2 PREVISÃO DA DEMANDA

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1 PREVISÃO DA DEMANDA Abandonando um pouco a visão românica do ermo previsão, milhares de anos após as grandes civilizações da nossa hisória, a previsão do fuuro vola a omar a sua posição de imporância no plano de gesão e planejameno das empresas. Não é preciso aqui relembrar os ermos mais uilizados (e os seus significados) no mundo dos negócios nos úlimos anos: globalização, compeiividade, supply chain managemen e redução de cusos. Eses são alguns dos drivers que orienam as empresas na busca pelo seu maior objeivo: Maximização da Lucraividade. Aqui pode-se inroduzir o conceio de previsão de demanda, como uma das ferramenas que mais em obido imporância nos úlimos anos..1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS O processo de previsão de demanda se baseia no pressuposo que a demanda passada de um produo poderá, em pare, explicar a sua demanda fuura. Ese processo busca a idenificação e o enendimeno dos faores que formaram esa demanda passada e a parir daí exrapolá-los para o fuuro. O conhecimeno que uma empresa possui sobre o comporameno dos seus clienes é um diferencial compeiivo, pois auxilia consideravelmene nese planejameno. Quano maior a precisão na idenificação deses faores, menor será o erro associado à previsão e, porano, melhores resulados serão alcançados. Alguns faores podem influenciar a demanda, como por exemplo, promoções e desconos por quanidade, campanhas de vendas, lançameno de um novo produo similar, variação do clima (faor preponderane para sorvees e cerveja, por exemplo), conjunura econômica e relação enre produos (promoção de um similar roubando demanda de ouro).

2 6 Aqui abre-se um parênese para raar de um conceio exremamene imporane apresenado por Ballou (Gerenciameno da Cadeia de Suprimenos, 001). É o de demanda espacial. Ele desaca que, em geral, quando se fala em previsão da demanda, os gesores acabam pensando somene na quesão emporal, ou seja, raam unicamene da variação da demanda ao longo do empo. Conudo, na Logísica, além da dimensão empo, deve-se ambém considerar a dimensão espacial. Em ouras palavras, na logísica deve exisir a preocupação não somene quando a demanda irá ocorrer, mas ambém aonde ocorrerá. A localização da demanda auxiliará ao gesor a planejar localizações de cenros de disribuição, o nível de esoque no sisema logísico (CD s x ponos de vendas), bem como dimensionameno de froa. Ainda, segundo Ballou, Técnicas de previsão devem ser selecionadas para refleir as diferenças geográficas que podem afear os padrões de demanda. Também, as écnicas, podem diferir dependendo se oda a demanda esá previsa e, enão, é desagregada por localização geográfica (previsão op-down) ou se cada localização geográfica esá previsa separadamene e agregada poseriormene (previsão boom-up). Enreano o presene esudo raará somene da demanda emporal, rabalhando com demanda agregada. Algumas considerações precisam ser levanadas sobre a quesão das análises op-down e boom-up. Cada uma das abordagens possui vanagens e desvanagens. A primeira, ambém denominada análise consolidada, refere-se à avaliação ou do oal de uma família de produos ou de vendas de uma direoria regional, por exemplo. A parir da previsão consolidada, faz-se a divisão dos valores com base nos percenuais hisóricos de paricipação de cada produo ou área geográfica. Já na análise boom-up pare-se de uma avaliação individualizada (produo ou região), que poseriormene é consolidada num plano de produção ou meas de vendas de uma direoria comercial. A decisão sobre qual meodologia deve-se seguir raz implicações para a empresa. A análise consolidada é menos complexa e com menos cuso, viso que não há necessidade de se analisar o comporameno de cenenas (ou aé mesmo, milhares de iens). Conudo, quando se avalia uma família de produos de forma consolidada, corre-

3 7 se o risco de exrapolar o crescimeno apresenado por um deerminado produo para oda a família, o que pode levar a uma disorção dos níveis de esoque. Em resumo, a avaliação op-down é melhor na enaiva de se minimizar o impaco de componenes aleaórios, em conraparida, a boom-up pode ser a mais apropriada nos casos em que há presença de fore endência (de crescimeno ou declínio) em alguns iens analisados, razendo o risco de superavaliar ou subavaliar os ouros iens. A meodologia mais adequada deve ser definida a parir da avaliação do comporameno das séries. De qualquer maneira, um dos drivers mais imporanes e que deve ser levado em consideração no momeno da decisão é o nível de precisão desejado para a previsão... CARACTERÍSTICAS DA PREVISÃO A disseminação do uso da ecnologia da informação e gerenciameno de dados em impulsionado a uilização das écnicas de previsão de demanda. Já é possível com os sisemas inegrados o acesso rápido às informações necessárias ao processo de previsão. Esa disseminação ambém é conseqüência direa do desenvolvimeno e popularização dos microcompuadores. Aualmene, praicamene qualquer gesor em condições de monar modelos de previsão de demanda uilizando planilhas elerônicas como apoio ao processo de omada de decisão. Conudo, apesar desa facilidade, os gesores êm que presar aenção em algumas caracerísicas das previsões: 1. Toda e qualquer previsão possui um erro inrínseco chamado de incereza da demanda. Infinios faores podem influenciar a demanda de deerminado produo, ornando impossível ao gesor mapear e avaliar o impaco de cada faor em deerminado momeno. O papel do gesor é

4 8 minimizar ese erro. As medidas de nível de erro são fundamenais para se avaliar a qualidade da previsão;. As previsões de curo prazo são mais precisas que as de longo prazo, iso porque o nível de incereza aumena à medida que o horizone da previsão se disancia do momeno aual; 3. As previsões agregadas são mais precisas que as desagregadas. Esa caracerísica pode ser explicada aravés do Teorema Cenral do Limie, que comprova que a soma de muias variáveis aleaórias ende para uma variável aleaória de disribuição normal. Ouro conceio imporane no processo de previsão é o de série hisórica ou emporal. Segundo Chafield ( The Analysis of Time Series, 1995) uma série hisórica é uma coleção de observações realizadas seqüencialmene no empo. A série hisórica é a principal informação uilizada para se enar enender a demanda passada. Conudo, deve-se ambém considerar na análise das séries emporais, que deverá exisir uma dependência enre as observações. A Prof.ª Monica Barros, em seu livro Processos Esocásicos (004) coloca que a dependência serial enre os valores da série é um aspeco essencial, pois nos permie gerar previsões de valores fuuros da série. Esas previsões seriam puro chue se não houvesse a dependência serial. É exaamene esa dependência que reflee as informações de comporameno nos dados da série. Na figura 1, a seguir, observa-se alguns exemplos de séries hisóricas. O processo de previsão de uma série emporal de demanda é composo de duas eapas: 1. Análise e modelagem da série emporal Nesa eapa avalia-se os faores que influenciam a demanda e suas caracerísicas mais relevanes. Também busca-se represenar maemaicamene ese comporameno;. Previsão Após a eapa de análise, o modelo é aplicado e os números da previsão são gerados. Um pono imporane sobre a avaliação das séries emporais e que é levanado em boa pare dos livros que raam do assuno: a primeira medida a ser

