Crescimento e Flutuações Licenciatura em Economia FEUC ( ) Lição 2 - Crescimento neoclássico com poupança exógena

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1 Crescimeno e Fluuações Licenciaura em Economia FEUC ( ) Lição 2 - Crescimeno neoclássico com poupança exógena Sumário 2.2 Modelo de crescimeno com poupança exógena, sem progresso écnico e com um facor acumulável Inrodução 2.2. Hipóeses Exisência de equilíbrio Esabilidade Trajecórias de equilíbrio das variáveis endógenas Dinâmica de ransição Predições do modelo 2.3 Modelo de crescimeno neoclássico, unisecorial, com PT e com axa de poupança exógena Inrodução 2.3. Hipóeses Exisência de equilíbrio Esabilidade Trajecórias de equilíbrio das variáveis endógenas Dinâmica de ransição Predições do modelo Adelaide Duare 8

2 2.2. Inrodução O modelo de crescimeno de Rober Solow de 956 é um modelo de crescimeno de equilíbrio de longo prazo, unisecorial (bem produzido indiferenciado, capial homogéneo), com axa de progresso écnico e axa de crescimeno da população exógenas, axa de poupança consane e um facor acumulável que é o capial físico. No quadro do modelo de Solow prova-se a exisência de solução de equilíbrio de longo-prazo, a solução não rivial é única se a função de produção for bem comporada e a solução é esável. No que se segue, recapiularemos o modelo de crescimeno de Solow. Toma_se como pono de parida um modelo análogo mas sem progresso écnico que permie evidenciar as caracerísicas de uma economia esacionária e desacar, pela negaiva, que o moor do crescimeno é o progresso écnico. O modelo de Solow não é só reviso é ambém aprofundado já que ceras propriedades do modelo serão deduzidas (ver ponos A, B, C e D). Ineressa-nos elucidar o esudane sobre as predições qualiaivas e quaniaivas do modelo de Solow o que nos leva a quanificar os efeios permanenes de nível, decorrenes de uma variação da axa de poupança e a velocidade de convergência da economia para a siuação de equilíbrio de longo-prazo Hipóeses Função de Produção Cobb-Douglas: α α Y = F( K, L) = K L (2.) FK > 0, FKK < 0 FL > 0, FLL < 0 Comporameno das Empresas (2.2) Max F(K,L) r.k w.l K,L Condições de ª ordem: (2.3) = = α = α Y α α w F ( )K L ( ) L L ou ainda: L (2.4)( α ) = w. Y A elasicidade do produo relaivamene ao facor rabalho é igual à paricipação do rabalho no rendimeno nacional se o salário real for o de equilíbrio. α α Y (2.5) r= F =α K L =α, ou ainda: K K Adelaide Duare 9

3 (2.6) K α= r. Y A elasicidade do produo relaivamene ao facor capial é igual à paricipação do capial no rendimeno nacional se a axa de lucro for a de equilíbrio. Rendimeno Nacional (eorema de Euler): Y= w.l+ r.k (2.7) Y Y Y = ( α )..L +α.k L K O rendimeno nacional esgoa-se em salários e lucros se as remunerações dos facores de produção forem as de equilíbrio (2.5), (2.6). É úil rabalharmos com a função de produção por rabalhador para podermos deerminar a solução de equilíbrio esacionário. A rescria da F.P não coloca nenhum problema já que se raa de uma função de produção com rendimenos consanes à escala. Função de Produção por rabalhador: K K Y = LF(,) com F( ) = f () L L (2.8) Y = f() wih = L (2.9) f () > 0, f () < 0 Produividade marginal do capial: (2.0) K Y dl K [ f() ] ( ) = F(,) + L L K dk L K [ f() ] seja = f () K Y dl K ( ) = F(,) + Lf () L K dk L K Y = 0.f() + Lf () = f () K L Produividade marginal do rabalho: Adelaide Duare 0

