Podemos, então, pensar em definir outra função g: C D, que a cada y em D associe o único elemento x em C que é o associado a y por f, ou seja:

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1 0 No primeiro capíulo vimos que uma função é caracerizada pelo seu domínio, conradomínio e uma lei de formação que associa a cada elemeno do domínio um único elemeno do conradomínio. Ceras funções possuem ainda a propriedade de que cada elemeno do conradomínio se enconrar associado a um único elemeno do domínio, iso é, ele é imagem de um único elemeno do domínio. Essas funções êm um papel muio imporane na maemáica e são denominadas funções inversíveis. Definição 0. Diz-se que uma função f: D C é inversível se a cada elemeno y do conradomínio C esiver associado um único elemeno do domínio D, al que y = f(). Podemos, enão, pensar em definir oura função g: C D, que a cada y em D associe o único elemeno em C que é o associado a y por f, ou seja: = g(y) y = f(). A função g é chamada de função inversa de f. Podemos dizer que g desfaz a ação de f sobre. Será f a inversa de g? É claro que sim, e podemos pensar ambém que f desfaz a ação de g. Do eposo, podemos concluir que se f é uma função inversível, com domínio D e conradomínio C, e se g é a sua inversa, enão g(f()) =, D e f(g(y)) = y, y C. Uma função inversível possui ambém as propriedades: ) a imagem de f, denoada por Imf, coincide com o seu conradomínio, ou seja, Imf = C. Uma função que possui esa propriedade é denominada função sobrejeora; 2) um elemeno do conradomínio corresponde-se, no máimo, com um único elemeno do domínio, ou seja, se e 2 são elemenos diferenes do domínio enão f( ) é ambém diferene de f( 2 ). Ese fao é epresso, equivalenemene, por uma das senenças maemáicas: 2 f( ) f( 2 ) ou f( ) = f( 2 ) = 2. Uma função que possui a propriedade 2) é denominada função injeora.

2 Cálculo Diferencial e Inegral Você pode concluir, enão, que uma função y = f() é inversível se e somene se ela é injeora e sobrejeora. Uma função injeora e sobrejeora é denominada função bijeora. Eemplo 0. pois: A função dada por y = + 3, com domínio R e conradomínio R é inversível, a) a cada y R, esá associado o único elemeno = y 3 R, al que f() = f(y 3) = y. b) para, 2 R, 2 eremos e, porano, f( ) f( 2 ). A função dada é uma função bijeora, como foi mosrado por a) e b), em seu gráfico eibido ao lado. Eemplo 0.2 Seja f: R R, definida por f() = 2. A função, cujo gráfico enconra-se ao lado, não é inversível, pois, nem odo elemeno y R é imagem de algum elemeno do domínio. Por eemplo, y = não é imagem de nenhum elemeno, pois não eise real al que 2 =. Desa forma, a função não sobrejeora. Também, y = f() não é injeora, pois = f() = f( ), iso é, é imagem de dois elemenos do domínio.

3 Cálculo Diferencial e Inegral Eemplo 0.3 A função f: [0, [ R, dada por f() = 2 não é inversível, apesar de ser injeora. No Eemplo 0.3 a função dada não e inversível porque a Imf é diferene do conradomínio. Para eviar iso basa reirarmos do conradomínio os elemenos que não fazem pare da imagem e eremos, como consequência, a sobrejeividade. Desa forma a função g: [0, [ [0, [, dada por g() = 2 é inversível. Sempre que a função f: D C for injeora, a função g: D Imf, dada por g() = f() é inversível. Nosso esudo se resringirá a funções dese ipo. Definição 0.2 Dizemos que f: D C é uma função inversível na Imf, se a função g: D Imf al que f() = g(), D, for inversível. Para que f seja inversível na imagem, basa que ela seja injeora, pois a sobrejeividade esá garanida pela resrição do conradomínio. Eemplo 0.4 A função f() = 2 + 2, 2 é inversível na Imf. De fao, o gráfico de f é um ramo da parábola f() = com vérice em ( 2, 9 4). Pelo gráfico, ao lado, noamos facilmene que a função é injeora. Basa verificarmos que uma rea horizonal por qualquer pono do gráfico só o cora nese pono.