5 9 omada ao se deparar com uma série hisórica é consruir o seu gráfico para observar a sua evolução ao longo do empo. Chafield (The Analysis of Time Series, 1995) é mais incisivo: qualquer um que ene analisar uma série hisórica sem ploar os dados primeiro esará pedindo problemas. O gráfico poderá mosrar além das endências e sazonalidades, os chamados ouliers, ou variações anormais da demanda. Os ouliers necessiam ser idenificados e explicados. Após a sua idenificação, a variação anormal deverá ser de alguma forma ajusada, de maneira que a análise dos dados não fique disorcida. (a) Série Hisórica sem endência (b) Série com endência de crescimeno sem sazonalidade Unidades 40 0 Unidades Tempo Tempo Vendas reais Vendas Médias Vendas reais Vendas Médias (c) Série hisórica com endência e sazonalidade Unidade Tempo Vendas reais Vendas Médias Figura 1 Séries hisóricas com endência e sazonalidade. FONTE: Adapado de Gerenciameno da Cadeia de Suprimenos, Ronald Ballou, 001. Peer Brockwell e Richard Davis (Inroducion o Time Series and Forecasing, 00) ambém ressalam a imporância da monagem dos gráficos. A sua principal função é exibir a exisência de endências, sazonalidades, mudanças aparenes no comporameno da curva e possíveis ouliers. Os modelos de previsão podem ser classificados da seguine maneira:

6 30 1. Qualiaivos Os modelos qualiaivos, ambém denominados subjeivos, se baseiam na inuição, pesquisas de mercado ou julgameno de uma ou várias pessoas para se chegar à previsão final. Geralmene buscam-se pessoas com vasa experiência no mercado ou no assuno raado. São muio uilizados quando não exisem dados hisóricos disponíveis para a análise ou no lançameno de produos novos. Alguns exemplos de méodos qualiaivos que podem ser ciados: esimaivas da área de vendas, que levam em consideração a opinião da equipe de vendedores (é basane úil quando esa equipe esá bem próxima dos clienes); painéis de consenso, quando vários especialisas são reunidos e são incenivados a discuir as previsões; e ambém a analogia hisórica que leva em consideração experiência anerior com produos similares;. Méodos Quaniaivos ou de projeção hisórica Referem-se aos méodos que uilizam as séries emporais para gerar a previsão. Parem do pressuposo que a demanda passada poderá auxiliar na geração de números que se aproximem da demanda fuura. Conforme mencionado aneriormene, é necessária a exisência de dependência enre os dados ao longo do empo; 3. Méodos Causais Procuram esabelecer uma relação enre a demanda e faores conjunurais e/ou exernos, como por exemplo, inflação, axas de juros, políicas econômicas, emperaura ambiene. O gesor deverá selecionar o méodo mais adequado às suas necessidades. Ainda segundo Chafield, o perfil da série hisórica definirá o méodo mais adequado. Se o perfil for basane claro, onde enhamos condições de verificar a exisência (ou não) de endência e sazonalidade, o méodo quaniaivo será perfeiamene adequado às necessidades do gesor. De qualquer forma, o ideal é que a empresa busque sempre o aperfeiçoameno das previsões aravés da inervenção do homem. Nese momeno, a composição com a análise qualiaiva pode razer excelenes resulados. A série hisórica é formada por dois componenes básicos: o sisemáico, que se refere ao valor esperado da demanda. É composa, por sua vez, por ouras rês pares: nível, que é o comporameno das vendas auais desazonalizada;

7 31 endência, que significa a axa de crescimeno ou decréscimo apresenada pela série a médio e longo prazo, e sazonalidade que represena as variações que ocorrem ao longo do ano (Naal, verão, inverno, Dia das Mães, ec.). O componene sisemáico pode assumir dois comporamenos básicos: Adiivo: Nese caso o padrão de comporameno da sazonalidade não se modifica com possíveis alerações no nível da série; VALOR PREVISTO (P) = NÍVEL (N) + TENDÊNCIA (T) + SAZONALIDADE (S) Muliplicaivo: No modelo muliplicaivo, a sazonalidade da série é afeada com as modificações do nível. Pode ser ampliada ou reduzida. VALOR PREVISTO (P) = NÍVEL (N) x TENDÊNCIA (T) x SAZONALIDADE (S) Ou VALOR PREVISTO (P) = (NÍVEL (N) + TENDÊNCIA (T)) x SAZONALIDADE (S) O segundo componene é o chamado aleaório, que se refere a odas as ouras variações não explicadas pelos componenes sisemáicos. Podem ser causadas por evenos específicos e que não se repeem. Esá desvinculado da pare sisemáica do modelo. Pode-se afirmar que é impossível prever ese úlimo componene, cabendo à empresa avaliar o seu amanho e variabilidade, o que gerará as chamadas medidas de erro da previsão. O papel do gesor é minimizar ese erro, em ouras palavras, procurar a maior precisão possível para o sisema de previsão. Em geral, supõe-se que o erro aleaório em média zero e variância consane, e freqüenemene faz-se a hipóese de Normalidade do erro, permiindo a consrução de inervalos de confiança e eses de hipóeses. Poseriormene será abordada a quesão sobre indicadores de erro (ambém denominados de indicadores de desempenho).

8 3 VALOR PREVISTO(P)=NÍVEL(N) + TENDÊNCIA(T) + SAZONALIDADE(S) + COMPONENTE ALEATÓRIO () A figura 1, visa aneriormene, exibe rês classes de modelos: 1) Modelo Consane Pode ser considerado o modelo mais simples, pois não são enconrados endências de longo prazo (crescimeno ou queda) e ampouco sazonalidade. Nese caso, a demanda deverá variar somene em orno do nível. Tem-se a seguine esruura: x = a + ε eq(1) Onde define-se a como o nível da demanda e aleaório (ou erro), que erá média zero e variância ε como o componene σ (figura 1.a); ) Modelo Linear Nese modelo já exise a presença da endência (crescimeno ou queda). Pode-se represená-lo com a seguine equação geral: x = a + b + ε eq() Onde denomina-se b como axa de crescimeno ou de decréscimo da demanda (figura 1.b); 3) Modelo Sazonal Aqui, além da endência, passa-se a observar variações da demanda denro do ano. Sua represenação será dada por: x = ( a + b ) + ε eq(3) F Onde F será o faor sazonal no período (figura 1.c).