4 (2.) K Y dl ( ) = f() + Lf () L L dl L Y dl K K.L = f () + Lf () = f () f () 2 L dl L L.L Y f().f = () L Vamos proceder de forma análoga considerando agora uma especificação paricular da função de produção: Cobb-Douglas por rabalhador. α α- K Y K α (2.2) Y=L =L. = α L L L α =() Produividade marginal dos facores: Y α Y α (2.3) = α and =(- α) K L Em equilíbrio, os salários e os lucros esgoam o rendimeno nacional: Y = f().f () L + f ()K (2.4) [ ] [ α] [ α ] [ ] ( ) Y = ( α ).L+ α.k Y = ( α ).L+ α.l= K L α α α α Condições de INADA: f(0) = 0 limf (0) = 0 (2.5) f( ) = limf ( ) = 0 Condição de Acumulação: K= sy δk (2.6) sy = I, invesimeno bruo A adição líquida ao soc de capial é o invesimeno líquido que é a diferença enre o invesimeno bruo e a reposição de capial. A axa de crescimeno do soc de capial é consane nese ipo de modelo, implicando axas de crescimeno idênicas do produo e do capial. Adelaide Duare

5 (2.7) K Y = 0 s. δ = 0 d K d K Y Y = 0 = cons d K K K Y = K Y Mercado de rabalho n L = L e 0 L (2.8) = n L L = L D O A ofera de rabalho é uma variável exógena, cresce à axa consane n, e há equilíbrio no mercado. Equação dinâmica (2.9) = K L K L Tendo em cona (2.6) e (2.8) virá: (2.20) = s ( δ+ n) ou ainda: (2.2) = s ( δ+ n) Traa-se da equação dinâmica do modelo, a axa de crescimeno insanânea do capial por rabalhador é igual ao invesimeno bruo menos o invesimeno de reposição e o invesimeno em capial necessário para empregar os novos rabalhadores. (2.22) > 0 s > ( δ+ n) = 0 s = ( δ+ n) < 0 s < ( δ+ n) Exisência de equilíbrio Exise equilíbrio esacionário de SSG quando a axa de crescimeno do capial por rabalhador é nula. Assinalemos com * as soluções de SSG Adelaide Duare 2

6 (2.23) = 0 = * e =*, α α α s s * = e * = n+ δ n+ δ Diagrama - Equilíbrio de SSG f() * (n+δ) s.f() * Esabilidade Diagrama 2 Dinâmica de Ajusameno * > 0 [s.f()]/ < 0 (n+δ) * Trajecórias de equilíbrio das variáveis endógenas Adelaide Duare 3

7 Em siuação de SSG, as variáveis por rabalhador são consanes, e na ausência de progresso écnico, o produo e o capial crescem à axa de crescimeno da ofera de rabalho, n. (2.24) = 0 = * e =*, = * = 0 =* = 0 (2.25) Y K = n =n devido a (2.24) e a (2.8). Y K Predições do modelo Efeios da aleração da axa de invesimeno: Suponhamos que aumena a axa de invesimeno (s 2 >s ), a) Quais as consequências sobre o produo de SSG e b) sobre a axa de crescimeno do produo por rabalhador? a) Exise uma relação posiiva enre a axa de invesimeno e o produo de SSG. Para que o produo de SSG mais elevado seja aingido é necessário que ocorra uma fase de ajusameno durane a qual o produo irá crescer a uma axa mais elevada do que a axa n. Finda essa fase, o produo crescerá de novo à axa n. Diagrama 3 Efeios de Nível Permanenes lny (2.26) [ [ ] ] [ ] n Y Ye para 0,* **, o n Y > Ye para *,** o = logo: ln Y = ln Y + n para 0,* **, o ln Y > ln Y + a para *, ** o * ** [ [ ] ] [ ] Assim, na fase de ransição a axa de crescimeno de Y é superior a n, ou o que é equivalene, a axa de crescimeno do produo por rabalhador é posiiva. Adelaide Duare 4

