ANÁLISE DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR QUE CARACTERIZA A QUANTIDADE DE SAL EM UM RESERVATÓRIO USANDO DILUIÇÃO DE SOLUÇÃO

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1 ANÁLSE DE UMA EQUAÇÃO DFERENCAL LNEAR QUE CARACTERZA A QUANTDADE DE SAL EM UM RESERATÓRO USANDO DLUÇÃO DE SOLUÇÃO Alessandro de Melo Omena Ricardo Ferreira Carlos de Amorim 2 RESUMO O presene arigo em o objeivo de analisar a solução de uma equação diferencial linear de primeira ordem com um problema de valor inicial. Para iso enconrou-se uma solução analíica do modelo de escoameno para um reservaório a parir da equação da coninuidade. Em seguida foi considerado um reservaório supondo comporar água pura. Poseriormene, foi sugerido um modelo de equação diferencial para deerminar a quanidade de sal que enra no reservaório mediane a inrodução de solução que conenha cera quanidade de sal, e à medida que ocorre a enrada de água salgada, a solução formada é reirada do reservaório na mesma razão. Levou-se em consideração que o sisema após ser misurado, seja homogêneo. Por fim, enconrou-se uma solução do modelo maemáico usando o méodo analíico sugerido inicialmene (modelo linear simples). Comprovou-se pelo modelo um equilíbrio enre a solução com sal injeado e a solução no reservaório. Pode-se enender melhor o modelo usando-se valores numéricos para uma siuação real de um reservaório, desacando-se a imporância dos modelos maemáicos no manejo de peixes ou organismos aquáicos para comercialização. PALARAS-CHAE: Equação Diferencial, Modelo Hidrológico, Escoameno Superficial. ABSTRACT This paper has he objecive of analyzing he soluion of a firs order linear differenial equaion wih a problem of iniial value. For ha, an analyical soluion of he flow model for a reservoir was found, from he coninuiy equaion. Afer ha, a reservoir supposedly conaining pure waer was considered. Laer, i was suggesed a model of differenial equaion o deermine he amoun of waer enering he reservoir, hrough he inroducion of a soluion conaining cerain amoun of sal, and as he enering of waer occurs, he soluion formed is aken ou of he reservoir in he same raio. was considered ha he sysem, afer being mixed, is homogeneous. Finally, a soluion of he mahemaical model was found, using he analyical mehod iniially suggesed (simple linear model). was confirmed by he model ha here is equilibrium beween he sal soluion injeced and he soluion in he reservoir. is possible o beer undersand he model using numerical values for a real siuaion, emphasizing he imporance of mahemaical modeling in he managemen of fishes and aquaic organisms for commercializaion. eywords: Differenial Equaion, Hidrology Model, Surface Flow. Mesrando em Processos de Superfície Terresre-Meeorologia (Modelagem Maemáica) pelo CAT/UFAL. Campus A.C. Simões, S/N BR 04-km 4. Tabuleiro do Marins. CEP: Fone: (0XX82) melomena@ccen.ufal.br 2 Prof. Dr. do Programa em Pós-graduação em Meeorologia do CAT/UFAL e pesquisador em Hidromeeorologia. Fone: (0XX82) rfca@fapeal.br.

2 . NTRODUÇÃO A Modelagem Maemáica permiiu a vários pesquisadores simular diferenes sisemas em diversas aividades e análise do conhecimeno. Nos sisemas de previsão hidrológica são consideradas as variáveis e parâmeros para um dado fenômeno, e com isso uma represenação do comporameno do sisema. Considerando um reservaório com água pura recebendo uma solução salgada a uma razão consane e que a misura obida no reservaório seja homogênea, reira-se a solução formada no reservaório a uma razão consane de modo a ober o modelo maemáico. A solução de um modelo complexo em alguns momenos exige uma solução numérica com o uso de diferenças finias, como por exemplo, rabalhos com organismos aquáicos, culivo e manejo de peixes para comercialização. Nese caso a função dada é definida só nos ponos discreos (Bourchein, 998), o que não será objeivo desse rabalho, a princípio. O presene arigo preende analisar uma equação diferencial que caraceriza a quanidade de sal no reservaório usando diluição de solução. Denre al objeivo, considera-se a análise de um modelo que dá a quanidade de sal em kg presene no reservaório. 2. METODOLOGA A equação analisada raa do cálculo de primiivas, ou seja, de enconrar uma função incógnia como solução do modelo de equação diferencial. Com isso, a forma geral das equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem em a seguine forma: Y P( Y = Q( () onde dy Y = e P( e Q( são funções conínuas R. Nese esudo a equação () apresena uma siuação inicial básica de ober-se a solução geral da equação, ou seja, uma solução que permia envolver odas as suas soluções e depois enconrar uma solução paricular para um valor inicial dado (FGUEREDO & NEES, 2005). Para obenção da solução analíica da equação diferencial linear de primeira ordem, que irá represenar o reservaório, no caso geral, é feia aravés do uso de um faor inegrane ( (BRONSON, 994). Para deerminá-lo, muliplica-se a equação () por (. Assim, emos: (( Y P( Y ) = (Q(

