Aplicações à Teoria da Confiabilidade

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1 Aplicações à Teoria da ESQUEMA DO CAPÍTULO 11.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 11.2 A LEI DE FALHA NORMAL 11.3 A LEI DE FALHA EXPONENCIAL 11.4 A LEI DE FALHA EXPONENCIAL E A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 11.5 A LEI DE FALHA DE WEIBULL 11.6 CONFIABILIDADE DE SISTEMAS 1

2 11.1 Conceios Fundamenais Suponha-se que esejamos considerando um componene o qual é submeido a alguma espécie de esforço. Suponha-se que, para qualquer um desses componenes, um esado que denoaremos como falha possa ser definido. Se esse componene for poso sob esforço em um insane = 0, e observado aé que falhe, a duração aé falhar ou duração da vida, T, pode ser considerada como uma variável aleaória conínua com alguma fdp f. O emprego de um modelo probabilísico, com T considerada como uma variável aleaória, parece consiuir-se no único raameno realisa do assuno. 2

3 11.1 Conceios Fundamenais Definição: A confiabilidade de um componene (ou sisema) na época, R(), é definida como R() = P(T ), em que T é a duração da vida do componene. R é denominada função de confiabilidade. Comenário: A definição simplesmene afirma que a confiabilidade de um componene é igual à probabilidade de que o componene não venha a falhar durane o inervalo [0, ]. Em ermos de fdp de T, f, eremos R() = f(s)ds. Em ermos da fd de T, F, eremos R() = 1 - P(T ) = 1 F(). 3

4 11.1 Conceios Fundamenais Definição: A axa de falhas (insanânea) Z (algumas vezes denominada função de risco) associada à variável aleaória T é dada por f ( ) f ( ) Z( ). 1 F( ) R( ) definida para F() < 1. Comenário: A fim de inerprear Z(), considere-se a probabilidade condicionada P = P( T + Δ T > ). Temos enão P( T ) P f ( x) dx / P( T ) f ( ) / R( ), P( T ) com ξ + Δ. A úlima expressão é aproximadamene igual a ΔZ(), explicando não formalmene que ΔZ() represena a proporção de peças que falharão enre e + Δ, denre as que ainda funcionavam na época. 4

5 11.1 Conceios Fundamenais Teorema: Se T, a duração aé falhar, for uma variável aleaória conínua, com fdp f e se F(0) = 0, em que F é a fd de T, enão f poderá ser expressa em ermos da axa de falhas Z, da seguine maneira f 0 ( ) Z( ) e Z ( s) ds. Demonsração: Viso que R() = 1 - F(), eremos R () = -F () = -f(). Daí Z( ) f ( ) R( ) R'( ). R( ) 5

6 11.1 Conceios Fundamenais Demonsração (final): Inegrando ambos os lados de 0 a R'( s) Z( s) ds ln ( ) ln (0) ln ( ), 0 ds R R R 0 R( s) desde ln R(0) = 0, que vale se, e somene se, R(0) = 1 (saisfeia, pois F(0) = 0, iso é, a probabilidade de falha inicial é zero). Consequenemene, 0 Z ( s) R( ) e Porano ds. d 0 Z ( s) f ( ) F'( ) [1 R( )] Z( ) e d Assim, mosramos que a axa de falhas Z deermina univocamene f. ds. 6

7 11.1 Conceios Fundamenais Exise uma ineressane relação enre a função de confiabilidade e a duração média aé falhar, E(T). Teorema II: Se E(T) for finia, enão E( T) 0 R( ) d. Demonsração (deixada como exercício): Pode ser obida da inegração por pares de: 0 R( ) d 0 f ( s) dsd,fazendo f ( s) ds u e d dv. 7

8 11.1 Conceios Fundamenais Os conceios de confiabilidade e de axa de falhas esão enre as mais imporanes ferramenas necessárias para um esudo profundo dos modelos de falhas. Esudaremos principalmene as seguines quesões: a) Que leis de falhas subjacenes será razoável admiir? b) Suponha-se que emos dois componenes, C1 e C2, com leis de falhas conhecidas. Suponha-se que esse componenes esejam associados em série ou em paralelo para consiuir um sisema. Qual será a lei de falhas (ou confiabilidade) do sisema? 8

9 A Lei de Falhas Normal Exisem muios ipos de componenes cujo comporameno das falhas pode ser represenado pela disribuição normal. Iso é, se T for a duração da vida de uma peça, sua fdp será dada por Sua função de confiabilidade pode ser expressa em ermos da função de disribuição acumulada normal, abulada, Φ, da seguine maneira. 2 1 exp 2 1 ) ( 2 f exp ) ( 1 ) ( 2 dx x T P T P R