8 Diagrama 4 Efeios de Crescimeno Transiórios * ** (2.27) = 0 para 0,* **, [ [ ] ] > 0 para *, ** [ ] Podemos agora expliciar algumas previsões qualiaivas de crescimeno no seio dese modelo neoclássico sem PT.. Na ausência de progresso écnico, as variáveis por rabalhador não crescem. Isso significa que esamos em presença de uma economia esacionária em que a riqueza medida pelo rendimeno real por rabalhador (per capia), se maném invariane. 2. A parir da análise de SSG, podemos concluir que quano mais elevada for a acumulação de capial físico (s 2 >s ), mais elevados serão o soc de capial por rabalhador e o produo por rabalhador de SSG, o que raduz a exisência de efeios de nível, ver diagrama 3 e (2.26). 3. A parir da análise de SSG, podemos concluir que uma acumulação de capial físico mais elevada (s 2 >s ) não em efeio sobre a axa de crescimeno de SSG das variáveis por rabalhador. O que raduz a inexisência de efeios de crescimeno, só exisem efeios ransiórios de crescimeno durane o período de ajusameno dinâmico, ver diagrama 4 e (2.27). 4. A exisência de rendimenos decrescenes do facor acumulável assegura a convergência para o equilíbrio de SSG. Aliás, a hipóese de rendimenos decrescenes do facor capial garane que quano mais afasada se enconrar a economia da sua siuação de SSG, mais elevada será a axa de crescimeno de curo-prazo da economia, ver diagrama 2. Adelaide Duare 5

9 2.3 Modelo de crescimeno neoclássico, unisecorial com PT e com axa de poupança exógena No que se segue, só realçaremos os aspecos que são novos relaivamene ao modelo anerior Hipóeses Função de Produção Cobb-Douglas: α α Y = F( K, AL) = K ( AL ) (2.28) F > 0, F < 0 F > 0, F < 0 K KK L LL Função de produção por rabalhador: (2.29) = α A α O PT é exógeno, rabalho inensivo (labour augmening) e neuro à Harrod: n A = A e 0 (2.30) A = g A A represena o nível ecnológico e g a axa de progresso écnico. É úil rabalharmos com a função de produção expressa em unidades de rabalho eficiene (ou efecivo), para podermos deerminar a solução de equilíbrio esacionário. Devemos enão exprimir o produo e o capial em unidades de rabalho eficiene. O rabalho efecivo é o rabalho que foi despendido, (AL). Suponhamos que o rabalho efecivo não se alera, como o rabalho é mais eficiene período a período de produção, o número de rabalhadores empregue diminui. Produo e capial em unidades de rabalho eficiene: Y K (2.3) = ; = AL AL A rescria da F.P não coloca nenhum problema já que se raa de uma função de produção com rendimenos consanes à escala Função de Produção em unidades de rabalho eficiene (efecivo): K K Y= AL.F(,) com F( ) = f() (2.32) AL AL = f() (2.33) f () 0, f () 0 > < Adelaide Duare 6

10 Função de produção Cobb-Douglas em unidades de rabalho eficiene: α α α K Y K α Y=K ( AL ) =AL. = α (2.34) ( AL ) AL AL =() α Produividade marginal dos facores: α α Y Y (2.35) = α and =(- α) K L Em equilíbrio, os salários e os lucros esgoam o rendimeno nacional: (2.36) = + Y f().f () L f ()K α α Y = ( α ).L+ α.k α α α Y = ( α ).L+ α.l= K AL α ( ) Condições de INADA: f(0) = 0 limf (0) = 0 (2.37) f( ) = limf ( ) = 0 A condição de acumulação é idênica à do modelo anerior, (2.6). A adição líquida ao soc de capial é o invesimeno líquido que é a diferença enre o invesimeno bruo e a reposição de capial. A axa de crescimeno do soc de capial é consane nese ipo de modelo, implicando axas de crescimeno idênicas do produo e do capial. K Y = 0 s. δ = 0 d K d K Y Y (2.38) = 0 = cons d K K K Y = K Y Equação Dinâmica: Quano ao mercado de rabalho, as condições são idênicas às expliciadas em (2.8), e endo em cona (2.30), (2.9) ransforma-se em: Adelaide Duare 7

