Movimento unidimensional. Prof. DSc. Anderson Cortines IFF campus Cabo Frio MECÂNICA GERAL

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1 Movimeno unidimensional Prof. DSc. Anderson Corines IFF campus Cabo Frio MECÂNICA GERAL 218.1

2 Objeivos Ter uma noção inicial sobre: Referencial Movimeno e repouso Pono maerial e corpo exenso Posição Diferença enre deslocameno e disância percorrida. Diferença enre velocidade média e velocidade escalar média Noção de velocidade insanânea Noção de aceleração insanânea Calcular posição, velocidade insanânea e aceleração insanânea em qualquer insane de empo dada uma equação de movimeno. Resolver problemas envolvendo M(R)U e M(R)UV.

3 Noções iniciais Por que movimeno unidimensional? 1 dimensão rea 2 dimensões plano 3 dimensões espaço 4 dimensões espaço-empo dimensões eoria das super cordas (maior viagem...) (Será?)

4 Noções iniciais Cinemáica x Dinâmica Movimeno x repouso Pono maerial x corpo exenso Referencial: Todo movimeno é relaivo em relação a um referencial (pono de visa) Referencial padrão no caso 1d : rea orienada com origem

5 Cinemáica Pare da Mecânica que esuda os movimenos sem considerar as causas. Dinâmica Esuda as leis (e causas) do movimeno.

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7 Posição 1D Em cinemáica, os conceios de empo e posição são primiivos. Um objeo é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orienado, relaivamene a um pono de referência (observador), geralmene omado como origem (x = ) Um conceio imporane é o da relaividade do movimeno: sua descrição depende do observador. escolha um pono! x (m)

8 O deslocameno O deslocameno unidimensional de um objeo num inervalo de empo ( 2-1 ) é a diferença enre a posição final (x 2 ) no insane 2 e a posição inicial (x 1 ) no 1. Exemplo: corrida de 1 meros. x = x 2 - x 1 = 2 1 : deslocameno : inervalo de empo

9 Velocidade média v m x 2 2 x 1 1 x Se x v (movimeno à direia, ou no senido de crescimeno de x) Movimeno Progressivo Se x v (movimeno à esquerda, ou no senido de diminuição de x) Movimeno Rerógrado Exemplo: Corrida de 1 meros. De a 5,1 s : v m = 4m / 5,1s = 8, m/s De 5,1 a 1,5 s: v m = 6m / 5,49s = 1,9 m/s Em odo o inervalo (de a 1,5 s) : v m = 1m / 1,5s = 9,5 m/s A velocidade média (velociy em inglês) nos dá informações sobre um inervalo de empo. Não nos dá a informação da velocidade em um dado insane.

10 Velocidade escalar média e velocidade escalar A velocidade escalar média (speed em inglês) é uma forma diferene de descrever a rapidez com que uma parícula se move. Ela envolve apenas a disância percorrida, independenemene da direção e senido: disância v em oal Em algumas siuações, vem v m. Enreano, as duas podem ser basane diferenes. Ex: parícula pare de O, em rimo consane, ainge P e reorna a O, depois de decorrido um empo oal e er percorrido uma disância oal L. O P Nese caso: L v m e v em A velocidade escalar é o módulo da velocidade, média ou insanânea; ela é desiuída de qualquer indicação de direção e senido. (O velocímero de um carro marca a velocidade escalar insanânea e não a velocidade, já que ele não pode deerminar a direção e o senido). x L 2 2

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12 Movimeno Uniforme Um caso paricular: velocidade consane v( ) ou: x x dx d v m x v ( ) x Graficamene: x() v()

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14 O cálculo de x() a parir de v() Ese é o problema inverso. Considere inicialmene o caso de velocidade consane. Enão: x x v ( ) Noe que v( ) é a área sob a curva da velocidade v = consane em função do empo. Ese é um resulado geral. Para demonsrá-lo, usaremos que para inervalos de empo muio curos podemos escrever: v( ) v v x v ( ), onde v() é a velocidade insanânea em.

15 x() Velocidade média enre v m x( ) g Velocidade média e x() Exemplo: v m,6 m / s A velocidade média nos dá informações sobre um inervalo de empo. Mas pode ser que queiramos saber a velocidade em um dado insane.

16 Velocidade média Velocidade média enre e x() v m x( ) g x() Exemplo: v m 1,2 m / s

17 Velocidade média Velocidade média enre e x() v m x( ) g Exemplo: v m 1,5 m / s

18 Velocidade insanânea Velocidade insanânea em x() v( ) x( ) dx( d ) lim g (a velocidade insanânea é a derivada da posição em relação ao empo) Exemplo: v ( ) 1,5 m / s rea angene à curva

19 Velocidade insanânea Conceio v x lim dx d Derivada Geomericamene Tangene Exemplo: Velocidade média de queda livre x( ) 5 2

20 Velocidade insanânea v lim x dx d x( ) 5 2

21 Velocidade insanânea

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23 Algumas derivadas imporanes a f f () ( ) b g( ) a consane n sin cos e df ( ) / a df ( ) / d b dg( ) / n n1 cos sin e ln 1 d d

