porano, o volume do ronco de cone, V V v 7 V π 8 11π cm. V, é Resposa da quesão : Seja p o percenual do poencial eólico uilizado anos após junho de 016. Tem-se que 10 p, com Logo, vem 10 0, Donde podemos concluir que o Brasil aingirá 64% da uilização do seu poencial eólico em c Ademais, lembrando que logab c logab, com a, b e a 1, emos Página 5 de 10

6 log log log log10 log 0, 0, 17. Porano, segue que o Brasil aingirá 100% da uilização do seu poencial eólico em Observação: O GW é uma unidade de poência, e não de energia. Resposa da quesão : Considere a figura. Os ângulos LPM e ( α β) são oposos pelo vérice e, porano, são congruenes. Se é o empo, em horas, decorrido aé o insane do enconro, enão NP 0 e LP Daí, vem LP NP. Finalmene, aplicando a Lei dos Cossenos no riângulo LNP, enconramos LN NP LP NP LP cos( α β) NP NP NP NP NP NP km. Resposa da quesão 4: Para calcular o oal de placas possíveis com o formao Lera-Lera-Algarismo-Algarismo- Algarismo-Lera-Lera pode-se escrever, com base nas possibilidades de cada iem: Para calcular o oal geral de possibilidades de placas com 4 leras (incluindo repeição) e algarismos (incluindo repeição) em qualquer ordem na placa, deve-se primeiro considerar a 4 posição das leras. Ou seja: C7 5. Assim, há 5 possíveis combinações de 4 leras e algarismos. Pelo princípio fundamenal da conagem, para cada lera há 6 possibilidades e cada algarismo 10 possibilidades. Logo, o Página 6 de 10

7 oal geral de possibilidades de placas com 4 leras (incluindo repeição) e algarismos 4 (incluindo repeição) é de Resposa da quesão 5: Considere a figura, em que N denoa Nore e L denoa Lese. A região para a qual o consumidor em direio ao free grauio corresponde a um disco de raio 5km cenrado na origem (depósio), iso é, X Y 5 X Y 65. Em consequência, para X 0 Y 65 Y 15km. 0km, em-se que Assim, o valor máximo de x para que esse consumidor enha direio ao free grauio na enrega do produo em sua residência é igual a 15km. Por ouro lado, sabendo que o consumidor mora no pono (0, x), e que a disância desse pono ao depósio é dada por C(x) 0 ( 400 x 5), com x 15km. 400 x, segue que a resposa é Resposa da quesão 6: Sendo V (, ) e p, em-se que a equação da parábola é (y ) (x ( )) (y ) 4(x ). Tomando arbirariamene x 1, enconramos (y ) 4( 1 ) y 4 y 0 ou y 4. Logo, segue que ( 1, 0) e ( 1, 4) são ponos da parábola. Desde que yp 0, emos (yp ) 4(0 ) yp 8 yp (1 ). Resposa da quesão 7: Para deerminar a população oal aual de inseos para a qual, no ano seguine, ela será igual a zero é preciso fazer f(x) igual a zero. Ou seja: Página 7 de 10

8 f(x) (x 16x 4) 40 f(x) 0 0 x 16x 4 ( 16) 4 1 ( 4) , ,8 x 17,4 milhões x x 1,4 (não convém!) Assim a população oal aual de inseos para a qual, no ano seguine, ela será igual a zero é de 17,4 milhões. Para analisar a diferença enre a população do ano seguine e do ano aual, pode-se escrever: g(x) f(x) x 1 9 g(x) (x 16x 4) x g(x) x x O gráfico de g(x) ambém será uma parábola. O valor de x para que essa função seja máxima será no seu vérice, ou seja: 1 b 4 x 5 v xv a 40 Resposa da quesão 8: Sendo p 1, vem p 1p 5p 10 D(p) F(p) 4 p 19p 10p 40 0 p 5. Ademais, emos p 1p D(p) p p 1 p 1 p(p 7) 0 p p 1 (p 0 ou p 7) e (p 1) p 7. Resposa da quesão 9: Sabendo-se que foi invesido R$ 1.000,00 no banco A seguindo a diversificação do grau de risco apresenada no gráfico, pode-se escrever: Banco A: - baixo risco: 80% ,8 R$ 800,00 - médio risco: 15% ,15 R$ 150,00 - alo risco: 5% ,05 R$ 50,00 Página 8 de 10

9 Sabe-se ainda que foram aplicados: - R$.700,00 em invesimenos de baixo risco, sendo 80% no banco A (correspondene a R$ 800,00), R$ 800,00), 0% no banco B e 50% no banco C; - R$ 1.850,00 em invesimenos de médio risco, sendo 15% no banco A (correspondene a R$ 150,00), 70% no banco B e 10% no banco C; - R$ 1.450,00 em invesimenos de alo risco, sendo 5% no banco A (correspondene a R$ 50,00), 10% no banco B e 40% no banco C; Sendo B e C o monane aplicado em cada um dos bancos, respecivamene, e com as demais informações do enunciado, pode-se escrever o seguine sisema: 50 0,1B 0,4C ,1B 0,4C ,8B 0,5C ,7B 0,1C ,7B 0,1C ,B 0,5C ,B 0,5C 700 0,B 0,5C ,6B 100 B 000 0, ,5C 100 0,5C 1500 C 000 Assim, os monanes aplicados em cada banco foram de R$ 1.000,00 no banco A, R$.000,00 no banco B e R$.000,00 no banco C. Para calcular os ângulos α, β e γ, indicados no gráfico pode-se uilizar a regra de rês: Baixo Risco Médio Risco Alo Risco β β β γ γ γ α α α Página 9 de 10

10 Resumo das quesões selecionadas nesa aividade Daa de elaboração: 04/06/017 às 17:6 Nome do arquivo: Maemáica fase-unesp Legenda: Q/Prova = número da quesão na prova Q/DB = número da quesão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Grau/Dif. Maéria Fone Tipo Média... Maemáica... Unesp/ Analíica Média... Maemáica... Unesp/ Analíica Média... Maemáica... Unesp/ Analíica Média... Maemáica... Unesp/ Analíica Média... Maemáica... Unesp/ Analíica Baixa... Maemáica... Unesp/ Analíica Média... Maemáica... Unesp/ Analíica Média... Maemáica... Unesp/ Analíica Média... Maemáica... Unesp/ Analíica Página 10 de 10