11 (2.39) K L A = + K L A (2.40) = s ( δ+ n+ g) ou ainda: (2.4) = s ( δ+ n+ g) Traa-se da equação dinâmica do modelo, a axa de crescimeno insanânea do capial em unidades de rabalho eficiene é igual ao invesimeno bruo menos o invesimeno de reposição, menos o invesimeno em capial necessário para empregar os novos rabalhadores menos o invesimeno que assegura o crescimeno de capial à axa do progresso écnico. (2.42) > 0 s > ( δ+ n+ g) = 0 s = ( δ+ n+ g) < 0 s < ( δ+ n+ g) Exisência de equilíbrio Exise equilíbrio esacionário SSG quando a axa de crescimeno do capial em unidades de rabalho eficiene é nula. O que corresponde a uma axa de crescimeno do soc de capial por rabalhador posiiva e igual à axa de progresso écnico. Solução de SSG: = 0 = * e = *, (2.43) s s * = e * = n+ δ + g n+ δ + g ou ainda: (2.44) = s ( δ+ n+ g) α α α Adelaide Duare 8

12 Diagrama 5 - Equilíbrio de SSG f() * (n g) +δ+ sf () * Esabilidade do equilíbrio Diagrama 6 Dinâmica de Ajusameno > 0 sf () < 0 (n+δ+g) * Adelaide Duare 9

13 2.3.4 Trajecórias de Equilíbrio das variáveis endógenas Em siuação de SSG e na presença de PT, as variáveis medidas em unidades de rabalho eficiene são consanes e variáveis por unidade de rabalhador crescem à axa do progresso écnico. (2.45) (2.46) (2.47) = 0 = * e = *, = * = 0 =* = 0 Y K = n + g =n+g devido a (2.24) e a (2.8). Y K = g =g devido a (2.30) e (2.3) Dinâmica de ransição Efeios da aleração da axa de invesimeno: Suponhamos que aumena a axa de invesimeno (s2>s), a) Quais as consequências sobre o produo de SSG e b) sobre a axa de crescimeno do produo por rabalhador? a) Exise uma relação posiiva enre a axa de invesimeno e o produo por rabalhador de SSG. Para que o produo por rabalhador de SSG, mais elevado, seja aingido é necessário que ocorra uma fase de ajusameno durane a qual o produo irá crescer a uma axa mais elevada do que a axa g, finda essa fase, o produo crescerá de nova à axa do progresso écnico. Em siuação de SSG e na presença de PT, as variáveis medidas em unidades de rabalho eficiene são consanes e variáveis por unidade de rabalhador crescem à axa do progresso écnico. (2.48) = 0 = * e = *, = * = 0 =* = 0 (2.49) Y K = n + g =n+g devido a (2.48) e a (2.8). Y K Adelaide Duare 20

14 (2.50) = g =g devido a (2.30) e a (2.3). Efeios da aleração da axa de invesimeno: Suponhamos que aumena a axa de invesimeno (s 2 >s ), a) Quais as consequências sobre o produo de SSG e b) sobre a axa de crescimeno do produo por rabalhador? a) Exise uma relação posiiva enre a axa de invesimeno e o produo por rabalhador de SSG. Para que o produo por rabalhador de SSG, mais elevado, seja aingido é necessário que ocorra uma fase de ajusameno durane a qual o produo irá crescer a uma axa mais elevada do que a axa g, finda essa fase, o produo crescerá de nova à axa do progresso écnico g. Diagrama 7 Efeios de Nível Permanenes ln * ** (2.5) [ [ ] ] [ ] = n e para o 0,* **, e a = be para *, **, com a>g A represenação da rajecória de no período de ransição poderá ser represenada pela função acima. ln = ln + g para o [ 0,* [ ] **, ] (2.52) a ln = ln b e para *, **, com a>n [ ] Adelaide Duare 2