9 33 A seguir serão apresenados alguns méodos de previsão que poderão ser adoados de acordo com o perfil apresenado na série..3. MÉTODOS DE PREVISÃO A função dos méodos é possibiliar ao analisa esimar os componenes da demanda. De acordo com os perfis apresenados no iem anerior, define-se os modelos que serão mais adequados a cada série e que possibiliarão a geração de esimaivas deses componenes com a menor margem de erro possível. Aualmene exisem dezenas de méodos para cálculo dos esimadores (dos mais simples aos mais complexos), conudo a referência bibliográfica consulada indica que muias vezes os méodos mais simples (porano, com menores cusos) aingem resulados ão bons quano os mais complexos. Segundo Makridakis ( Forecasing and Planning: An Evaluaion, Managemen Science 7, n fevereiro 1981, ), em geral, a complexidade dos modelos de previsão não diminui consideravelmene a margem de erro. Os méodos básicos mais uilizados serão apresenados a seguir Média Simples É considerado um dos méodos mais simples de previsão. Pare do pressuposo que a média ariméica simples é uma boa esimaiva de previsão para os períodos seguines: n R P = + 1 n eq(4) Onde: P +1 - Previsão para o período +1; R - Demanda real ocorrido em ;

10 34 n - Número oal de regisros ou ocorrências passadas. Pode ser um méodo adequado para os modelos consanes, conudo é desaconselhável seu uso para séries com endência e sazonalidade, viso que eses componenes provavelmene disorcerão a média, aumenando o nível de erro. Ouro pono negaivo dese modelo é que a média responde muio lenamene às alerações recenes no nível da série, o que pode gerar problemas de fala de produos, por exemplo, caso o gesor rabalhe com uma políica de esoques enxua. Uma das caracerísicas dese ipo de modelo é que odas as ocorrências possuem o mesmo peso ou imporância no cálculo de previsão, o que pode ser inoporuno, caso a inenção do gesor seja dar às observações mais anigas menor impaco..3.. Média Móvel Traa-se de uma variação da média simples. Nese caso, passa-se a uilizar a média ariméica das n úlimas observações. A cada novo período subsiui-se o regisro mais anigo pelo mais recene e recalcula-se a média. Sua fórmula passa a ser: P + 1 R + R 1 + R + (...) + R n+ 1 = M = eq(5) n Onde: P +1 - Previsão para o período +1; M - Média Móvel para o período ; R - Demanda real ocorrida em ; n - Número de regisros que deverão ser considerados para o cálculo da média móvel. Aqui, a exemplo da Média Simples, as ocorrências ambém possuem o mesmo peso. A diferença é que a média móvel passa a ser um pouco mais

11 35 sensível às alerações do nível, já que reira as ocorrências mais anigas, subsiuindo-as pelas mais recenes. Esas passam a ser mais relevanes para a composição da média. Conudo, uma quesão imporane a ser definida é o amanho mais adequado desa amosra n. Segundo a Prof.ª Mônica Barros, quano maior o valor de n, mais suave será a previsão. Ao conrário, se n é menor, a previsão passa a oscilar muio. Logicamene, ao se adoar a amosra ineira como n, reorna-se à média simples. Deve-se definir n de modo a minimizar a soma dos quadrados dos erros da previsão. A exemplo do que ocorre com a média simples, é desaconselhável seu uso em séries emporais que apresenam endência e sazonalidade, viso que as previsões acabam sendo reaivas às alerações dos componenes da série Média Móvel Dupla Ese modelo já pode ser uilizado em séries com endência. O seu cálculo é dividido em cinco eapas: 1. Cálculo da média móvel de amanho n M R + R 1 + R + (...) + R n+ 1 = eq(6) n. A parir das médias móveis apuradas no passo anerior, calculamos a média móvel dupla de amanho n MMD M + M 1 + M + (...) + M n+ 1 = eq(7) n O nível é esimado somando-se a média móvel simples à diferença enre a média dupla e a simples: a = M + M MMD ) eq(8) ( 3. Para incluir a endência no cálculo, define-se um faor de ajuse, equivalene ao coeficiene angular de rea: b = ( M MMD ) eq(9) n 1

12 36 4. A previsão fuura será dada, enão, pela equação: P +1 = a + b. eq(10) Da mesma maneira que na média móvel, ambém a necessidade de se definir a quanidade de períodos n mais adequada à série em quesão (sempre buscando minimizar a soma quadrada dos erros da previsão do período seguine). Aqui as ocorrências ambém irão possuir o mesmo peso, independenemene da sua idade, o que é um dos ponos negaivos dese ipo de modelo. A seguir, na abela 1 e na figura, observa-se um comparaivo dos méodos de médias, simples, móveis e duplas com amanho rês (n=3), uilizando os dados de esojos de meia aliança. DESCRICAO MES 004 média simples média móvel n=3 média dupla n=3 ESTOJO ANEL/MEIA ALIANCA Tabela 1 Comparaivo dos resulados das écnicas de média simples, móvel e dupla, em unidades. FONTE: Gerência da CAM Nese caso, não se buscará a oimização do amanho da janela (n), que será fixado n = 3.

13 37 Comparaivo de Previsões Médias Simples, Móvel e Dupla unidades Mês média simples média móvel N=3 média dupla N=3 Realizado Figura Comparaivo de resulados de previsões, uilizando a média simples, móvel e dupla. FONTE: Gerência da CAM. Nese caso, se houvesse sido adoado o modelo de média simples, poderiase considerar a coberura adequada nos primeiros cinco meses do ano, conudo a parir do sexo aé o séimo mês, há uma queda no consumo dos esojos, endência que não é acompanhada pela média simples, que é fixa. A média móvel responde um pouco melhor a esa aleração, começando a reagir a parir do mês seguine. A parir do oiavo mês, a demanda começa a apresenar um crescimeno acenuado. Ese movimeno começa a ser acompanhado pelos números gerados pela média móvel somene a parir do décimo mês, mas sem a mesma velocidade da axa de crescimeno. Ou seja, em ermos práicos, a parir do décimo mês o risco de desabasecimeno aumena. A média móvel dupla apresena, nese caso, uma previsão mais próxima da demanda ao longo do empo. Aé o décimo mês podemos observar que ese méodo apresena erros menores que os ouros, conudo a sua resposa ao aumeno de demanda a parir do décimo mês, acaba ficando abaixo da média móvel. A parir dese momeno a Média Móvel passa a esar mais pero do realizado que a Média Móvel Dupla.

