Tabela: Variáveis reais e nominais

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1 Capíulo 1 Soluções: Inrodução à Macroeconomia Exercício 12 (Variáveis reais e nominais) Na abela seguine enconram se os dados iniciais do exercício (colunas 1, 2, 3) bem como as soluções relaivas a odas as alíneas do mesmo. No senido de faciliar de forma signi caiva a compreensão do problema, apresenamos nas alíneas (a) a (c) uma explicação dealhada dos méodos para resolver as quesões dese exercício. Tabela: Variáveis reais e nominais Ano PIBpm Índice de Preços Crescimeno anual PIB real Crescimeno anual Preços correnes Nominal Preços de 1985 Real , ,28, , ,49, , ,72, , ,54, , ,94, , ,71, , ,8, , ,41, , ,15, , ,5, ,231 a) Os valores obidos para a axa de crescimeno do PIB nominal enconramse na quara coluna da abela acima e foram calculados da seguine forma: g Y(,) = Y Y Y 1

2 Para o ano de 1995 eremos o seguine valor para a axa de crescimeno anual g Y(95,94) = = b) Para calcular a axa de crescimeno do PIB real (ou seja a preços consanes de 1985), é conveniene calcular primeiro a evolução do PIB em ermos reais. Para al dividindo a coluna com a série em ermos nominais pela coluna com a série de índice de preços. 94 = Y 94 nom I94/1 P Y real Y real =) Yreal 94 = 95 = Y 95 nom =) Yreal /1 I P = ,15/1 = ,5/1 =6119 A axa de crescimeno do PIB real, apresenada na úlima coluna, é obida uilizando os valores em ermos reais: g Y(,) = Y Y Y g Y(95,94) = = Normalmene, a axa de crescimeno do PIB real é menor que a axa de crescimeno nominal, porque esa úlima em em consideração não só a variação das quanidades com ambém a variação dos preços (que, em geral, é posiiva) c) Para calcular a axa de crescimeno do PIB real usando o índice de preços indicado, devemos primeiro calcular o valor do PIB real. Considerando o ano de 1999: 93 = Y 93 nom =) Yreal /1 Y real Y real I P = 92 = Y n om 92 =) Yreal /1 I P = ,41/1 = ,8/1 =5934 Agora, a axa de crescimeno do PIB real pode ser calculada de forma imediaa, sendo dada por: g Y(93,92) = Yreal 93 Y92 real Y92 real 2

3 g Y(93,92) = 5934 =.69 Exercício 13 (Taxas de crescimeno) a) Esa alínea em duas quesões: deerminar a axa anual de crescimeno enre dois anos ou períodos, e deerminar uma axa média anual enre vários anos ouperíodos. Comecemos pela primeira. Taxade crescimeno anual. Para deerminarmos a axa de crescimeno anual do PIB, g Y, uilizamos a seguine expressão: g Y(1,) = Y 1 (1.1) No enunciado é nos dio que Y = (1+r) pelo que no perído =1 eremos Y 1 = (1+r). Subiuindo Y 1 por (1+r) na equação(1.2) obemos g Y(1,) = (1+ r) = (1+ r) = (1+ r) = r Mosrámos que a axa de crescimeno anual da variável Y ou seja de um ano relaivamene ao anerior, g Y(1,) é igual ao paramero r. Taxade crescimeno médiaanual enre vários anos. Vamos agora calcular a expressão da axa de crescimeno enre =e = 1, ou seja, a axa média de crescimeno enre eses 1 anos. Dada a expressão para a série Y, Y = (1+r), o valor de Y no período 1 pode ser escrio como Y 1 = (1+ r) 1 Se dividirmos Y 1 por obemos que: Y 1 = (1+ r) 1 () Y 1 =(1+ r) 1 3