15 Diagrama 8 Efeios de Crescimeno Transiórios g (2.53) = g para 0,* **, > g para [ [ ] ] [ *,** ] * ** Predições do Modelo Podemos agora expliciar algumas previsões qualiaivas de crescimeno no seio dese modelo neoclássico com PT.. Na presença de progresso écnico, as variáveis por rabalhador crescem a axa consane. Isso significa que esamos em presença de uma economia em que a riqueza, medida pelo rendimeno real por rabalhador (per capia) cresce à axa do progresso écnico. 2. A parir da análise de SSG, podemos concluir que quano mais elevada for a acumulação de capial físico (s 2 > s ), mais elevados serão o soc de capial por rabalhador e o produo por rabalhador de SSG, o que raduz a exisência de efeios de nível, ver diagrama 7 e (2.5). 3. A parir da análise de SSG, podemos concluir que uma acumulação de capial físico (s 2 > s ) mais elevada, não em efeio sobre a axa de crescimeno de SSG das variáveis por rabalhador, o que raduz a inexisência de efeios de crescimeno, só exisem efeios ransiórios de crescimeno durane o período de ajusameno dinâmico, ver diagrama 8 e (2.5). 4. A exisência de rendimenos decrescenes do facor acumulável assegura a convergência para o equilíbrio de SSG. Aliás, a hipóese de rendimenos decrescenes do facor capial garane que quano mais afasada se enconrar a economia da sua siuação de SSG, mais elevada será a axa de crescimeno de curo-prazo da economia, ver diagrama 6. Adelaide Duare 22

16 Quesões relevanes que deveremos analisar de forma aprofundada no modelo de Solow: A O conceio de crescimeno de longo-prazo a axa consane significa que a axa de acumulação de capial é consane ao longo da rajecória de equilíbrio d dk de SSG. No modelo sem PT, al equivale a deduzir a expressão a d d K d parir da equação dinâmica do modelo e resolver em ordem a d. No d d modelo com PT isso equivale a deduzir a expressão de, igualá-la d d d a zero e resolver em ordem a. d B Resolução da equação dinâmica do modelo de Solow: z = α Traa-se de uma equação diferencial de ª ordem, não linear. É uma equação de Bernoulli. Pode ser resolvida facilmene aravés de mudança de variável: C Predições qualiaivas do modelo: Qual é o impaco de uma modificação da axa de poupança, variável esraégica de Políica Económica, sobre as variáveis do modelo. O aumeno da axa de poupança produz um efeio de nível sobre o produo por rabalhador, mas não produz um efeio de crescimeno. A rajecória do produo por rabalhador modifica-se em consequência da subida da axa de poupança, mas a axa de crescimeno do produo por rabalhador não se alera de forma duradoura, em equilíbrio é igual ao progresso écnico. D Implicações quaniaivas do modelo: (a) Queremos saber qual é o impaco quaniaivo de um aumeno moderado da axa de poupança se aquele aumeno for persisene. Para a resolução daquela quesão deduz-se a expressão da derivada parcial do produo por unidade de rabalho eficiene, relaivamene à axa de poupança, para = *. ( s n g n) *,,, (2.54) = f ( *). b) Rapidez dos efeios: Queremos saber a que velocidade é que *, ou o que é equivalene, a que velocidade é que *. Adelaide Duare 23

