Lista de Exercícios 1

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1 Universidade Federal de Ouro Preo Deparameno de Maemáica MTM14 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Anônio Silva, Edney Oliveira, Marcos Marcial, Wenderson Ferreira Lisa de Exercícios 1 1 Para cada um dos seguines pares de equações paraméricas, esboce a curva e deermine sua equação caresiana a x = 1 +, y =, R b x = cos, y = sen, R c x = 1 +, y =, R d x =, y = 3, R e x = 3 cos, y = sen, R f x = sen, y = cos, [0, π] Faça um esboço das curvas definidas pelas seguines funções veoriais: a σ =, 1,, R b σ =,,, R c σ = 3, cos, sen, [0, π] d σ = 1,,, [0, 3 Dê uma paramerização para cada uma das curvas: a a rea x 3y = 6 b a parábola x = 4ay, a R c a elipse x a y b = 1, x 0 d a circunferência x a + y b = r e o ramo da hipérbole x a + y = 1, x 1 b 4 Um pono P = x, y, z se move em orno do eixo-z manendo uma disância consane a > 0 desse eixo Simulaneamene, ele se move paralelamene ao eixo-z de modo que sua erceira componene é proporcional ao ângulo de roação com consane de proporcionalidade b 0 A curva descria por esse pono é chamada hélice circular Deermine uma paramerização para a hélice circular descria com parâmero sendo o angulo de roação 5 Seja C a curva definida por σ = cos, 1 + sen Deermine uma equação da rea normal e uma equação da rea angene à curva no pono 3, 6 Seja σ a função veorial definida por σ = 1 +, 1 1 +, 1 Mosre que o ângulo enre σ e σ é consane, iso é, independe de

2 7 Mosre que, se σ, I é uma paramerização de uma rea, enão σ é paralelo a σ 8 Dadas as equações paraméricas x = cosh, e y = senh a Faça um esboço do gráfico definido por essas equações b Ache uma equação caresiana do gráfico 9 Dadas as equações paraméricas ache dy d e d y sem eliminar d 10 Dada a cicloide descria pelas equações x = 3, e y = 4 3 x = a sen, e y = a1 cos a > 0 obenha dy dx, d y dx e d3 y no pono em que y ainge o seu valor máximo para x em [0, πa] dx3 11 Um objeo inicia seu movimeno no pono 0, 4, e se move ao longo da parábola y = x 4, com velocidade horizonal dx = 1 Enconre o veor posição do objeo, os veores velocidade d e aceleração no insane = 1 Dois carros se movem sobre pisas circulares concênricas de raios 1 km km, respecivamene O primeiro com velocidade angular consanes de 0 roações por hora O segundo, pare do repouso, e manêm aceleração angular consane de 40rd/h Suponha que no insane inicial os dois arros esão emparelhados a Enconre os veores posição para os dois movimenos b Quano empo leva o segundo carro para se emparelhar novamene com o primeiro? c Ache a velocidade do segundo carro nesse insane 13 Esboce o gráfico e calcule o comprimeno de arco das seguines curvas: a x =, y = b, z = c, 0 1 b x = cos, y = 3, z = sin, 0 π c x = + 1, y = +, z = 3, 1 3 d x = cos, y = sin, z = 13, α β 14 Deermine o comprimeno da hélice C paramerizada por σ = cos 3, sen 3, 4, 0 4π 15 Enconre o comprimeno do caminho percorrido por uma parícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durane o inervalo de empo especificado em cada um dos casos abaixo:

3 a σ = e cos, e sen, 0 b σ = acos + sen, asen cos, 0 π c σ =, 3, 6 3, 0 d σ =, lnsec, lnsec + g, 0 π 4 16 Uma parícula se move ao longo da involua de equações paraméricas x = cos + sen, y = sen cos, > 0 a Deermine as componenes angencial e normal da aceleração π π π b Deermine os veores T, N e A 17 Deermine o raio de curvaura da curva σ = e, e, 18 Mosre que a curvaura máxima da curva y = lnx é 3, a qual ocorre no pono 3, ln 19 As equações paraméricas da rajeória de um comea são dadas em função do empo por x = 00 cos, e y = 10 sen, 0 π, onde 00 e 10 são medidas expressas em unidades asronômicas UA Calcule a curvaura da órbia em um pono qualquer da mesma 0 Deermine a curvaura e a orção da hélice C paramerizada por σs = a cos s c, a sen s c, bs, s R c 1 Deermine o comprimeno de arco das seguines curvas nos inervalos dados: a x = e cos, y = e, z = e sin, 0 π b x =, y = sin, z = cos, 0 π c x = 3, y = 3, z = 6, 1 d x = cos 3, y = a sin 3, z = 1, 0 π e r = i + 3 j + 6 k, 1 < 4 Escreva a equação veorial da curva obida pela inerseção das superfícies: a y = e x e z = xy b x + y = 4 e x + y + z = 1 c z = x + y e z = 1 + y 3 Escreva uma equação caresiana que represene as seguines curvas: a rθ = sec θ, 3, g θ, π θ π b r = + 3, 0, 4 1, > 0 π c rθ = cos θ, 1 sin θ, g θ, θ π d rθ = + 3 cos θ, sin θ, 19, 0 θ π 4 Deermine o domínio das funções veoriais:

4 a r = 1 i + e j + e k b r = sin i + e j + sec k c r = ln 9 i + arcg j + sinh k d r = i + ln j k 5 Sendo dadas r = e, cos, sin e s =, sin, cos, deermine: a d d r + s b d d r s c d r s d 6 Deermine os limies: a lim 0 b lim 0 c lim 0 d lim 3 e lim 0 + f lim Derive: sin 1, cos, + e g a b, 1 + 5/, , em que a, b > 0 sin, 4 +, sec a, 3 a, log1,, 1 cos, sin 4, 5 3, em que a > 3 3 a r = e, sin cos, sin b r =, sec, a, em que a > 0 c r = g,, 8 Inegre as seguines funções veoriais: a r = sec i + cos 3 j k b r = i + j + k c r = i + 1 j + 1 k d r = e i + ln k 9 Deermine r, sabendo-se que r = i j k e r0 = j 30 Reparamerize pelo comprimeno de arco as seguines curvas, sendo [0, π] a α = a cos, a sin b α = a sin, a1 cos c α = 3, 4 1, 31 Seja C é uma curva cuja equação polar é dada por r = F θ, com x = r cos θ e y = r sin θ, α θ β Deermine o comprimeno de arco de C

5 3 Use o exercício anerior 31 para ober o comprimeno de arco do cardióide r = 1 + cos θ Lembre-se que cos θ = 1 + cos θ Faça o mesmo para as curvas: r = e θ com θ [α, β]; e r = 6 sin θ, no inervalo I = [ π π, π ] 33 É possível que duas parículas que se movem sobre as curvas r = i j + k e s = 5 6 i + j + 3 k, 0, colidirem? Jusifique 34 Sabe-se que a equação da rea angene a uma curva r em um pono 0 é dada por X = r 0 + r 0 Deermine a rea angene às curvas abaixo nos ponos indicados a r = 3 sin, 3 cos,, = π b r = e, ln 3 + 3, 1 3, = 1 c r = 3 + 1, 4, e 1 no pono P 4, 4, 1 35 Mosre que uma curva é rea se, e somene se, sua curvaura é nula 36 Mosre que oda circunferência em curvaura consane e orção nula 37 Calcule os valores de para os quais a curvaura da curva r =,, 1 seja máxima O 38 A curva r : 0, R 3 dada por r =, , é plana? Dica: Mosre que sua orção é nula 39 Considere a curva r = a cos, b sin, 0, a > b > 0, a, b R, [0, π[ a Esboce o gráfico e deermine sua curvaura; b Obenha os valores de para os quais a curvaura máxima e mínima Jusifique geomericamene 40 Deermine os veores velocidade e aceleração, a aceleração escalar e as componenes normal e angencial da aceleração, quando = π/, para uma parícula que se move ao longo da curva α = cos, sin, 41 Mosre que se α = x, y, 0 é uma curva plana paramerizada pelo comprimeno de arco, enão sua curvaura é dada por: ks = de x y x y Uilize esa fórmula para ober a curvaura do círculo de raio a após reparamerização 4 Deermine a condição necessária relaiva a f de modo que a curva r = a cos i+a sin j + f k, a > 0, seja uma curva plana 43 Deermine a curvaura, orção, componenes normal e angencial da aceleração para as seguines curvas:

6 a r = r = 3, 3 +, 0 b r = r = ln, 0, ln, > 0 c r = r = 3, 3, d r = r = e sin, e cos, e 44 Deermine o Triedo de Frene para a hélice circular r = a cos i + a sin j + k 45 Deermine o Triedo de Frene e a equação dos planos normal e osculador: a da cúbica r = i + j + 3 k, se = 1 b da curva r = i k, > 0, no pono 1, 0, /3 46 Um rio em 100 m de largura e corre para lese Um barco a remo deixa a margem esquerda no insane = 0 A pessoa que esá no barco rema a 0 m/min na direção da margem direia A velocidade do rio em x, y é v = 1 50 y , 0, 0 n/min, 0 y 100 a Mosre que o máximo da velociade do rio ocorre em seu cenro b Se r0 = 100 j deermine a posição do barco em Observe que a velocidade do barco é a soma das velociades do remador e da correneza Observe ambém que é possível uilizar a condição inicial para escrevermos y em função do parâmero empo e obermos v Assim, basa inegrar e usar a condição inicial c Ao descer o rio, a que disância o barco aingirá a margem direia? 47 Como a força graviacional do Sol sobre um planea é muio maior que a força exercida por ouros asros, podemos ignorar odos os ouros corpos, exceo o Sol, e um planea girando em orno dele Considere um sisema de coordenadas com o Sol em seu cenro e seja r = r a posição do planea Sejam v = r, a = v, m a massa do planea, M a massa do Sol, F a força da gravidade sobre o planea, G a consane de Graviação, r = r e u = r r Pela Segunda Lei de Newon, F = ma Pela lei da Graviação, F = GMm r 3 r a Igualando as duas expressões para F, verifique que os veores a e r são paralelos e conclua que a r = 0 b Mosre que d r v = 0 e conclua que r v é um veor consane Denoe al veor h e d suponha h 0, iso é, suponha que r não é paralelo a v c Conclua dos iens aneriores que o planea esá em um plano conendo a origem e perpendicular a h, iso é, conclua que a órbia do planea é uma curva plana

7 Abaixo algumas resposas: 1a x + y = 1 1b x + y = 1, 0 x 1 1c x + y = 1, x 1 1d y = x 3 1e x 9 + y 4 = 1 1f y = 1 x, 1 x 1 a a rea paralela ao eixo-z passando pelo pono, 1, 0 b segmeno de rea que liga os ponos 1, 1, 1 e 1, 1, 1 c semicircunferência no plano x = 3 de cenro 3, 0, 0 e raio 1 d semiparábola, no plano y =, com vérice no pono 1,, 0 3a σ = 3, + 3b σ =, 4a 3c σ = a + cos, b sen, π π 3d σ = a + r cos, b + r sen, 0 π 3e σ = a sec, b g, π π 4 σθ = a cosθ, a senθ, bθ 5 x + 3y = 3 8b x y = 1, x dy d =, d y d = 1 3 dy dx = 0, d y dx = 1 4a, d3 y dx = a 1 + b + c 13b π 13 13c d β α 11 σ =, 0, V = 3, 1, A =, 6 1a σ 1 = cos0 + θ 0, sen0 + θ0, σ = cos0 + θ 0, sen0 + θ0 1b 1 hora 1c 80 km/h 14 0π 15 0π

8 15a e 1 15b π a 15c 50 15d ln a A T = 1, A N = π π 16b T = 0, 1, N 17 ρ = 19 k = e + e π = 1, 0 e A = π, sen cos 3/ 1a 3e π 1 1 1b ln 1 + 5π + 5π + 5π 1 + 5π 5 1c 13 1d 3a 1e 1/ /3 3/ a r = i + e j + e k b r = cos i + sin j + 1 cos 4 sin k c r = i j k 3a 4x z = 4 no plano y = 3 3b z = 4x 4x + 35 no plano y = 0 3c y = 6xz 3d x + y 5 = 9 no plano z = 19 4a R + 4b { R/ π + kπ} 4c { R/ < 3 ou > 3} 4d { R/0 < 1} 6a 0,, 3 6b ln a ln b, e 5, 1/

9 6c 3/,, 1 6d 0, 1, 3/6 6e 0, 0, 0 6f 1, 4, 5 8a ln sec + g i + 1 8b 8c 8d 30a αs = 30b 30c 30 L = β α + sin6 +1 j 6 ln k + C a cos s a, a sin s, s [0, aπ] a dr + r dθ dθ 3 16 e β e α 6 34a X = 3, 0, π + 0, 3, 1 34b 34c X = 4 + 6, ln4, = 0, k0 = ab 39a Elipse no plano xy; k = a sin + b cos 3/ { π 39b Máx: {0, π} e Min:, 3π } 40 Velocidade: π π, 1, 1; aceleração:,, 0; aceleração escalar: π4 + 0π a N = π 16 + π ; a T = π 8 + π ; 41 ks = 1 a 4 f = k 1 sin + k cos + k 3, com k i consanes 6 43a k = ; τ = 0; a 6 N 3/ ; a 4 N 1/ / 43b k = a N = τ = 0; a T =

10 43c 43d 44 = 45a 1 a + 1 a sin, a cos, 1; n = cos, sin, 0; b = 1 sin, cos, a a b 1 = 1 1, 0, 1; n1 = 1 1, 0, 1; b1 = 0, 0, 1; π N : x + z = 5 3 ; π O : x = 0 46a 46b r = , 100 0, 0 46c 100/3 m