4 donde se pode reirar aravés de uma simples manipulação algébrica o seguine resulado 1+ r = r = µ 1/1 Y1 µ Y1 1/1 Como se vê o valor de r ambém é igual ao da axa de crescimeno média ³ 1/1 anual que é dada por Y1. 1 Uma forma alernaiva de calcularaxas de crescimeno: usando diferenças de logarimos Aplicando logarimos à expressão Y 1 = (1+r) 1,obem-se lny 1 ln =1 ln(1+ r) Como sabemos que a diferença de logarimos do valor de uma variável medida em dois momenos de empo dá nos a axa de crescimeno média relaivamene a esse mesmo período de empo, enão eremos 2 Finalmene, eremos g Y(=1,=) = lny 1 ln 1 g Y(=1,=) = lny 1 ln 1ln(1+ r) = =ln(1+ r) ' r 1 1 Conforme podemos veri car, a uilização da diferença de logarimos conduziu nos ao mesmo resulado: r é de faco a axa de crescimeno média anual. b) A abela do enunciado conendo o PIB nominal é apresenada de seguida. As axas de crescimeno anual dese PIB, expressas em percenagem, esão exposas na coluna TCA. No senido de solucionar qualquer dúvida que possa subsisir relaivamene ao processo de cálculo desas axas, apresenamos os mesmos relaivamene a alguns dos anos. 1 Para uma explicação mais dealhada ver apendice. 2 Por exemplo, das regras básicas do cálculo sabemos que a derivada do logarimo de uma função f(x) relaivamene ao empo () dá nos a axa de crescimeno de x por unidade de empo (designamos esa axa de crescimeno por g x ). Em ermos maemáicos d ln(f(x)) iso pode ser expresso do seguine modo: d = f (x) f(x) = g x. Por ouro lado, quando consideramos o empo a uir em ermos discreos, a expressão que usámos para o caso conínuo d ln(f(x)) d orna se de faco na diferença de logarimos enre dois momenos no empo ( + n, ). Ou seja, ln(f(x)) ln f(x+n) ln f(x) = = g n x(+n, ), com n =,1,2,3... 4

5 ano PIB(nom) TCA % ano PIB(nom) TCA % Para calcular a axa de crescimeno anual usamos a seguine expressão g Y(,) = Y Y Y. Aplicando esa expressão ao ano de 1999 relaivamene ao ano de 1998 eremos g Y(99,98) = Y 99 Y 98 Y 98 Subsiuindo pelos valores do PIB(nominal) efecivamene veri cados que se enconram na abela acima g (99,98) = = Procedendo do mesmo modo para o ano de 1998 e 1997 obém se g (98,97) = = g (97,96) = = c) Para deerminarmos a axa de crescimeno média anual do PIB uilizamos a seguine expressão (já uilizada na alínea (a)) µ 1/9 PIB99 g (99,9) (media anual)= PIB 9 µ /9 g (99,9) (media anual)= = Como se vê a axa de crescimeno nominal em 1999, 1998 e 1997 foi superior à axa de crescimeno média anual do PIB enre 199 e Mas por exemplo, em 1995 como se pode facilmene veri car já foi inferior. 5

6 Apendice (o esudo dese appendix não é indispensável) Designando a axa de crescimeno enre o período e o período 1 por g Y(=1,=). Sabemos que a axa de crescimeno média anual, gy m edia, é dada por: 1+ g m edia 1=1+ Y gy(=1,=) g m edia Y = ³ 1+ g Y(=1,=) 1/1 g m edia Y = µ Y1 1/1 Sabendo que Y 1 = (1+r) 1, e subsiuindo o valor de Y 1 obemos que g m edia Y = µ Y (1+ r) 1 1/1 g m edia Y = (1+ r) 1 1/1 g m edia Y = (1+ r) g m edia Y = r Como seria de esperar a axa de crescimeno média anual ambém é igual a r. 6