17 Resolução da quesão A: a) No modelo sem PT o conceio de crescimeno de longo-prazo a axa consane equivale a deduzir a seguine condição: (2.55) d dk d = 0 = 0 d d K d Derive-se a expressão da axa de crescimeno do soc de capial em ordem ao empo e obemos: (2.56) (2.57) d dk d sf( ) ( δ + n) = 0 d d K d d d sf ( ) sf ( ) d sf( ) ( δ + n) = d d 2 d d sf ( ) sf ( ) f ( ) d d = d ( ) f d d d sf( ) sf( ) d = ( α ) d d (2.58) sf ( ) d Para que 0 = 0 d b) No modelo com PT, o conceio de crescimeno de longo-prazo a axa d dk d consane equivale a deduzir a condição seguine: 0 = d d K d A demonsração é análoga à anerior, é deixada ao cuidado do esudane. B Resolução da equação dinâmica do modelo de Solow: Traa-se de uma equação diferencial de ª ordem, não linear. É uma equação do ipo equação de Bernoulli que pode ser resolvida aravés de mudança de variável. Equação de Bernoulli: Adelaide Duare 24

18 (2.59) (2.60) dx d + = R z= a h().x g().x ; a a 0 a a x (2.6) dz d a ( a).x. = dx d Mulipliquemos ambos os membros de (2.59), por ( a).x a : (2.62) dx ( a).x + ( a).x h().x = ( a).x g().x d a a a a obém-se: (2.63) dz ( a)z()h() ( a)g() d + = Traa-se de uma equação linear em z que pode ser resolvida pelos méodos usuais que consisem na procura da solução da equação homogénea e na procura da solução paricular para formar a solução geral. E finalmene obémse x() aravés de: x() a = z(). (2.64) [ ] Resolução da equação dinâmica do modelo de Solow (com PT Cobb-Douglas) uilizando a equação de Bernoulli: (2.65) d d α = s. (n + g +δ ) () Fazendo: (2.66) α z() = () α dz d = ( α). d d α Muliplicando ambos os membros da equação (2.65) por ( α ), obém-se: Adelaide Duare 25

19 (2.67) α d ( α ). = ( α) s ( α )(n+ g +δ) d dz() = ( α) s (n+ g +δ)z() d dz() ( )(n g )z() s( ) α d + α + +δ = α Solução Complemenar (Solução da equação homogénea): (2.68) dz() + ( α )(n+ g +δ )z() = 0 d (2.69) dz() = ( α )(n+ g +δ ) z() d Inegrando: (2.70) dz() = ( α )(n+ g +δ)d z() d ln z() + cons = α (n + g +δ ) + cons ( ) ln z ( ) cons 2 cons ( α )(n+ g +δ) e = e e ( α )(n+ g +δ) 2 (2.7) z() = cons.e Solução paricular: dz(), z() =z* =0 d (2.72) s z*= n+g+ δ Solução Geral: A solução geral obém-se somando à solução homogénea a solução paricular. ( α )(n+ g +δ) (2.73) z() = Cons.e + z* deduza-se a expressão da consane e para o efeio faça-se =0: ( α )(n+ g +δ).0 z(0) = Cons.e + z * ( α )(n+ g +δ).0 (2.74) z(0) = Cons.e + z * Cons = z(0) z * devido a (2.66), obemos: ( α )(n+ g +δ) s () = z(0) z* e + (n + g +δ) (2.75) [ ] α Adelaide Duare 26

20 (2.76) lim() [ z(0) z *] lime ( α )(n+ g +δ) = + s lim () = (n + g +δ) s *() = (n + g +δ) α α s (n + g +δ) α Resolução da quesão D. a) : Deduza-se a seguine expressão: f( *) (2.77) = Traando-se de uma função composa virá: f( *) * ( s, n, g, n) (2.78) = f ( *). Em siuação de SSG emos: (2.79) = 0 = * sf( *) = *( n+ g+ δ ) A equação (2.79) verifica-se, quaisquer se sejam os valores dos parâmeros, s, n, g e δ. Derive-se a equação em ordem a s. sf ( *) *( n + g + δ ) = f( *) * f( *) + s. = ( n+ g+ δ ) f( *) * (2.80) como: = f ( *). obemos: * f( *) = ( n+ g+ δ ) s. f ( *) Subsiuindo a expressão enconrada em (2.80) na (2.77), obém-se: (2.8) * f ( *) f( *) = ( n+ g+ δ ) s. f ( *) Adelaide Duare 27