14 Amorecimeno Exponencial Simples O méodo de Amorecimeno Exponencial é um méodo similar à média móvel, mas que em como base a diferenciação dos pesos aplicados aos valores da série hisórica em função do empo. As observações mais recenes da série erão uma imporância maior na obenção da previsão que os primeiros evenos. O conceio por rás dese modelo pressupõe que os úlimos evenos de uma série erão informações mais aualizadas sobre a demanda e, conseqüenemene, mais imporância na previsão da demanda fuura. Os diversos méodos de amorecimeno exponencial são considerados como alguns dos mais úeis, pela sua simplicidade e pequena necessidade de séries longas, o que facilia a implemenação. Na lieraura podem ser enconradas diversas variações dos méodos de amorecimeno, mas sempre manendo o mesmo conceio chave: ponderação das observações em função do empo. Algumas meodologias de amorecimeno serão apresenadas nese rabalho. Os pesos são conhecidos como faores de ponderação ou coeficienes de amorecimeno e seus valores variam de zero a um. Segundo Barros (004), A exisência de uma ou mais consanes de amorecimeno irá deerminar como funciona ese mecanismo de ponderação, ou o quão rapidamene decai a influência das observações passadas. Esa ponderação faz com que o modelo responda mais rapidamene às mudanças na série. O méodo é denominado exponencial, pois os pesos (α ) decrescem exponencialmene, como uma progressão geomérica (α, α( 1 α), α( 1 α), 3 α( 1 α) ), à medida que os evenos vão ocorrendo ao longo do empo. Quano maior o valor de α, maior a influência do eveno mais recene na previsão final. Conudo, um valor de α muio elevado pode fazer com que a previsão fique exremamene sensível às variações aleaórias da demanda realizada, em derimeno das mudanças esruurais. Por ouro lado, um coeficiene muio baixo ornará o modelo exremamene esável, resisene à aleaoriedade

15 39 exisene na série hisórica. A bibliografia relacionada ao assuno sugere um valor de α enre 0,05 e 0,5. Nese méodo, a maior dificuldade é exaamene definir o valor adequado de α, de forma a minimizar os erros da previsão, buscando ao mesmo empo uma aderência mais rápida às mudanças ocorridas na série hisórica. Uma possibilidade é a escolha de α que minimize o erro quadráico médio (EMQ), que é uma esimaiva da variância do erro da previsão. 1 EMQ = n Onde: n = 1 ( R P ) R - Valor observado no insane ; P - Previsão no mesmo insane. eq(11) Aualmene já exisem sofwares de séries emporais que esimam os coeficienes óimos de amorecimeno. Aé mesmo o Excel pode auxiliar nesa arefa, aravés da ferramena Solver. Ouro pono imporane no amorecimeno exponencial é o valor inicial a ser adoado na previsão, pois dependendo do amanho da série, aquele erá um peso muio grande na esimação da previsão. Geralmene adoa-se P 0 = R0. O efeio da escolha inicial é minimizado, é claro, à medida que aumena. Uma alernaiva basane uilizada nesa quesão é rabalhar com a média de n valores iniciais como pono de parida. O amorecimeno exponencial simples é um méodo que, a exemplo da média móvel simples, não é indicada para séries emporais com endência e sazonalidade, pois nesa siuação as previsões geradas acompanhariam a evolução da demanda com araso. dado por: A equação de previsão no modelo de amorecimeno exponencial simples é

16 40 P α R + α 1 α) R + α(1 α) R (...) eq(1) + 1 = ( 1 + Onde: P +1 - Previsão para o período +1; α - Coeficiene de amorecimeno, α [0,1] ; R - Demanda real ocorrido em ; Ou ambém, na forma reduzida: P R ) P + 1 = α + (1 α eq(13) A exemplo do que ocorre com qualquer ouro méodo de previsão, evenualmene observa-se a necessidade de revisão de α, que será definida aravés do moniorameno dos níveis de erro das previsões. É imporane a definição de políicas de conroles para eses erros com os respecivos ajuses Amorecimeno Exponencial Duplo (Modelo De Brown) O modelo de Brown é uma variação do amorecimeno exponencial simples desenvolvida para séries emporais que apresenam endência, mas não sazonalidade. Ese méodo se assemelha à Média Móvel Dupla, sendo o componene de nível calculado aravés da diferença enre um valor apurado com o amorecimeno simples e ouro, com um segundo amorecimeno do primeiro. Já para o cálculo da endência, exise uma equação própria, similar à fórmula de coeficiene angular da rea. O cálculo de previsão ocorre como a seguir: 1. Cálculo do primeiro amorecimeno: P = α R + ( 1 α) P 1 eq(14). Cálculo do segundo amorecimeno: P ' ' = P + ( 1 α) P 1 α eq(15) 3. Cálculo de esimaiva do nível como a soma do primeiro amorecimeno com a diferença enre o primeiro e o segundo amorecimenos: a = P + eq(16) ' ' ( P P ) = P P

17 41 α ' 4. Cálculo de esimaiva de endência: b = ( P P ) 1 α eq(17) 5. A previsão fuura será dada, enão, pela equação: P + p = a + b p eq(18) Aqui novamene deve-se desacar que ão imporane quano a consane de amorecimeno a ser uilizada, são as esimaivas iniciais de P 0 e ' P 0. Não se deve uilizar o primeiro valor da série para iniciar as equações, pois corre-se o risco de subesimar a endência desa série. As esimaivas iniciais do P 0 e geralmene dadas por: ' P 0 são P P 0 ' 0 1 α = a0 b0 eq(19) α 1 α = a0 b0 eq(0) α Onde: a 0 = coeficiene linear obido aravés da regressão linear dos valores da série pelos números dos períodos; b 0 = coeficiene angular obido aravés da regressão dos valores da série pelos números dos períodos. Para a esimaiva do valor inicial de α, necessário para o cálculo das esimaivas iniciais do P 0 e ' P 0, deve-se auar da mesma forma que a descria no méodo de amorecimeno exponencial simples, quando mencionou-se que α é o valor que deve ser escolhido de forma a minimizar o erro médio quadrado (EMQ).

18 Amorecimeno Exponencial - Méodo De Hol O méodo de Hol é oura variação do méodo de amorecimeno, uilizado para as séries que apresenam endência (mas não sazonalidade). Nese méodo, ao conrário do modelo de Brown, adoam-se duas consanes de amorecimeno diferenes, α e β, uma delas para esimação da endência e a oura para o nível. Aqui recuperaremos o conceio de componene sisemáico, apresenado no início dese capíulo. VALOR PREVISTO (P) = NÍVEL (N) + TENDÊNCIA (T) Onde: O méodo de Hol rabalha com rês equações: 1. Esimação do nível: N α R + 1 α)( N T ) eq(1) = ( Esimação da endência: T = β N N 1 ) + (1 β ) T 1 eq() ( 3. Equação para previsão para p períodos fuuros: P + p = N + T p eq(3) N - Nível para o período ; R - Demanda real ocorrido em ; T - Tendência para o período ; P +1 - Previsão para o período +1; α - Coeficiene de amorecimeno para o nível, α [0,1] ; β - Coeficiene de amorecimeno para a endência, β [0,1] ; A exemplo do que ocorre nos ouros méodos de amorecimeno exponencial, é necessário calcular as esimaivas iniciais para o nível e a endência de forma a iniciar o sisema de cálculo das previsões. Nese caso, pode-se rabalhar com a regressão linear enre a demanda e os períodos, pois exise uma endência (de crescimeno ou declínio) ao longo do empo. A esimaiva para o nível inicial N 0 será, enão, o coeficiene linear obido aravés da regressão linear da demanda pelo número de período. E a endência T 0, será o coeficiene angular ou de inclinação, obido aravés do mesmo processo de regressão.