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26 Aqui é fácil: a velocidade é consane, ) ( x v x Aqui é fácil ambém: a velocidade não é consane, mas podemos somar os reângulos : i i i i v x x v x ) ( v x

27 O cálculo de x() a parir de v() Dividimos o inervalo (- ) em um número grande N de pequenos inervalos v() v( i ) x v( ) i i x( ) x( ) x i v( ) i i i v() i No limie N e : x x v d

28 O problema inverso: Suponhamos que conhecemos a velocidade em função do empo. Queremos saber a posição em função do empo, x(). Sabemos que: dx v( ) d Enão, aproximadamene: v x x v O deslocameno é a velocidade vezes um inervalo de empo. x x v v x 11 v22 6 v i i x v ( ) d 2

29 Ilusração dos Principia de Newon mosrando a ideia de inegral

30 O cálculo de x() a parir de v() dx( ) v( ) e x( ) x d v( ) d A velocidade é obida derivando-se a posição em relação ao empo; geomericamene, a velocidade é o coeficiene angular da rea angene à curva da posição versus empo no insane considerado. O deslocameno é obido pela ani-derivação (ou inegração) da velocidade; geomericamene, o deslocameno é a área sob a curva da função velocidade versus empo.

31 Algumas inegrais imporanes a f f () ( ) b g( ) aconsane a F ( ) F( ) bg( ) a n, n 1 1 n / n 1 sin cos / sin / cos e 1 e / ln

32 Aceleração média Aceleração média: a m v 2 2 v 1 1 v Um corredor acelera uniformemene aé 1 m/s em = 4, s. Maném a velocidade nos próximos 4s e reduz a velocidade para 8, m/s nos 4,7s seguines. Acelerações médias: de s aé 4s: a m = 1m/s / 4s = 2,5 m/s 2 de 4s aé 8s: a m = m/s / 4s = m/s 2 de 8s aé 12,7s: a m = -2m/s / 4,7s = -,42 m/s 2

33 Aceleração média Aceleração média enre e v() a m v( ) g v()

34 Aceleração insanânea Aceleração insanânea em v() a( ) lim v( ) dv( ) d g (a aceleração insanânea é a derivada da velocidade em relação ao empo) rea angene à curva da velocidade

35 Aceleração insanânea a a Conceio lim v Noe que dv d d d dv d dx d Derivada 2 d x 2 d Derivada segunda

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38 Aceleração consane (MUV) Movimeno Uniformemene Variado Se a aceleração é consane v v a a a m v v Se = e v( ) = v, emos que a velocidade fica: Noe que nese movimeno a velocidade média é dada por Como v m x x x v v 2 x v, emos: m x x v a 2 2

39 Resumo: aceleração consane As equações de movimeno para o caso de aceleração consane são:

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41 O cálculo de v() a parir de a() Ese é novamene o problema inverso. Considere inicialmene o caso de aceleração consane. Enão, v v a ( ) a() Noe que a(- ) é a área sob a curva da aceleração a() = consane em função do empo. Ese ambém é um resulado geral. Para demonsrá-lo, usaremos que para inervalos de empo muio curos podemos escrever v a( ) onde a() é a aceleração insanânea no insane. a

42 O cálculo de v() a parir de a() Dividimos o inervalo (- ) em um número grande N de pequenos inervalos. v a( ) i v( ) v( ) v i v a( ) i v i i No limie N e : a d a() i a() a( i ) i

43 O cálculo de v() a parir de a() dv( ) a( ) e v( ) v d a( ) d A aceleração é obida derivando-se a velocidade; geomericamene, é o coeficiene angular da rea angene à curva da velocidade versus empo no insane considerado. A velocidade é obida pela ani-derivação (ou inegração) da aceleração; geomericamene, a variação de velocidade é a área sob a curva da função aceleração versus empo.

44 Aceleração da gravidade Galileo, considerado por muios como o primeiro físico moderno, esudou a queda dos corpos. Ele refuou as hipóeses de Arisóeles. Usando experimenos, mosrou que os corpos caem com a mesma velocidade, independenemene de sua massa. x ~ 2, v ~ ; conseqüências de uma aceleração consane!

45 Aceleração da gravidade Mas... devemos noar que há, em geral, ouras forças auando no corpo considerado, o que pode frusrar uma experiência se não formos suficienemene cuidadosos. a resisência do ar!!

46 Corpos em queda livre ou em lançameno verical Para cima: diminuindo v Para baixo Bola jogada para cima Bola para v aumena

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50 Exemplo (considerando para baixo como negaivo) Um corpo cai livremene a parir do repouso; calcule a sua posição, velocidade e aceleração em = 1,, 2, e 3, s. y 1 2 g 2 e Em = 1, s: v g y = - 4,9 m e v = -9,8m/s Coninuando emos...

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53 EXERCÍCIOS HALLIDAY 8ª EDIÇÃO Problemas 1,2,3,4,5,15,19,2, 24,25,27,29,32,33,44,45,46,47, 48,67,77,78,83,89 Toal: 24 exercícios

54 Exercícios

55 Exercícios

56 Exercícios

57 Exercícios

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