21 Deduza-se a expressão da derivada do produo de equilíbrio, em unidades de rabalho eficiene, em relação à axa de poupança. Noe-se que: (2.82) (2.83) ( n+ g+ ) * s ( *) = f( *) δ * s f ( *) f( *) ( n+ g+ δ ) * =. s * ( n+ g+ δ ) s. f ( *) f( *). f( *) * s ( n+ g+ δ ) f ( *) * = * f( *) sf. ( *) ( n+ g+ δ ) ( n+ g+ δ ) * f ( *) * s f( *) α = = f α * * ( *) f( *) ou ainda: α (2.84) ε = α o valor de depende de α, ou seja, depende da paricipação do capial no s, ε s, produo. Para o valor usual de α =/3, ε = 0.5, o impaco é reduzido. Suponhamos que o crescimeno relaivo de s é de 0%, a rajecória do produo por rabalhador de SSG aumena 5% em relação á rajecória anerior. O aumeno é reduzido porque α em um valor reduzido e sendo assim f ( ) em uma grande inclinação, o que significa que um deslocameno para cima da curva sf. ( ) se raduz num pono de equilíbrio não muio disane do anerior. Resolução da Quesão D.b): Escreva-se a função de produção ao empo: dln dln = α d d (2.85) o o = s, dln α com = e = s ( ) ^ ^ n + g + δ d α em logarimos e derive-se em ordem Adelaide Duare 28

22 Podemos enão subsiuir as expressões enconradas para (2.86) ln α d = α s ( n+ g+ δ ) d d d d em d Vamos linearizar a equação dinâmica para ober a solução esacionária. Para o efeio uilizamos a fórmula de Talor e fazemos um desenvolvimeno de ªordem em orno do pono de equilíbrio esacionário. (2.87) dln ( ) d dln ( ) d * ln ( ) ln ( ) ln : ln ( ) = ln * Vamos agora deduzir a expressão da derivada dln d ln ( ) dln ( ) dln ( ) d d () (2.88) ( ) = sabendo que ln ( ) = ln () () () E endo em cona (2.86), obemos: endo em cona que: (2.89) (2.90) (2.9) dln ( ) ( ) = α s n + g + δ () () d α dln ( ) d ( ) = αα s () α 2 dln ( ) dln ( ) d d = () = αα ( ) s ln () () α Adelaide Duare 29

23 Subsiui-se depois () pelo seu valor de equilíbrio esacionário, * respecivamene. (2.92) dln ( ) d s ( ) = αα s ln ( ) n+ g+ δ Finalmene obém-se: d ln ( ) d (2.93) ( )( ) = α α n + g + δ ln ( ) Subsiuindo em (2.87), em-se : (2.94) * dln ( ) α( α)( n+ g+ δ) ln ( ) ln d ou ainda: (2.95) * dln ( ) ( α)( n+ g+ δ) αln ( ) αln d Tendo em cona a função de produção: (2.96) * dln ( ) ( α)( n+ g+ δ) ln ( ) ln d Fazendo λ=( α)( n+ g+ δ) obemos: * (2.97) dln ( ) λ ln ( ) ln d A axa de crescimeno do produo por unidade de rabalho eficiene é proporcional à disância que separa a economia do equilíbrio de SSG, e o facor de proporcionalidade é (-λ ). Ou de forma equivalene, quano menor for o produo em unidades de rabalho eficiene, inicial, maior será a axa de crescimeno do respecivo produo. Resolva-se a equação diferencial, (2.97): Adelaide Duare 30