19 43 Cabe aqui desacar que o Excel possui uma ferramena que realiza facilmene o cálculo de regressão linear (menu Ferramenas Análise de Dados Regressão) Amorecimeno Exponencial Modelo de Winers O modelo de Winers é uilizado para as séries que apresenam endência e sazonalidade e adoa rês coeficienes de amorecimeno diferenes, um para cada componene sisemáico da demanda (Nível, Tendência e Sazonalidade), α, β e γ, respecivamene, odos no inervalo (0,1) Novamene, resgaamos o conceio de componene sisemáico, agregando a sazonalidade. Pode-se er dois comporamenos básicos: Adiivo: O padrão de comporameno da sazonalidade não se modifica com possíveis alerações no nível da série VALOR PREVISTO (P) = NÍVEL (N) + TENDÊNCIA (T) + SAZONALIDADE (S) Muliplicaivo: No modelo muliplicaivo, a sazonalidade da série é afeada com as modificações do nível. Pode ser ampliada ou reduzida. VALOR PREVISTO (P) = NÍVEL (N) x TENDÊNCIA (T) x SAZONALIDADE (S) Ou VALOR PREVISTO (P)= (NÍVEL (N) + TENDÊNCIA (T))x SAZONALIDADE (S) O gesor, enão, erá que avaliar e selecionar o comporameno com base na sua série hisórica. No presene esudo, será uilizado o modelo muliplicaivo (ambém chamado de miso) para demonsrar o méodo.

20 44 O méodo de Winers muliplicaivo rabalha com quaro equações: 1. Esimação do nível: = R N ( + (1 )( + α α N 1 T 1) eq(4) S. Esimação da endência: T = β ( N N 1 ) + (1 β ) T 1 eq(5) R 3. Esimação da sazonalidade: S = γ ( ) + (1 γ ) S p eq(6) N Sendo p o número de períodos sazonais (doze no caso de séries mensais e quaro para séries rimesrais); 4. Equação de previsão para k períodos fuuros: P = ( N + T k) S + k eq(7) Onde: N - Nível para o período ; R - Demanda real ocorrido em ; T - Tendência para o período ; S - Sazonalidade para o período ; P +1 - Previsão para o período +1; α - Coeficiene de amorecimeno para o nível, sendo que α [0,1] ; β - Coeficiene de amorecimeno para a endência, sendo que β [0,1] ; γ - Coeficiene de amorecimeno para a sazonalidade, sendo que β [0,1] ; O méodo é iniciado com o cálculo das esimaivas iniciais para o nível, endência e faores sazonais. Anes de se esimar N e T, deve-se dessazonalizar a série, ou seja, remover os efeios da sazonalidade dos números. Aqui se inroduz o conceio de período sazonal, que passará a ser represenar por p. Por exemplo, numa série rimesral, exisem quaro períodos sazonais por ano, ou seja, p = 4. Em séries mensais, como as consideradas nese rabalho, p = 1. Para a dessazonalização da série deve-se calcular uma média dos períodos consecuivos da demanda p. No caso da periodicidade p ser ímpar, o cálculo

21 45 fornecerá a demanda dessazonalizada para um período exisene. A demanda dessazonalizada será dada, enão, pela seguine fórmula: + ( p / ) R = R / p eq(8) i i= ( p/ ) Conudo se p for par, esa média fornecerá uma demanda dessazonalizada para um pono enre dois períodos. Para resolver esa quesão uiliza-se a seguine fórmula: R 1 ( p / ) + = R ( p / ) + R + ( p / ) + Ri / p eq(9) i= + 1 ( p / ) Aplicando as fórmulas, obem-se as demandas dessazonalizadas para os períodos da série hisórica. Com esa nova demanda calculada, em-se condições de avaliar de forma adequada a endência da série, pois exise uma relação linear enre esa demanda dessazonalizada e os períodos. Esa relação pode ser represenada pela fórmula: R N + = T eq(30) Assim, aravés da regressão linear são definidos os valores iniciais do nível ( N 0 ) e da endência ( T 0 ). O nível será obido pelo inercepo e a endência pelo coeficiene angular (ou inclinação). Ao conrário do méodo de Hol, não se pode aplicar a regressão linear direamene na demanda original, pois a série em embuida em si a sazonalidade, o que disorceria o resulado da regressão. A seguir calcula-se, enão, os faores sazonais (S) para cada período da série hisórica. Para al, basa dividir a demanda original pela demanda dessazonalizada: S / = R R. eq(31)

22 46 A parir da periodicidade p são esimados os valores iniciais dos faores de sazonalidade para cada período sazonal ( S ), aravés da média simples dos períodos que o compõem. Por exemplo, dada uma série hisórica com um período sazonal de rês meses de um oal de doze, o que significa quaro períodos de sazonalidade anuais, obem-se os faores de sazonalidade da seguine forma: S = ( S1 + S5 + 9)/3 eq(3) 1 S S = ( S + S6 + 10)/3 eq(33) S S = ( S3 + S )/3 eq(34) 3 S S = ( S 4 + S8 + 1)/3 eq(35) 4 S Cabe aqui desacar que no caso de sazonalidade muliplicaiva, a soma dos faores sazonais é igual a S (por exemplo, no caso de dados mensais, S = 1). Já na sazonalidade adiiva, a soma dos faores sazonais é sempre igual a zero. A parir das consanes de amorecimeno (α, β e γ ), dos valores iniciais do nível (N), endência (T) e sazonalidade (S) e das fórmulas apresenadas podese aualizar as esimaivas ao longo do empo e aplicar a equação de previsão. Os faores sazonais serão aualizados somene cada vez que o período sazonal for compleo Modelos ARIMA de BO e JENKINS Os modelos de Box-Jenkins ambém conhecidos como ARIMA, sigla para Auo Regressive Inegraed Moving Averages (auo-regressivos inegrados de médias móveis), buscam explicar o comporameno das séries aravés da auocorrelação emporal enre os seus valores. O pono chave do processo é a busca da esruura de correlação que melhor represene ese comporameno.