4 Cálculo Diferencial e Inegral Verifiquemos agora, algebricamene, o fao descrio aneriormene. Mosraremos que se f( ) = f( 2 ), devermos er = 2, Sejam, enão, e 2 ais que 2, 2 2 e f( ) = f( 2 ). Assim = = ou = 0 ( 2 )( + 2 ) + ( 2 ) = 0 e, finalmene, ( 2 )( ) = 0. Para iso aconecer devemos er: 2 = 0 ou = 0. Se = 0, segue-se que + = 2 e como: Nese caso, forçosamene, eremos = 2 e, em consequência, 2 = 2. Noura siuação, eríamos , o que obrigaria 2 = 0, resulando, imediaamene, = Inversa de função derivável Verificar se uma função é injeora, às vezes, é rabalhoso, como pudemos ver no eemplo anerior. Ese rabalho será reduzido se nos resringirmos ao esudo das funções deriváveis. Nosso conhecimeno de Cálculo erá aqui um papel muio imporane. Oberemos aravés dele um meio simples de caracerizar a eisência da inversa de uma função derivável. Esse méodo práico será dado nos Teoremas 0. e 0.2 Teorema 0. Se f é conínua em [a, b] e derivável com f () > 0 em ]a, b[, enão f é inversível em [f(a), f(b)].

5 Cálculo Diferencial e Inegral Demonsração: Se f () > 0, para ]a, b[, enão f é esriamene crescene em [a. b] e, porano, f é injeora em [a. b] (por quê?). Resa mosrar que Imf = [f(a), f(b)]. Do fao de f ser esriamene crescene, f(a) e f(b) são, respecivamene, o mínimo e o máimo absoluo de f em [a, b]. Além disso, como f é conínua em [a, b] ela assume odos os valores enre f(a) e f(b) (Teorema do Valor Inermediário). De maneira semelhane podemos demonsrar o eorema seguine, cuja demonsração será deiada para o leior. Teorema 0.3 Se f é conínua em [a, b] e derivável com f () < 0 em ]a, b[, enão f é inversível em [f(b), f(a)]. Eemplo 0.5 Vamos verificar se a função f() = 2 + definida no inervalo [0,4] é inversível na imagem. Viso que f () = 2 ( 2 + ) 2 emos f () < 0, para 0 < < 4 e, porano, a função dada é inversível na sua imagem e o domínio da inversa é o inervalo [f(4), f(0)] = [ 7, ]. Como esamos ineressados em funções que sejam inversíveis na imagem, de agora em diane, quando falarmos que uma função f é inversível, queremos dizer que f é inversível na imagem. Em alguns casos, (veja eemplo a seguir), faremos uma eensão dos resulados do Teorema 0. ou Teorema 0.2 para funções definidas em inervalos não fechados.

6 Cálculo Diferencial e Inegral Eemplo 0.6 A função f() = para 0 < <, é inversível, pois a sua derivada é O domínio de sua inversa é ] lim 0 + f () = + 2 > > 0. f(), lim f() [ = ], 0[ pois, a função dada é esriamene crescene no inervalo ]0,[. Eercício 0. Verifique se a função é inversível e nos casos afirmaivos dê o domínio de sua inversa. ) y = 4 2 2, 0 2) y = 3 3, 3) y = 2 + 4, < 0 4) y = 3 2 +, 5) y = 2, < 0 6) y =, < + 2 Já conseguimos enconrar o domínio da função inversa sem conhecer a sua epressão. Agora veremos dois eoremas que nos darão condições de conhecê-la melhor e esboçar o seu gráfico sem epliciá-la. Iso pode ser feio para funções deriváveis, com derivadas não nulas. Teorema0.3 Seja y = f() uma função derivável em ]a, b[ com derivada posiiva nese inervalo, enão a sua inversa = g(y) é derivável e Demonsração: g (y) = f () Para mosrar que = g(y) é derivável em y, devemos provar que eise o limie:

7 Cálculo Diferencial e Inegral g(y + y) g(y) lim y 0 y Para ano, consideremos: = g(y) e + = g(y + y). Daí segue-se que = g(y + y) g(y) e que y = f( + ) f(). Além disso, devido ao fao de serem injeoras, eremos 0 y 0. Além disso, como f é, ambém, conínua, pode-se mosrar que fazer y 0 equivale fazer 0, ou inversamene, fazendo 0 eremos, em consequência, y 0. e, finalmene, Essas observações permiem-nos escrever que g(y + y) g(y) y g(y + y) g(y) lim = lim y 0 y 0 = f( + ) f() = f( + ) f() f( + ) f() = lim 0 f( + ) f() = f () Iso demonsra a derivabilidade da função = g(y) e nos fornece uma epressão para a sua derivada: g () = f () Deiamos para o leior a demonsração do eorema seguine: Teorema 0.4 Seja y = f() uma função derivável em ]a, b[ com derivada negaiva nese inervalo, enão a sua inversa = g(y) é derivável e g (y) = f () Eemplo 0.7 Vamos resringir a função f() = a um inervalo para o qual ela seja inversível e de modo que y = 8 perença ao domínio da inversa = g(y) e, depois, calcular g (8). De f () = = 4( 2 ), concluímos que: a) f () > 0 para valores de em ],0[ ou em ], [ e, porano, f resria a um desses domínios é inversível;

8 Cálculo Diferencial e Inegral b) f () < 0 para valores de em ], [ ou em ]0,[ e, porano, f resria a um desses domínios é inversível. Queremos que y = 8 seja perencene ao domínio de g. Para isso omamos f() = 8, o que resula a equação: = 8 ou = 0 cuja solução é = 2 ou = 2. Assim, eremos f( 2) = 8 ou f(2) = 8. Escolhendo o domínio da inversa como sendo o inervalo ], ] eremos, pelo Teorema 0.4 que g (8) = f ( 2) = 24 Eercício 0.2 ) Resrinja f de modo que seja inversível e que o pono indicado perença ao domínio da inversa. Depois calcule o domínio da inversa g e a sua derivada no pono indicado. a) f() = 3 2 +, y = 3 b) f() = , y = 5 c) f() = 2 + 4, y = d) f() = , y = 2 e) f() = , y = g) f() = sen, y = 4 2 2) Admiindo que g, inversa de f derivável, ambém é derivável e que f () 0 mosre, usando a regra da cadeia, que g (y) = f () 0.3 Funções rigonoméricas inversas A função y = sen não é inversível (por quê?), mas podemos resringí-la a um inervalo no qual ela seja inversível. Vamos considerar apenas o caso em que y = sen eseja resria ao inervalo [ π 2, π 2]. O leior poderá fazer, como eercício, ouras resrições sobre o domínio de y = sen, de modo orná-la inversível. Para o caso da resrição considerada emos que y = cos e que cos > 0, para π 2 < < π 2. Logo y = sen é inversível, pois é esriamene crescene no inervalo [ π 2, π 2]. A inversa da função y = sen é chamada arco-seno e é denoada por

9 Cálculo Diferencial e Inegral = arcseny. Lembre-se que já rabalhamos com essa função nas regras de derivação. A sua derivada foi incluída numa abela por não ermos condições, naquele momeno, de esabelecer formalmene o seu valor, o que faremos agora. ou Pelos eoremas 0. e 0.3, podemos concluir que: a) o domínio da inversa de y = sen, π 2 π 2, é o inervalo: [f ( π 2 ), f (π 2 ) ] = [,] b) a derivada da inversa é dada pela epressão: g (y) = f () = cos = sen 2 = d(arcseny) dy = y 2 y 2 Observação: nos cálculos aneriores usamos cos = sen 2 porque, no inervalo dado, [ π 2, π 2], emos que cos > 0. Para maner a noação radicional y = f(), usaremos as epressões: y = arcsen e dy d = 2 A função f: R R, definida por f() = sen oferece uma infinidade de inervalos de comprimeno π onde inversas podem ser definidas. No enano, raaremos a função y = arcsen como sendo aquela com domínio no inervalo [,] e com imagem em [ π 2, π 2]. Eercício 0.3 Mosre que a função u = sen, π 2 3π 2, é inversível e calcule a derivada da inversa. Vamos agora, como fizemos aneriormene com ouras funções, esboçar o gráfico de y = arcsen,. ) Inerseções com os eios coordenados. Quando = 0, eremos seny = 0 e, porano, y = 0. Inversamene, se y = 0, eremos: arcsen = 0, que nos dá sen = 0, e, porano, = 0. Logo a função inercepa os eios coordenados na origem do sisema.