7 Exercício 14 (Taxas de crescimeno) Na abela seguine enconram se os dados iniciais do exercício (colunas 1, 2 e 3) bem como (colunas 4, 5 e 6) as soluções do mesmo. No senido de faciliar de forma signi caiva a compreensão do problema, apresenamos nas alíneas (a) a (c) uma explicação dealhada dos méodos para resolver as quesões dese exercício. PIB Per Capia em alguns Países (USD inernacionaisde199 e axas de crescimeno médio anual em%) Países Argenina ,74% 1,29% 1,5% Brasil ,97% 2,5% 2,27% China ,62% 4,17% 2,6% Coreia do Sul ,4% 5,92% 3,12% Espanha ,17% 3,78% 2,19% Esados Unidos ,61% 2,21% 1,95% Finlândia ,91% 3,9% 2,58% França ,12% 2,77% 2,5% Grécia ,5% 3,76% 2,33% Índia ,23% 2,18% 1,13% Japão ,89% 5,4% 3,21% México ,85% 2,18% 1,6% Nova Zelândia ,35% 1,17% 1,25% Porugal ,38% 3,89% 2,79% Reino Unido ,92% 2,1% 1,58% Como foi recordado no exercício anerior, dados, por exemplo, Y 1913 e Y 195 a expressão da axa de crescimeno média enre =1913 e =195, ou seja, a axa média de crescimeno neses37 anos pode ser obida a parir da expressão que, para a série Y, Y 195 = Y 1913 (1+ r) Dividindo Y 195 por Y 1913 obemos que: Y 195 = Y 1913(1+ r) () Y 195 =(1+ r) 37 Y 1913 Y 1913 Y 1913 donde se pode reirar, aravés de uma simples manipulação algébrica, o 7

8 seguine resulado 1+ r = µ 1/37 Y195 Y 1913 r = µ Y195 Y /37 Assim, para a Argenina, emos que a axa de crescimeno ³ média anual, /37 em percenagem, enre 1913 e 195, do PIBPer Capia foi r= =,74. Por ouro lado, a axa de crescimeno ³ média anual enre 195 e 1998 do 241 1/48 PIB Per Capia do Japão foi r= =5,4%. Como úlima exempli cação, emos que a axa de crescimeno ³ média anual do PIB per capia poruguês enre 1913 e 1998 foi r= / =2,79%. Exercício 15 (Convergência) a) Para deerminar o número de anos que a economia poruguesa levará a convergir para a média europeia, necessiamos de aplicar a expressão do crescimeno exponencial a uma axa consane a ambas as economias. Esas expressões maemáicas para Porugal (P) e para a União Europeia (E) podem ser escrias do seguine modo = e(rp ) (1.2) Y E = Y E e(re ) (1.3) onde Y represena o nível do rendimeno, os anos, o ano base (ou de parida), e r a axa de crescimeno média anual do rendimeno de cada uma das economias. a Y E. Por- O nosso objecivo é saber qual é o valor de que iguala Y P ano, igualando as equações (1.2) e (1.3) obém se: = Y E (1.4) e(rp ) = Y E e(re ) (1.5) 8

9 Noe que a úlima expressão, aravés de uma simples manipulação algébrica, pode ser escria como Y E = e (rp r E ) (1.6) Aplicando logarimos a ambos os lados da equação (1.7) eremos 3 µ µ Y E ln Y P =lne (rp r E ) Y E, ln Y P =(r P r E ) e porano, resolvendo esa úlima expressão em ordem a oberemos = ln(y E / ) (r P r E ) Agora, para deerminar o número de anos que Porugal levará a convergir basa subsiuir os valores de r P e r E nesa úlima expressão, e levar ambém em consideração que Y E/Y P =1/75. Assim, como emos rês cenários, os resulados virão: ln 1 75 i) Cenário 1 implica que: = (.25.2) =57.5 ln 1 75 ii) Cenário 2 implica que: = (.3.2) =28.8 ln 1 75 iii) Cenário 3 implica que: = (.5.2) =9.6 b) Caso analisemos o mesmo problema, mas supondo que o empo corre de forma discrea(=1,2,3,4...), iremos ver que os resulados serão aproximados, embora não oalmene iguais. As respecivas equações que nos dão o crescimeno de uma variável a uma axa anual média consane em empo discreo são as seguines: = (1+ rp ) (1.7) Y E = Y E (1+ re ) (1.8) 3 Lembre se que ln e x = x. 9