3 Com isso busca-se ( de al forma que o primeiro membro seja a derivada do produo do faor inegrane ( com a função incógnia Y, ou seja, ( Y P( Y ) = d (Y) = Y Y dx Segue, porano que: Com isso em-se o faor inegrane: Y = P( Y ( P( = P( d (ln ) = P( ln = P( O modelo de equação da coninuidade para o escoameno de um reservaório (TUCC, apud ZOCH, 998), pode ser da seguine forma: ds = Q (2) ds onde S corresponde ao armazenameno, é a vazão de enrada, Q é a vazão de saída e a axa de variação do armazenameno em função do empo. Considerando que o armazenameno e a vazão de saída sejam lineares, enão: S = Q (3) Derivando a equação (3) em função de, vem: ds dq = (4) Subsiuindo a equação (4) na equação (2), emos: dq Q = (5) Considerando a vazão de enrada consane, em-se o modelo de equação diferencial linear ordinária que irá represenar o reservaório: dq Q = (6)

4 3. RESULTADOS E DSCUSSÕES A solução geral analíica para a equação (6), será apresenada pela vazão de saída Q em função do empo, e desaca-se P( = para o cálculo do faor inegrane (x). Assim, membros da equação (7), vem que: ( P( (, muliplicando ese faor inegrane em ambos os e l [ Q Q] = e e l Q Qe d [ Qe ] d [ Qe ] = e Qe = e C, onde C é consane arbirária Qe C, dividindo por e Q( = ce (7) 3 A equação (7) represena a vazão de saída (em m / s ) do reservaório para cada insane. Baseado nas equações iniciais considerou-se um reservaório conendo cero volume, em liros, de água sem sal (água pura), onde começa a receber uma quanidade de água salgada a razão consane de a liros por segundo. Simulaneamene a enrada de água salgada, começa a reirar do reservaório a solução formada, a razão de a' liros por segundo. Em relação à quanidade de sal na vazão de enrada propõem-se c kg de sal por liro. Tomou-se y( como sendo a quanidade de sal, em g, denro do reservaório em função do empo. Enão, pode-se considerar a sua concenração pela fórmula: y (g/l) (8)

5 Com isso, em-se a seguine equação diferencial: dy onde, é a variação da quanidade de sal em função do empo, no reservaório por segundo e dy y = ac a (9) v y a corresponde quanidade de sal no reservaório. ac é a quanidade de sal que enra Observa-se que a equação (9) é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e sua solução, conforme viso na meodologia, é: a y( = c ( ke ) (0) A equação (0) corresponde à solução geral da equação (9). Para ober-se uma solução paricular usa-se o problema de valor inicial y(0) = 0. Assim, em-se: a y( = c ( e ) () Fazendo uma avaliação da equação (), observou-se que quando o empo aumena y ( consideravelmene, a concenração de sal no reservaório ende a quanidade de sal c g/l de solução recebida. O que comprova maemaicamene um equilíbrio enre a solução que enra (no caso a que coném sal), com a solução no reservaório considerado.

6 4. CONCLUSÕES - A quanidade de sal que enra no reservaório ende a um equilíbrio da quanidade de sal no mesmo, o que evidencia a poencialidade do modelo; - Uma das imporâncias desse ipo de modelagem se dá pelo manejo de esoques pesqueiros, no senido de aender a demanda comercial, aumenando de forma significaiva o consumo de pescados; - Modelagem é um méodo de resolução de problemas mulidisciplinar, que exige o rabalho conjuno de engenheiros, meeorologisas, maemáicos, economisas, biólogos e ouros. - É imporane frisar esudos mais dealhados sobre rabalhos dessa naureza, endo em visa que os mesmos são complexos, no senido de explicar os organismos aquáicos. 5. AGRADECMENTOS O primeiro auor agradece o financiameno obido pela Coordenação de Aperfeiçoameno de Pessoal de Nível Superior, CAPES, Brasil e as consanes revisões do segundo auor. 6. REFERÊNCAS BBLOGRÁFCAS BOURCHTEN, Andrei. nrodução aos Méodos Numéricos da Hidrodinâmica. Peloas: Ed. da Universidade Federal de Peloas, 997. TUCC, Carlos E. M. Modelos Hidrológicos. Poro Alegre: Ed. Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Associação Brasileira de Recursos Hídricos, 988. BRONSON, Richard. Moderna nrodução às Equações Diferencias. São Paulo: Mcgraw-Hill do Brasil, 994. FGUEREDO, Djairo Guedes & NEES, Aloísio Freiria. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio de Janeiro: MPA, 2005.