24 (2.98) λ χ =λχ χ = e χ 0 com χ = ln () ln * e χ = dln() d ou ainda: (2.99) ln () ln* = e ln(0) ln * λ Conclusões: a) O modelo de crescimeno neoclássico mosra que é o PT que é o facor responsável pelo crescimeno da riqueza na economia: o rendimeno real per capia (por rabalhador) de equilíbrio de SSG cresce à axa do progresso écnico. O progresso écnico é pois o moor do crescimeno da economia. b) O progresso écnico é exógeno no modelo neoclássico, al significa que nem o progresso écnico nem as variáveis que deerminam o PT são passíveis de serem conroladas no âmbio dese modelo. Políicas que visem o aumeno da axa de crescimeno do produo per capia de SSG não poderão ser formuladas nese modelo. c) Será enão que o modelo de crescimeno neoclássico não apona medidas de políica económica que permiam que se alcance um resulado aproximado ao referido em b)? A resposa é afirmaiva e a variável de conrolo é a axa de invesimeno. Variações posiivas da axa de invesimeno (axa de poupança) produzem efeios de nível, e produzem efeios de crescimeno ransiórios. Nese senido pode-se afirmar que o resulado que será obido é um resulado aproximado ao referido em b) desde que as variações posiivas de s, ainda que reduzidas, sejam frequenes. Podemos dizer que são as siuações de ransição, ou se quisermos, as dinâmicas de ajusameno a um novo equilíbrio de SSG que são as relevanes para o enunciado de proposições normaivas de Políica Económica. d) O mecanismo de crescimeno evidenciado por ese modelo é a acumulação do facor capial físico (o facor acumulável do modelo). e) A variação relaiva do produo por unidade de rabalho eficiene em resposa a uma variação relaiva da axa de poupança, no pono de equilíbrio de SSG é diminua no modelo de Solow. O que sugere que as enormes diferenças nos produos per capia enre países ricos e pobres não possam ser explicadas por diferenças plausíveis nas respecivas axas de poupança se nos basearmos no modelo de Solow. f) As diferenças dos produos per capia enre países ricos e pobres são explicadas por uma escassez relaiva do capial nos países pobres. Tal significa que a remuneração do capial nos países ricos é menos elevada do que nos países pobres e havendo perfeia mobilidade de capiais, os capiais enderão a deslocar-se dos países ricos para os países pobres. É uma das Adelaide Duare 3

25 previsões do modelo de Solow, diferenciais plausíveis das produividades marginais do capial, exigiriam diferenças nos produos per capia que conrariam os dados esaísicos. g) As diferenças de produos per capia e axas de crescimeno do produo per capia enre economias diferenes conduzem a previsões de convergência absolua no seio do modelo de Solow. As economias em quesão diferirão apenas pelo valor inicial do soc de capial per capia. O equilíbrio de SSG é o mesmo para as duas economias, e a economia mais pobre cresce, na siuação de ransição a uma axa mais elevada, ano mais elevada quano maior for a disância que separa a economia da siuação de SSG. Como veremos poseriormene, as previsões de convergência absolua verificam-se apenas para grupos de países. A convergência absolua não se verifica para grandes amosras em que incluímos grupos de países ricos e países pobres. h) A previsão de convergência acima referida, os países mais pobres crescem numa siuação de ransição, a uma axa mais elevada do que os países ricos, pode ser manida desde que se faça o conrolo das diferenças esruurais enre as economias ricas e pobres. Nese caso falamos de uma previsão de convergência condicionada. Bibliografia Barro, Rober e Xavier Sala-i-Marin (995): Economic Growh, New Yor: McGraw-Hill, cap, pp Romer, David (996): Advanced Macroeconomics, New Yor, Inernaional Suden Ediion, McGraw-Hill, cap, pp Solow, Rober M. (2000): Growh Theor. An Exposiion, New Yor, Oxford Universi Press, caps e 2, pp Adelaide Duare 32