10 Preendemos enconrar o período em que os níveis de rendimeno serão iguais em Porugal e na Europa Y P = Y E. Para al igualamos as equações (1.7) e (1.8) donde se obem: = Y E (1+ rp ) = Y E (1+ re ) Y E = µ 1+ r P (1.9) 1+ r E Aplicando logarimos à equação (1.9) camos com ln µ Y e Y p µ Y E ln Y P e porano o resulado nal será = µ 1+ r P = ln 1+ r E (1.1) µ 1+ r P = ln 1+ r E (1.11) ln ln ³ Y E Y P ³ 1+r P 1+r E Subsiuindo nesa úlima expressão as respecivas axas de crescimeno (r P, r E ), bem como o gap inicial em ermos de rendimeno, Y E/Y P =1/75, são calculados os seguine valores para cada um dos cenários: i) Cenário 1 implica que: = ln 1 75 ln = ii) Cenário 2 implica que: = ln 1 75 ln 1+.3 = iii) Cenário 3 implica que = ln 1 75 ln = Na Figura 1.1 mosramos o processo de convergência que abrange os cenários (i) e (ii). A linha vermelha re ece a rajecória do PIB da União 1

11 Europeia, as linhas azuis represenam as rajecórias do PIB da economia poruguesa. No primeiro caso veri camos que são necessários cerca de 59 anos para que Porugal iguale o nível do PIB da União Europeia, enquano que no segundo caso esa convergência leva apenas cerca de 29.5 anos. Deve ambém noar que, se ambas as economias coninuassem a crescer às mesmas axas após o processo de convergência er sido alcançado, passaria a haver uma divergência dos PIB a parir desse ano, só que nese caso o PIB poruguês passaria a ser mais elevado que o da UE. c) A comparação dos resulados obidos para o empo conínuo e o empo discreo é imediaa. Com as mesmas axas de crescimeno e com o mesmo gap inicial, no caso do empo discreo Porugal levará sensivelmene mais um curo período de empo (enre.3 e 1.2 anos, consoane as axas de convergência) para complear o rajeco de convergência. Exercício 16 (Convergência) A resolução dese exercício implica, numa primeira eapa deerminar as axas de crescimeno médio anual para os vários inervalos emporais a considerar. A abela seguine indica as várias axas deerminadas de acordo, por exemplo para o período de 195 a 1973, com a seguine expressão: µ r= ³ Y1973 Y 195 1/23 1 (ver exercício n o 13) Taxas de crescimeno médio anual Porugal,58,25,4 Reino Unido,25,19,22 Após esa primeira eapa, esamos em condições de deerminar o numero de anos necessário, admiindo que as axas de crescimeno fuuro se manêm iguais às veri cadas no passado, para que o nível do PIB per capia de Porugal igualar o PIB per capia do Reino Unido aravés da seguine expressão genérica: = ln ln à Y Re inounido 2 Y 2 Porgal ³ 1+r Porgal! 1+r Re inounido (ver exercício n o 15) 11

12 Figura 1.1: O processo de convergência real da economia poruguesa com diferenes axas de converg ência. Linha vermelha represena o rajeco do PIB da União Europeia com uma axa de crescimeno de 2% ao ano. Linhas azuis represenam o crescimeno do PIB de Porugal com axas de convergência anual de.5% e 1%, respecivanmene, a linha mais baixa e a linha superior. Como se pode ver, no primeiro caso a convergência leva cerca de 59 anos a ser compleada, enquano que no segundo leva apenas cerca de 29.5 anos. 12

13 Assim: a) = ln( ) ln( 1+,58 1+,25) 15955) ln( 1+,25 1+,19) 15955) ln( 1+,22) 1+,4 b) = ln(22188 c) = ln(22188 anos. =1,57 anos. =5,31 anos. =18,43 anos. 13