10 11.2 A Lei de Falhas Normal Exemplo: Suponha-se que a duração da vida de um componene seja disribuída normalmene, com desvio-padrão igual a 10 h. Se o componene iver uma confiabilidade de 0,99 para um período de operação de 100 h, qual será sua duração de vida esperada? Solução: A equação anerior se orna R() = 0,99 = 1 Φ[(100-μ)/10]. Das ábuas da disribuição normal, emos 0,99 = 1 Φ[-2,33]. Logo, (100-μ)/10 = -2,33, e, porano, μ = 123,3 h. Comenário: A lei de falhas normal represena um modelo apropriado para componenes nos quais há efeio de desgase. Ela não se inclui, conudo, enre as mais imporanes leis de falhas enconradas. 10

11 11.3 A Lei de Falhas Exponencial Teorema: Seja T, a duração aé falhar, uma variável aleaória conínua, que ome odos os valores não-negaivos. Enão, T erá uma disribuição exponencial se, e somene se, iver uma axa de falhas consane. Comenário: A hipóese de falhas consane pode ambém significar que, depois que a peça esiver em uso, sua probabilidade de falhar não se enha alerado. Dizendo de maneira menos rigorosa, não exise efeio de desgase quando o modelo exponencial é esipulado. Se T, a duração aé falhar, for disribuída exponencialmene (com parâmero α), eremos f() = αe -α, > 0, R() = f(x)dx = e -α, Z() = f()/r() = αe -α /e -α = α. 11

12 11.4 A Lei de Falhas Exponencial e a Disribuição de Poisson Exise uma conexão muio ínima enre a lei de falhas exponencial e um processo de Poisson. Suponha-se que a falha ocorra em virude do aparecimeno de ceras perurbações aleaórias. Seja X igual ao número de ais perurbações ocorridas durane um inervalo de empo, e admia-se que X, 0 consiua um processo de Poisson, com parâmero α. Suponha que a falha durane [0,] seja causada se, e somene se, ao menos uma dessas perurbações ocorrer. Enão F() = P(T ) = 1 P(T > ). Ora, T > se, e somene se, não ocorrer nenhuma perurbação durane [0,]. Isso aconecerá se, e somene se, X = 0. Por isso F() = 1 P(X = 0) = 1- e -α, que represena a fd de uma lei de falhas exponencial. 12

13 11.5 A Lei de Falhas de Weibull Vamos modificar a noção de axa de falhas consane. Suponha-se que a axa de falhas Z, associada a T, a duração da vida de uma peça, enha a seguine forma Z() = (αβ) β-1, em que α e β são consanes posiivas. Podemos enão ober a seguine expressão para a fdp de T, da equação que relaciona f() e Z() f ( ) Z( ) e Z ( s) ds 0 1 ( ) e, 0,, Diz-se que a respeciva variável aleaória em disribuição Weibull (ver figura)

14 11.5 A Lei de Falhas de Weibull Comenário: A disribuição exponencial é um caso paricular da disribuição de Weibull, já que se fizermos β = 1 enão oberemos uma axa de falhas consane, Z() = α.. Ouro exemplo, se β = 2, Z será uma função linear de, Z() = (2α). Desse modo, Z será uma função crescene, decrescene ou consane de, dependendo do valor de β, como indicado na figura. 14

15 11.6 de Sisemas Agora, nos dedicaremos à segunda quesão proposa na Sec. 11.1, qual seja avaliar a confiabilidade de um sisema, conhecida a confiabilidade de seus componenes. Suponha-se que dois componenes esejam monados em série Iso significa que, a fim de que o sisema funcione, ambos os componenes deverão funcionar. Teorema: Se n componenes, que funcionem independenemene, forem monados em série, e se o i-ésimo componene iver confiabilidade R i (), enão a confiabilidade do sisema compleo, R(), será dada por R() = R 1 ()...R n (). 15

16 11.6 de Sisemas Teorema II: Se dois componenes, que funcionem independenemene e enha leis de falhas exponenciais com parâmeros α 1 e α 2 forem monados em série, a lei de falhas do sisema resulane será ambém exponencial com parâmero igual a α 1 + α 2. Evidenemene, ese eorema pode ser generalizado par n componenes em série. Ouro sisema imporane é o sisema em paralelo, no qual os componenes são ligados de al maneira que o sisema deixa de funcionar somene se odos os componenes falharem. Suponha apenas dois componenes incluídos, assim, emos 16

17 11.6 de Sisemas Teorema: Se n componenes, que funcionem independenemene, esiverem operando em paralelo, e se o i-ésimo componene iver confiabilidade R i (), enão a confiabilidade do sisema, R(), será dada por R() = 1 - [1 - R 1 ()]... [1 - R n ()]. Observação: A operação em série é, frequenemene, obrigaória (iso é, alguns componenes devem funcionar a fim de que o sisema funcione); Por ouro lado, empregamos muias vezes uma operação em paralelo de modo a aumenar a confiabilidade do sisema (ver figura no próximo slide). 17

18 11.6 de Sisemas 18