23 47 Os modelos ARIMA são formados por rês filros: o componene auoregressivo (AR), o filro de inegração (I) e as médias móveis (MA). O componene AR indica quão relacionados esão os valores sucessivos da série analisada (defasagens emporais ou ime lags ). A idenificação do número de ermos necessários é feia aravés da análise dos coeficienes de auocorrelação parcial. O filro de médias móveis (MA) busca a mesma relação, só que enre os erros da série. Aqui serão inroduzidos alguns conceios imporanes para a aplicação dos modelos ARIMA: 1. Esacionariedade: Uma série é dia esacionária quando esá em equilíbrio, o que significa que ano a média quano a variância são consanes ao longo da série e a sua covariância é função da defasagem enre os insanes (ou lags). Desa forma, como primeiro passo para se iniciar a modelagem Box-Jenkins, deve-se ransformar a série para orná-la esacionária. O filro de inegração refere-se exaamene ao processo de modificação da série original aravés de diferenças sucessivas aé que ela eseja em equilíbrio ou esacionária, de forma a permiir a idenificação de odos os seus padrões de comporameno;. Auocovariância de lag k: Segundo Souza (1991) é a covariância enre e o seu valor +, separado por k inervalos de empo. Sendo k { :=1,,3,4,...,T}, podemos defini-la como: T 1 γ = ( µ )( µ ) eq(36) k T k 1 = k K 3. Auocorrelação de lag k (ACF): Segundo o mesmo auor, a auocorrelação serve para medir a exensão para a qual o valor omado no empo é dependene do realizado no empo -k. O gráfico da auocorrelação ao longo de k é denominado de correlograma e é fundamenal para idenificação da esruura de um processo ARIMA.

24 48 Souza (1991) ainda comena que para se ober uma boa esimaiva da função de auocorrelação, necessiamos de pelo menos 50 observações. A sua fórmula é dada por: T ( µ )( k µ ) = k + 1 ρ k = T eq(37) ( ) = k + 1 K 4. Auocorrelação Parcial (PACF): Segundo Souza (1991), é a medida de correlação enre duas observações, eliminando-se a dependência exisene enre as observações inermediárias. Considerando-se quaro observações 1,, 3 e 4, denomina-se correlação parcial quando se deseja saber a correlação enre e 4, eliminando-se a influência de 3, por exemplo. O gráfico de PACF ambém é imporane para a análise da esruura deses modelos; 5. Ruído branco: É uma seqüência de valores aleaórios independenes e idenicamene disribuídos. Em geral, supõe-se que eles apresenem disribuição normal com média zero, variância consane e função de auocorrelação nula em odos os lags de empo; 6. Operador de araso: Represena uma defasagem de k períodos de empo para rás. Sua noação é dada por: B k = eq(38) k Ouro conceio não menos imporane é o de modelo linear. Segundo Souza (1991), busca-se aravés da análise de um conjuno de observações, com duas ou mais variáveis, explicar o comporameno de uma delas em função de oura. Ora, se as observações esão indexadas no empo, aravés da aplicação da Teoria de Funções de Transferência em sisemas lineares, conseguimos converer uma série inpu - ruído branco - em oura oupu - processo esocásico esacionário. A figura 3, a seguir, represena o processo.

25 49 Figura 3 Represenação esquemáica de um modelo linear. FONTE: Meodologia Box & Jenkins para Séries Temporais (1991) Assim, segundo Souza (1991), uma classe muio imporane de processos esocásicos,, é conseqüência da passagem de um processo ruído branco aravés de um filro linear. Freqüenemene a filragem linear é apenas uma combinação linear de observações passadas e presenes da série original. Maemaicamene eremos: Onde: - k = k = 0 ψ a eq(39) k k θ q ( B) ψ é o filro linear definido por: ψ k = ; φ ( B) - a k - Ruído branco ou resíduo. p Desa forma, os modelos ARMA(p,q) de Box & Jenkins podem ser escrios como: φ p ( B ) = θ q ( B) a eq(40) AR MA Onde: B - operador de defasagem com noação B k = ; k φ p - Polinômio de grau p, denominado AR(p); θq - Polinômio de grau q, denominado MA(q). Os modelos são conseqüência direa da ineração dos rês filros conceiuados aneriormene ou de pare deles. A eapa de idenificação da

26 50 esruura dos modelos é complexa, mas aualmene já exisem sofwares que auxiliam na modelagem do processo. Ae o momeno pariu-se do pressuposo que as séries emporais eram esacionárias. Conudo, evenualmene pode-se deparar com séries nãoesacionárias, sendo necessário, enão, ransformá-las. A ransformação mais comum se dá aravés do cálculo de diferenças sucessivas enre os ermos da série, aé que se obenha uma série esacionária. A primeira diferença de será definida por: d = eq(41) 1 Ese ermo é ambém denominado operador de diferença. Caso, a série permaneça não esacionária, deve-se proceder com a segunda diferença: d [D ] = D [ 1 ] = 1 eq(4) Segundo Barros (004): genericamene, a série final esacionária será obida pela aplicação de d (d=0,1,,3,...) diferenças na série original. Sua noação será dada por W d =. Em seguida, modela-se a série esacionária obida, uilizando-se a modelagem ARMA (p,q) apropriada. Os modelos são indicados por ARIMA (p,d,q), onde os parâmeros do modelo são: ordem do polinômio auo-regressivo (p), número de diferenças (d) e ordem do polinômio de médias móveis (q) Modelo Auo-regressivo (AR) Conforme mencionado aneriormene, no modelo AR a série das observações hisóricas é descria pelos seus valores passados regredidos e pelo ruído aleaórioε. O modelo auo-regressivo de ordem p pode ser descrio como:

27 51 = φ φ + φ3 3 + (...) + φ p p + ε eq(43) Onde: - Valor da série emporal no insane ; ε - Resíduo ou erro aleaório; φ p - Parâmero que descreve como se relaciona com p B, assim: O modelo AR(p) pode ser reescrio uilizando-se o operador de defasagem (1 φ B φ B... φ B ) = ε φ( B) = ε p 1 p eq(44) A especificação do grau do polinômio p, que irá deerminar o número de ermos da equação geral, passa pela análise dos coeficienes de auocorrelação e auocorrelação parcial. Segundo Barros (004), num processo AR(p), as auocorrelações parciais são nulas para odos os lags maiores que p. Assim, numa represenação gráfica do PACF pode-se idenificar o grau do modelo AR(p). A seguir, na figura 4, veremos um exemplo de gráfico do PACF, indicando um modelo AR(1). Figura 4 Gráfico PACF de uma série, indicando um modelo AR(1).