10 Cálculo Diferencial e Inegral 2) Ponos Críicos. Como dy d = 0 2 a função não em ponos críicos. 3) Regiões de Crescimeno e de Decrescimeno. Pelo iem anerior, a derivada é posiiva e, porano, a função é esriamene crescene. 4) Máimos e Mínimos Locais. A função sendo esriamene crescene não em máimos e mínimos locais. 5) Conveidades e ponos de infleão. A derivada segunda da função é dada por: y = 2 ( 2 ) 3 2( 2) = ( 2 ) 3 2 a) y > 0, para 0 < <, sendo a função convea para cima nesse inervalo; b) y < 0, para < < 0, sendo a função convea para baio nesse inervalo; c) = 0 é pono de infleão. 6) Limies necessários. Para obermos um melhor esboço do gráfico é conveniene analisarmos o comporameno da derivada da função em = 0 e nos eremos do inervalo: a) y (0) = b) lim y = lim + + = 2 c) lim y = lim = 2 Reunindo as informações aneriores, apresenamos ao lado o gráfico da função y = arcsen.

11 Cálculo Diferencial e Inegral Eercício 0.4 Verifique que a função y = cos, 0 π admie uma inversa = g(y). Essa função é denominada g(y) = arccosy. Mosre que sua derivada é dada por d dy = y 2 e calcule g ( 2). Considere a noação y = arccos e esboce o gráfico da função. Vamos agora verificar que y = g, π 2 < < π 2, admie inversa denoada por, = arcgy, que deve ser lida: é o arco cuja angene é y. A derivada da função y = g, é dada por: y = sec 2 = cos 2 Como y > 0, eremos y esriamene crescene no inervalo considerado e, porano, y = g admie inversa que é represenada por = arcgy (por que a função dada não é inversível no inervalo [ π 2, π 2]?). O domínio da função = arcgy é dado pelo inervalo: ] lim π + 2 A derivada de = arcgy é dada por: g, lim π g[ = ], [. 2 d dy = d(arcgy) = dy + y 2 Usando a noação convencional y = f(), denoaremos a função arco-angene por y = arcg, definida no inervalo ], [. Seu gráfico será esboçado em seguida. ) Inerseção com os eios coordenados. Para = 0, eremos gy = 0 e, porano, y = 0. Se y = 0, segue-se = g0 = 0. Logo, o gráfico da função inercepa os eios coordenados na origem do sisema. 2) Ponos críicos. Como a derivada da função y = + 2 é sempre posiiva, função não possui ponos críicos.

12 Cálculo Diferencial e Inegral 3) Regiões de crescimeno e de decrescimeno Como y > 0, a função é esriamene crescene no inervalo considerado. 4) Máimos e mínimos locais. A função não em máimos e mínimos locais. 5) Conveidades e ponos de infleão. A derivada segunda da função é dada por: y 2 = ( + 2 ) 2 a) Quando y < 0, eremos > 0 e, porano, y é convea para baio em ]0, [. b) Quando y > 0, eremos < 0 e, porano, y é convea para cima em ], 0[. c) Em = 0, emos o pono de infleão. 6) Limies Necessários. Para a presene função é necessário o esudo dos limies: lim arcg = π 2 e lim arcg = π 2 Reunindo as informações aneriores esboçamos, ao lado, o gráfico da função dada. Eercício 0.5 ) Mosre que y = sec, 0 < π 2, admie inversa = arcsec. Enconre o domínio e a derivada dessa inversa e esboce o seu gráfico. 2) Faça o mesmo para a função y = cog, 0 < < π. 3) Calcule: a) arcsen(sen 3π 2) b) arcsen(sen2π) c) arcsen(sen π 4) d) arcg(gπ) e) arccos(cos( π 2)) 4) Se g() = arcsen, calcule:

13 Cálculo Diferencial e Inegral a) g ( 2 ) b) g ( 2 ) c) g ( 2 ) d) g ( 2 ) 5) Se g() = arccos, calcule: a) g ( 2 ) b) g ( 2 ) c) g ( 2 ) d) g ( 2 ) 0.4 Função Logarimo Naural No início do curso lançamos mão de uma abela de funções e suas respecivas derivadas, na qual figurava uma que denominamos logarimo naural. Transcrevemos, a seguir, a noação uilizada para essa função e a sua derivada: onde é um número real posiivo. y = ln e dy d = Esudaremos essa função, como fazem vários auores, uilizando um pono de visa geomérico, pelo qual poderemos consruí-la aravés da noção de área sob uma curva, curva essa definida por uma função conínua. Anes, porém, faremos uma pequena digressão acerca dos logarimos apenas para relembrar alguns faos que, sem dúvida, já são do conhecimeno dos leiores. Hisoricamene, os logarimos surgiram após o ano de 600 com a finalidade de ornar mais simples os cálculos uilizados, principalmene, pelos asrônomos, que viviam à vola com operações ariméicas complicadas e sem dispor de mecanismos mais simples para suavizar o rabalho. Vários foram os maemáicos que iveram seus nomes ligados à hisória do desenvolvimeno cienífico por erem-se dedicado à busca de mecanismos dessa naureza e, especificamene, em relação aos logarimos, aé hoje são lembrados, enre ouros, os nomes de John Napier (550-67) e Henry Briggs (56-63). Na erminologia moderna, como o leior já deve er viso, define-se o logarimo de um número da seguine forma: Se a é um número real posiivo e diferene de, dizemos que y é o logarimo de na base a, se for igual a a elevado a y Analiicamene: y = log a = a y Dessa definição e das regras elemenares de poenciação, deduzem-se as propriedades operaórias do logarimo, cujas principais são:

14 Cálculo Diferencial e Inegral ) log a (. y) = log a + log a y 2) log a ( ) = log a 3) log a ( y ) = log a log a y 4) log a m = mlog a, onde m é ineiro 5) log a m = m log a, onde m é ineiro diferene de zero. O número a da definição acima é denominado base do sisema de logarimos. Tomando-se a = 0, por eemplo, eremos o chamado sisema de logarimos decimais que, segundo Carl B. Boyer em seu livro Hisória da Maemáica (Ediora Edgard Blucher, São Paulo, 996), página 25, foi publicado em 67, por Henry Briggs, já ciado aneriormene. Desde sua publicação os logarimos decimais foram largamene uilizados. As chamadas abelas de logarimos, inroduzidas por Briggs, maniveram-se auais aé meados do século passado quando perderam espaço para o avanço ecnológico que roue as calculadoras elerônicas e os compuadores, encerrando a esafane arefa de cálculos manuais envolvidos no manuseio daquelas abelas. Uilizando-se da definição do logarimo de um número, dada aneriormene, podemos consruir, para cada valor de a, uma função, denominada função logarímica, da seguine maneira: f: ]0, [ R f() = log a Deerminadas escolhas da base (observar que a base é o elemeno que diferencia duas funções logarímicas) originaram nomes específicos para algumas funções logarímicas. Enre essas escolhas enconra-se a que denominamos função logarimo naural (ambém chamado neperiano, em homenagem a John Napier, um dos criadores do logarimo, já ciado aneriormene). Eibiremos, a parir de agora, uma forma de se consruir essa função. Comecemos por considerar a função: f: ]0, [ R dada por f() = Sendo essa função conínua e posiiva eremos que, para odos os números reais posiivos a e b (a b), a área sob a curva f de a aé b esá definida e é dada por b A b a ( ) = d. a

15 Cálculo Diferencial e Inegral As áreas sob a curva f() = gozam de uma propriedade basane ineressane, que é a seguine: A b a ( ) = Arb ra ( ), r > 0. A propriedade que esá eibida graficamene ao lado pode, ambém, ser apresenada nos seguines ermos: b a d = rb ra d, r > 0. Devido ao imporane papel que essa propriedade assume no que vem a seguir iremos desacá-la na forma de um eorema. Teorema 0.5 Sejam a e b números posiivos quaisquer, com a b. Enão vale que Demonsração: b a d = rb ra d, r > 0. A demonsração do eorema consise em escrever cada uma das inegrais dadas como limies de duas somas de Riemann, formadas de maneira conveniene. Inicialmene, para o inervalo [a, b], omaremos a seguine parição: onde a = 0 2 n = b i = a + i, i = 0,,2,, n e = b a n Se f() =, enão f( i ) = a + i