28 5 Um modelo AR(1) erá a seguine forma: = φ ε eq(45) Para o modelo ser considerado esacionário, se faz necessário que φ < 1 1 e que as auocovariâncias sejam independenes. Já um modelo AR(), assumirá a forma: = φ φ + ε eq(46) Após definido o grau da equação, omando como exemplo uma equação AR(), deveremos esimar os valores de φ1 eφ. O criério é buscar a minimização do MSE. Assim, rearranjando a equação de AR(), obém-se: ε ( φ φ ) eq(47) = Sendo que deve-se minimizar ε i. n Modelo de Médias Móveis (MA) Segundo Makridakis (1978): Exisem alguns padrões de comporameno das séries emporais que não serão idenificados e isolados pelos modelos AR(p). Conudo, exise ouro ipo de modelo, chamado de médias móveis, ou moving average, MA(q), que poderá auxiliar na idenificação deses padrões. Qualquer série emporal discrea pode ser expressa como um modelo AR e/ou MA. Enquano os modelos AR(q) buscam as previsões da série com base na combinação linear dos seus (p) valores passados, os modelos MA(q) realizam as previsões com base na combinação linear dos erros passados.

29 53 como: O modelo de médias móveis MA(q) pode ser descrio, na sua forma geral, = ε θ ε θ ε (...) θ ε 1 1 q q eq(48) Onde: - Valor da série emporal no insane ; ε - Resíduo ou erro aleaório no insane. θ p - Parâmero de média móvel que descreve como se relaciona com p O modelo de médias móveis de ordem q, ou MA(q), pode ser reescrio uilizando-se o operador de defasagem B, assim: (1 θ B θ B... θ B ) ε = θ ( B) ε = p 1 p eq(49) A exemplo do que ocorre com a classe de modelos AR(p), a idenificação adequada do valor de q passa pela análise dos coeficienes de auocorrelação e auocorrelação parcial da série. O modelo mais simples de médias móveis é o de grau um, ou MA (1), represenado pela fórmula: = θ1ε 1 ε eq(50) O modelo MA() é represenado por: = θ1ε 1 θ ε ε eq(51) O grau q deve ser esimado buscando-se ambém a minimização do MSE Modelos Auo-regressivos de Médias Móveis (ARMA) Em alguns casos é necessário combinar as esruuras AR(p) e MA(q), gerando um modelo ARMA (p,q). Segundo Makridakis, o desempenho

30 54 combinado dos dois modelos será melhor do que se for rabalhado com o modelo AR(p) e MA(q) separadamene, resulando em modelos mais parcimoniosos. A expressão geral do modelo é dada por: = φ + φ + (...) + φ + ε θ ε θ ε (...) θ ε 1 1 p p 1 1 q q eq(5) O modelo ARMA(1, 1) é descrio como: = ε θ1ε 1 φ eq(53) O modelo ARMA(, 1) é descrio como: = φ + ε θ1ε 1 φ eq(54) Segundo Makridakis, para uma série esacionária a meodologia proposa por Box e Jenkins pode ser resumida em rês fases disinas: 1. Idenificação: O objeivo desa fase é selecionar o modelo ARMA(p,q) mais adequado para se descrever os padrões de comporameno da série hisórica. Aqui serão analisados os dados hisóricos e os comporamenos das funções de auocorrelação (ACF) e auocorrelação parcial (PACF), idenificando desa forma os graus (p,q) do modelo;. Esimação e ese: A parir do momeno em que os valores (p, q), são idenificados, esima-se os parâmeros φ do modelo AR, θ do componene MA e a variância dos resíduos. A parir da análise da ACF e PACF deses resíduos em-se condições de avaliar se o modelo é adequado ou não. Para iso, esas correlações deverão ser insignificanes, o que indicaria que o modelo esá represenando adequadamene o padrão de comporameno da série. No caso do modelo não ser adequado, o ciclo é repeido, reornando-se à fase de idenificação. Alguns auores sugerem a idenificação de mais de um modelo simulaneamene, que ambém serão esimados e verificados.

31 55 3. Previsão: Nesa eapa em-se a aplicação do modelo para a previsão dos números fuuros. Cabe ressalar que a meodologia sugerida acima pressupõe que a série esudada é esacionária. Se a série original não for esacionária, diferenças sucessivas deverão ser previamene aplicadas de forma a orná-la esacionária. Em ouras palavras, a ordem da definição (d), já foi idenificada. A figura 5 ilusra de forma resumida o processo. Figura 5 Abordagem do méodo de Box-Jenkins FONTE: Adapado do livro Forecasing Mehods and Applicaions, Makridakis Segundo Granger e Newbold (Forecasing Economic Time Series, 1986), os modelos de Box-Jenkins necessiam de uma série emporal de cinco a dez anos de dados hisóricos mensais (enre sessena a ceno e vine observações) para

32 56 produzir análises com precisão adequada. Makridakis (Forecasing Mehods and Applicaions, 1978) sugere que, no mínimo, de quarena a cinqüena observações são necessárias para se avaliar adequadamene os padrões exisenes numa série emporal Idenificação Na descrição dos modelos, mencionou-se que a idenificação do grau, ou valores dos ermos q e p, são feios aravés da análise dos coeficienes de auocorrelação (ACF) e auo-correlação parcial (PACF) da série emporal. A idenificação dos modelos pode ser feia aravés da observação deses gráficos. Nese ópico, serão demonsrados os comporamenos eóricos de ACF e PACF para os modelos AR e MA. Será apresenada aqui uma abordagem superficial, baseada em Makridakis, mas suficiene para uma primeira abordagem do assuno. O modelo AR(p) é idenificado examinando-se o gráfico da função PACF. Nese caso o gráfico deverá cair abrupamene após algumas observações. Assim, o grau dese modelo será indicado pelos primeiros lags significaivamene diferenes de zero. Já a sua função ACF apresena uma queda endendo a zero aravés de uma curva exponencial (vide figuras 6 e 7, a seguir).

33 57 Figura 6 Gráficos Teóricos de ACF e PACF de uma série, indicando um modelo AR(1). FONTE: Adapado do livro Forecasing Mehods and Applicaions, Makridakis Figura 7 Gráficos Teóricos de ACF e PACF de uma série, indicando um modelo AR(). FONTE: Adapado do livro Forecasing Mehods and Applicaions, Makridakis Com o modelo MA(q) ocorre exaamene ao conrário, no gráfico de ACF, os valores dos coeficienes caem abrupamene após q lags. Já o gráfico de PACF decai exponencialmene, conforme pode-se observar nas figuras 8 e 9. Figura 8 Gráficos Teóricos de ACF e PACF de uma série, indicando um modelo MA(1) FONTE: Adapado do livro Forecasing Mehods and Applicaions, Makridakis 1978.

34 58 Figura 9 Gráficos Teóricos de ACF e PACF de uma série, indicando um modelo MA(). FONTE: Adapado do livro Forecasing Mehods and Applicaions, Makridakis Os modelos misos ARMA (p,q), combinam as caracerísicas e as propriedades dos dois modelos que a compõem. Ou seja, apresenam comporamenos similares nas funções de ACF e PACF, gerando gráficos semelhanes, com várias possibilidades de padrões. Makridakis desaca que a principal eapa da meodologia Box-Jenkins é idenificar o modelo ARMA (p,q) mais apropriado aravés da análise das funções ACF e PACF, mas não de forma auomáica pois necessia do julgameno humano. Esa análise é dividida em rês eapas: 1. Verificar se a série é esacionária ou não. Caso não seja, proceder com os devidos ajuses;. Avaliar os gráficos de ACF e PACF para se idenificar o modelo mais adequado; 3. Analisar as correlações de forma a se definir o grau de cada modelo Modelos Sazonais O méodo de Box-Jenkins ambém pode ser adoado para as séries emporais que apresenem padrões de comporameno periódico, ou seja, que se repeem em

35 59 S períodos de empo (sazonalidade). Sua idenificação segue o mesmo méodo descrio para as séries não sazonais. O modelo geral é dado pela equação 55, apresenada a seguir: (1 φ B φ B 1 (1 θ B θ B 1... φ B p q p )(1 Φ B q... θ B )(1 Θ B Θ B 1 1 S Φ B S... Φ... Θ QS P B B QS PS ) ε ) = eq(55) Onde: Φ e Θ - Parâmeros do modelo sazonal; φ e θ - Parâmeros do modelo não-sazonal; S Comprimeno da sazonalidade (S = 1 para dados mensais); (1 φ B φ B 1... φ B p p grau p com operador de defasagem B; (1 Φ B 1 S Φ B S... Φ B grau P com operador de defasagem B; (1 θ B θ B 1... θ B q q grau q com operador de defasagem B; ) - Refere-se ao ermo auo-regressivo não-sazonal de P PS ) - Refere-se ao ermo auo-regressivo sazonal de ) - Refere-se à pare não-sazonal de médias móveis de QS (1 Θ B Θ B... Θ ) Refere-se à pare sazonal de médias móveis de 1 QS B grau Q com operador de defasagem B; ε - Erro. Desa forma, em-se a represenação do modelo ARMA (p,q) (P,Q) onde p e q referem-se aos graus dos polinômios dos modelos auo-regressivo e de médias móveis não-sazonais, respecivamene. Já P e Q referem-se aos graus dos modelos auo-regressivo e médias móveis sazonais. Cabe desacar que para se aplicar a meodologia de Box-Jenkins nas séries emporais com sazonalidade, ambém se faz necessário que a série seja esacionária, ou seja, em que er média e variância consanes ao longo da série e covariância como função da defasagem enre os lags.

36 60 No caso da série emporal não ser esacionária e possuir sazonalidade, eremos um modelo ARIMA (p,d,q) (P,D,Q), onde d represena a ordem de diferenciação não sazonal e D a ordem de diferenciação sazonal. Esas diferenciações, a exemplo do modelo sem sazonalidade, ocorrem da seguine forma: W (diferença) eq(56) d = = 1 W D = = S (diferença sazonal) eq(57) A definição da esacionaridade será feio observando-se a função de auocorrelação da série. Esa função ambém mosrará se há componene sazonal, o que é observado quando esa segue um padrão gráfico de picos periódicos..4. MEDIDAS DE ERRO NA PREVISÃO O processo de previsão da demanda em como pressuposo básico que, ao se uilizar informações passadas, obem-se uma boa direriz sobre o que ocorrerá no fuuro. Conudo, não exise uma garania que o conhecimeno sobre o passado rará informações exaas sobre ese fuuro. Sempre exisirá uma incereza vinculada às previsões. Desa forma, não se pode simplesmene implemenar um modelo de previsão de demanda sem acompanhar o seu desempenho ao longo do empo. Quando um modelo de previsão é selecionado, busca-se a maior precisão possível, ou seja, a menor diferença que possa exisir enre a demanda realizada e a previsão. Esa diferença é chamada erro de previsão ou resíduo e da mesma forma que os dados passados razem informações valiosas sobre o comporameno fuuro, ambém deve-se considerar que os erros decorrenes das previsões devem ser avaliados com basane criério, pois ambém podem razer quesões imporanes para a gesão do processo em quesão. Dois aspecos jusificam a análise deses erros:

37 61 1. Com base no comporameno dos erros, pode-se chegar à conclusão que é necessário o ajuse do modelo ou aé mesmo a roca do méodo inicialmene selecionado. Em ouras palavras, raa-se do nível de desempenho do méodo aplicado;. Por ouro lado, uma esimaiva precisa de erro pode auxiliar ao gesor a monar planos de coningência, como por exemplo, níveis de esoques de segurança ou políicas de compras. Onde: Conforme conceiuado aneriormene, a fórmula básica do erro é: E = R P eq(58) P - Previsão para o período ; R - Demanda real ocorrido em ; Obviamene, o erro negaivo indica que a previsão gerada ficou acima do realizado, assim como o erro posiivo mosra que a previsão ficou abaixo do realizado. Esa definição de erro é, em geral, chamada em Esaísica de resíduo, pois corresponde a uma quanidade observável, enquano o erro de um modelo é uma variável aleaória não observável, suposamene com média zero e variância consane. Exisem vários indicadores disponíveis para a mensuração da precisão dos méodos de previsão. A seguir alguns deles serão apresenados:.4.1. Erro Absoluo Médio (MAD) O Erro Absoluo Médio, ambém conhecido como MAD (Mean Absolue Deviaion) é um indicador basane adoado, uilizado quando o gesor quer avaliar o erro na mesma unidade de medida da série original. O valor absoluo do

38 6 erro é uilizado para se eviar que os erros posiivos anulem os erros negaivos. A sua fórmula é dada por: MAD n R P = = 1 n eq(59).4.. Erro Percenual Absoluo Médio (MAPE) O Erro Percenual Absoluo Médio, ou MAPE (Mean Absolue Percenual Error) é o erro médio em porcenagem, ao invés de quanidade. Ese indicador é úil para deerminar a ampliude do erro da previsão em relação aos valores da série hisórica. Sua fórmula é dada por: n R P / R = MAPE = 1 n.4.3. Erro Quadráico Médio (MSE) eq(60) Oura medida de erro de previsão basane uilizada é o Erro Quadráico Médio (EQM), em inglês, Mean Squared Error. Sua fórmula é dada por: MSE n = = 1 ( R P ) n eq(61) Esa medida amplifica o efeio dos ouliers, que recebem uma grande imporância quando deveriam ser desconsiderados da previsão. Oura caracerísica dese indicador é que sua unidade de medida é a unidade do valor real ao quadrado. Ese fao é resolvido adoando-se a raiz quadrada do MSE, ou RMSE (Roo Mean Squared Error). RMSE = n =1 ( R P ) n = MSE eq(6)