16 Cálculo Diferencial e Inegral e a soma de Riemann correspondene será: n S n = f( i ) = a + i i= Quando n, 0 e, porano, n i= b d = lim a n n i= a + i () Para o inervalo [ra, rb] iremos omar a seguine parição: ra = 0 2 n = b onde i = ra + i, i =,2,, n e = rb ra n Se e a soma de Riemann correspondene será: f() =, enão f( i ) = ra + i n S n = f( i ) = ra + i i= n i= Enreano, = rb ra n b a = r ( n ) = r. Além disso, devemos observar que quando n, eremos que = r 0, para odo r, o que equivale a dizer que, ambém, 0. Daí, eremos: rb d = lim ra n n i= = lim ra + i n n i= r = lim ra + ir n n i= a + i (2) Comparando () e (2), eremos:

17 Cálculo Diferencial e Inegral b a que é o que queríamos demonsrar. d = rb ra d, r > 0 Volando à função f() =, > 0 e relembrando a definição de de função área, vamos considerar Lembrando que: A ( F() = { ), 0 < < A ( ), a) se 0 < <, A ( ) = d = d; b) se, A ( ) = d, podemos redefinir a função F(), dizendo que F() = d, > 0. É evidene que F() é uma função derivável e que a sua derivada é F () = > 0. Mosraremos que a função F() possui odas as propriedades do logarimo. Teorema 0.6 A função F() = d, > 0 possui odas as propriedades operaórias do logarimo, ou seja, para odos e y posiivos, eremos:

18 Cálculo Diferencial e Inegral ) F(y) = F() + F(y); 2) F ( ) = F(); 3) F ( ) = F() F(y); y 4) F( m ) = mf(), para m ineiro; 5) F (n) = F(), para n ineiro e diferene de zero. n Demonsração: Serão demonsradas as propriedades ), 2) e 4). As propriedades 3) e 5) serão deiadas para o leior. a) Demonsração da Propriedade ). Considerando os números, e y eremos, pela propriedade de inegral, que: y d + y d = d () Pelo Teorema 0.5, omando-se r =, eremos: y Levando-se (2) em (), ficará: y d = d (2) 2 y d = y d + d. Pela definição da função F(), eremos: F(y) = F() + F(y). b) Demonsração da Propriedade 2). Tomando-se r = no Teorema 0.5 e, ambém, usando propriedade de inegral, podemos escrever que: F ( ) = d = c) Demonsração da Propriedade 4) d = d = d = F(). Inicialmene, para provar a validade da propriedade para m ineiro e posiivo, usaremos o processo denominado indução finia. i) Para m =, a verificação é evidene; ii) Suponhamos que a propriedade seja válida para m = k, iso é,

19 Cálculo Diferencial e Inegral k F( k ) = d = k d = kf(); iii) Para m = k +, omemos os números, k, k+ e apliquemos a mesma propriedade de inegral uilizada na demonsração da propriedade ): Enreano, k k+ k+ d + d = d. k+ k k. d = d = d k k pela aplicação do Teorema 0.5, fazendo r = k. Daí, k+ k d = d + d. Aplicando a hipóese de indução, eremos: Concluindo, eremos: k+ d = k d + d = (k + ) d. F( m ) = mf(), m, ineiro e posiivo. Para m = 0, eremos 0 = F() = d = 0. Resa-nos, agora, demonsrar que a propriedade vale para m ineiro e negaivo. Assim, para m é negaivo eise p ineiro e posiivo al que m = p. Enão eremos: p F( m ) = F( p ) = ( ) p d = d. Pela primeira pare da demonsração: F( m ) = p d = pf ( ). Usando a propriedade (2), concluímos:

20 Cálculo Diferencial e Inegral F( m ) = ( p)f() = mf(). Assim concluímos, finalmene, que a propriedade (4) é válida para odo m ineiro. O eposo é suficiene para podermos afirmar que a função F() = d, > 0 é uma função logarímica. Ela é chamada Função Logarimo Naural, e a denoaremos por: ou na forma mais comumene uilizada: F() = ln, y = ln, > 0. Como vimos, ela é derivável e a sua derivada é: dy d = Tendo-se a função anerior como uma função logarímica, uma perguna que deverá surgir nauralmene será com respeio à base desse logarimo. Quano a isso, responderemos, em pare, na forma do se segue. Pela definição de logarimo, a base a é sempre um número que saisfaz a seguine condição: log a a =. Essa condição aplicada à nossa função nos dará: a d =. Mosraremos que realmene eise um número real que saisfaz a condição anerior e, de imediao, podemos concluir que ele não é um número ineiro e esá enre 2 e 3. Para ver iso, apresenaremos uma jusificaiva geomérica:

21 Cálculo Diferencial e Inegral 2 F(2) = d < ( ) F(3) = d > 3 ( ) ( ) 0,66877 é uma aproimação por fala, obida pela soma das áreas de 0 reângulos inscrios à curva f() =, aravés de uma parição do inervalo [, 2] em 0 pares iguais; ( ),06609 é uma aproimação por fala, obida pela soma das áreas de 20 reângulos inscrios à curva f() =, aravés de uma parição do inervalo [, 3] em 20 pares iguais. Como a função dada é conínua (uma vez que é derivável), pelo Teorema do Valor Inermediário, eise um número real perencene ao inervalo ]2,3[, que designaremos por e, al que e d =. Na realidade, e é um número irracional e 2,7828 é um valor aproimado Gráfico da Função Logarimo Naural Da definição de y = ln, decorre imediaamene: ) O domínio é o inervalo ]0, [, logo não há inerseção com o eio y. A inerseção com o eio ocorre somene no pono de coordenadas (,0), conforme o iem 3, a seguir, comprovará; 2) Como y =, a função em quesão não possui ponos críicos; 3) Como > 0 a derivada é sempre posiiva e, porano, a função é esriamene crescene; 4) Em razão do iem anerior, a função não possui máimo e nem mínimo locais; 5) Como y = 2 < 0, o gráfico possui conveidade volada para baio e, porano, não possui pono de infleão; 6) Duas ouras consequências, não ão óbvias como as aneriores, são as seguines: a) lim ln = e b) lim ln = 0 +

22 Cálculo Diferencial e Inegral Para demonsrarmos a primeira, observemos que para qualquer > 2 eisirá um número p, ineiro e posiivo, al que 2 p < 2 p+. Como a função y = ln é esriamene crescene, emos que ln2 p ln. Daí, Como segue-se que lim p ln2p lim ln lim pln2 lim ln. p lim pln2 = p lim ln =. No segundo caso, considerando = u, eremos: lim ln = lim ln ( 0 + u u ) = lim lnu =. u De posse de odas as considerações aneriores, podemos afirmar que o gráfico da função y = ln, é o seguine: Observação: Como ln < (iem 2 do Eercício 9.7) o gráfico de y = ln enconra-se sempre abaio do gráfico de y =.

23 Cálculo Diferencial e Inegral 0.5 Função Eponencial Como a função y = ln é esriamene crescene em ]0, [ ela admie uma inversa, = g(y), definida no inervalo ], [. Essa função é denominada Função Eponencial e é denoada por = e y. Assim: y = ln = e y. Considerando a função eponencial na forma padrão y = e (com = lny) podemos deerminar a sua derivada do seguine modo: dy d = d dy = = d(lny) dy y = y = e. Assim, a derivada da função eponencial é igual à própria função Gráfico da Função Eponencial Para esboçar o gráfico da função y = e, observemos que: ) Para = 0, enconramos, y = e para odo, eremos e > 0 (por quê?). Porano ela inercepa o eio em (0,) e não inercepa o eio y; 2) Como y = e > 0, a função não em ponos críicos; 3) Como em 2), y > 0 a função y = f() é esriamene crescene; 4) Em consequência dos iens aneriores a função não possui máimo e nem mínimo locais; 5) Como y = e > 0 a função é convea para baio; 6) Para esudar os limies laerais, quando e quando, lembremos primeiro < e (Eercício 0.5 a seguir) e, porano, é evidene que: lim e =. Por ouro lado, para < 0 podemos omar u > 0 al que = u e, assim: lim e = lim e u = lim u u = 0. eu

24 Cálculo Diferencial e Inegral Com as informações aneriores esboçamos, ao lado, o gráfico da função eponencial. Eercício 0.6 Mosre que e >, R. 0.6 Limies envolvendo logarimos e eponenciais Reunimos no eorema a seguir dois limies, considerados fundamenais. Teorema 0.7 ) lim h 0 ln( + h) h = 2) lim ( + ) = e Demonsração: Para demonsrar () comecemos por considerar a derivada da função f() = ln, primeiramene pela definição: e, em seguida, pela epressão já deduzida: ln( + h) ln f () = lim ; h 0 h f () = Calculando a derivada para = e comparando os resulados emos: ln( + h) lim =. h 0 h Daí, uilizando propriedades de logarimo, obemos o resulado final: ln( + h) ln( + h) lim = lim = lim ln( + h) h =. h 0 h h 0 h h h 0 Para mosrar (2), observemos que, omando-se = h, eremos:

25 Cálculo Diferencial e Inegral lim ( + ) = lim( + h) h, h 0 e, porano, basa-nos mosrar que o segundo limie da igualdade acima é igual ao número e. Assim, lim ( + h 0 h) h = lim e ln(+h) h = e h 0 lim ln(+h) h = e = e. h Eponencial Geral Para a > 0, definimos a = e lna. A derivada de y = a, é enconrada aravés regra da cadeia: d(a ) d = d(e lna ) = e lna. lna = (lna)a. d Observemos que, se a >, y = a é esriamene crescene e que, se ivermos 0 < a <, eremos y = a esriamene decrescene. Em ambos os casos y = a é inversível e sua inversa é dada por = log a y. Lembrando-se que y = log a = a y eremos a derivada de y = log a da seguine maneira: Eemplo 0.8 dy d = d dy = d(a y = ) e ylna lna = lna dy Para mosrar odas as regras de derivação que abelamos inicialmene (Cap.4) fala-nos, apenas, mosrar que: y = a y = a a, a R. Aé agora mosramos que a relação acima é válida somene para a ineiro. A eensão para o caso em que a é um número real se obém para o caso em que, base da poência, é posiivo. Para isso basa observar que e, daí eremos: y = a = e aln

26 Cálculo Diferencial e Inegral dy d = ealn a = aa = aa. Eemplo 0.9 Uma aplicação da função logarimo naural é no cálculo de derivadas de algumas funções como, por eemplo, a função y =. O processo que mosraremos é chamado derivação logarímica e nele faz-se uso da Propriedade 4 de logarimos (Teorema 0.4) considerando-a válida para m real, como já fizemos na demonsração do primeiro limie fundamenal (Teorema 0.7). Se y =, eremos lny = ln = ln. Daí, derivando ermo a ermo eremos: d(lny) d = d(ln) d Logo, y = y(ln + ) = (ln + ). Eercício 0.7 y y = ln + = ln +. ) Usando derivação logarímica, calcule a derivada de: a) y = b) y = (sen) cos c) y = (cos) sen 3 d) y = e) y = e e f) y = 2) Mosre que: a) e +y = e e y b) (e ) y = e y c) a +y = a a y d) (a ) y = a y 3) Definindo as funções: shu = eu e u 2 mosre que: (seno hiperbólico de u) e chu = eu + e u 2 (cosseno hiperbólico de u) a) ch 2 u sh 2 u = b) d(shu) du = chu c) d(chu) du = shu 4) Considerando as funções Tangene hiperbólica de u: hu = shu chu

27 Cálculo Diferencial e Inegral mosre que: Coangene hiperbólica de u: cu = chu shu Secane hiperbólica de u: sechu = chu Cossecane hiperbólica de u: cossechu = shu a) c) d(hu) du d(sechu) du = sech 2 u b) = (sechu)(hu) d) d(chu) du d(cossechu) du = cossech 2 u = (cu)(cossechu)