QUESTÕES ANPEC EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS

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1 QUESTÕES ANPEC EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS QUESTÃO Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): () A solução da equação diferencial y y y apresena equilíbrios esacionários quando, dependendo da condição inicial: y, y e y O equilíbrio y é o único que é insável () Considere a equação diferencial y f y coninuamene diferenciável al que k, em que f é uma função f Se f ' enão, para qualquer condição inicial, a solução diverge () A solução da equação diferencial de ª ordem y y c apresena ciclos se, e somene se, c / 4 () Sejam zn Azn um sisema de equações em diferenças finias e r, r os auovalores de A Se r e r enão o sisema converge com oscilações para quando n (4) No modelo de funcionameno dinâmico de um mercado descrio pelo Cobweb cycle a demanda na daa ( D ) é função do preço correne p, enquano que a ofera ( S ) é função do preço praicado no período precedene p A demanda e ofera são especificadas como D p e S p, em que,,, são consanes Enão, com o passar do empo, o mercado converge para um equilíbrio esável se, e somene se, e ( )/ QUESTÃO Sabendo que a função y : saisfaz à equação diferencial de primeira d y x y ordem, x d x 5, e que no pono x em-se y ( ) e, calcule y () QUESTÃO Considerando que a função y: + saisfaz à equação diferencial de primeira ordem dy y x, e que y(x = ) = 8, qual deve ser o valor de x para que y(x) x seja igual a 4? QUESTÃO 4 Considerando uma solução x () qualquer da equação diferencial x ''( ) 4 x'( ) x( ), assinale V (verdadeiro) ou F (falso) () se x () é uma função não-nula enão lim x( ) () se x () é uma função não-nula enão lim x( ) ; ;

2 () x () em um pono de mínimo global na rea real ; () se x() é al que x( ) e x' () enão lim x( ) ; (4) se x () é al que x( ) e x '() enão x () em um pono de máximo global na rea real QUESTÃO 5 Considere a equação diferencial y Calcule y (ln()) QUESTÃO 6 Avalie as afirmaivas: dy() com y ( ) e () Seja f: uma função duas vezes coninuamene diferenciável Se f ainge um máximo local esrio em x, enão f (x ) =, f (x ) < () Se uma mariz simérica nxn A é idempoene, enão para odo v n, v Av () Se uma mariz nxn A é idempoene, enão r(a) n () A equação diferencial x x x em solução geral C C e x( ), em que C e C são consanes (4) A equação diferencial x x x em solução geral x( ) QUESTÃO 7 / C C e, em que C e C são consanes Se a função yxé ( ) uma solução da equação diferencial calcule o valor de d y d y dy y e () y, QUESTÃO 8 Avalie as opções () Seja x,5, x₀ = Enão, lim x 6 x () Seja x,5, x₀ = Enão, lim x 8 x lim x () Se x x x, enão, K, em que K é finio, se e somene se e forem menores do que em módulo () Uma mariz A n n é diagonalizável somene se seus auovalores forem odos disinos * (4) Considere duas séries de números posiivos S n nan e S n nbn * com an bn para odo n > Enão se S n converge, S n ambém converge

3 QUESTÃO 9 dy Seja y(x) uma solução da equação diferencial y 4 Calcule lim y( x) x QUESTÃO Dada uma equação diferencial de segunda ordem d y a dy by c d d Onde c, diga quais afirmações são verdadeiras ou falsas () Exisem infinias soluções da equação diferencial () Se y( ) e y ( ) são soluções, enão y ( ), definida como y( ) y( ) y ( ) ambém é solução () Se y( ) e y ( ) são soluções e se a >, b >, enão y( ) y ( ) converge a quando () Se y ( ), y ( ) e y ( ) são soluções, enão y4 ( ) definida como y4 ( ) y( ) y ( ) y( ), ambém é uma solução (4) Se y( ) e y ( ) são soluções, enão y( ) y( ) y ( ) ambém é solução QUESTÃO Dada a equação em diferenças finias y 5y 6y diga quais afirmações são verdadeiras ou falsas: () A equação não possui soluções consanes () As soluções convergem para quando () Toda solução é combinação linear de funções rigonoméricas () Se y e y solução (4) ( Se y ) ( ), y solução ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) são soluções, enão y y y ambém é ( e y ) ( 4) ( ) ( ) ( ) são soluções, enão y y y y ambém é QUESTÃO Suponha que para uma economia se maner em equilíbrio, o invesimeno deva crescer de acordo com a equação,, I() = I()e onde e = exp(,) Qual é a axa percenual de crescimeno correspondene a ela? QUESTÃO = e e Dada a equação d d y a, deermine o valor de y() sabendo-se que y() y

4 QUESTÃO 4 Dada a equação d d verdadeiras ou falsas y, 5y, indique se as afirmaivas abaixo são () A equação é convergene () A solução de equilíbrio em valor () Sabemos que o valor y() é maior que o valor de equilíbrio () A rajeória de y() não é cíclica (4) A solução pode er raízes complexas QUESTÃO 5 Deermine o valor da solução da equação x( + ) =,5x() + 5, =,,,, para = 5, sabendo-se que x() = QUESTÃO 6 Assinale as afirmações verdadeiras e as falsas: () A função -4senx + cosx é solução da equação diferencial y + y = () A função x + senx é solução de y + y = () Há apenas uma solução de y + y = saisfazendo y() = () A equação y + y = possui no máximo duas soluções linearmene independenes (4) Se a função h(x), x é solução de y + y =, enão a função + h(x), x é solução de y + y = QUESTÃO 7 Sabendo que a função y y( x), x saisfaz dy x y x, x, e que y()=, calcule y() QUESTÃO 8 Sabendo que a função y = y(x), x > saisfaz à equação diferencial de primeira ordem dy x y e que y() =, calcule y() x QUESTÃO 9

5 Sabendo que a função y(x) saisfaz à equação diferencial de segunda ordem y 5 e que y() = e dy ( ), calcule lim y( x) x QUESTÃO Dada a equação em diferenças finias y y e sabendo que y o, indique se as afirmaivas a seguir são verdadeiras ou falsas: () A variável y converge para / sem oscilações () A variável y converge para -/ com oscilações y () y () () y e 6 QUESTÃO Considere a seguine equação de diferenças não homogênea: 9 y y, com y Sua solução geral é dada por: y a m b () A variável y converge para que valor?? () Calcule o valor de m a () Calcule o valor de b () Parindo-se de, qual o valor inicial de y? QUESTÃO Dada a equação diferencial y y y, indique se as afirmaivas abaixo são verdadeiras ou falsas: () Toda solução desa equação converge de forma oscilane para / () y( ) / é a única solução esacionária (ie, consane) da equação () O polinômio caracerísico associado à equação possui raízes reais

6 () A solução geral desa equação é dada por: y( ) e ( k cos k sen) / ; k, k consanes reais QUESTÃO Considere a equação de diferenças finias x px ( p) x p, n n n, onde Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmaivas abaixo: () Se x = enão não exise lim n x n () Se x m = x n para algum m diferene de n enão x n = consane () Se a sequência x n é uma progressão geomérica, enão a razão é necessariamene p () Se x n não é uma sequência consane, enão a sequência cujo ermo geral é x n - x n- é uma progressão geomérica de razão negaiva

7 Considere a seguine equação diferencial: ( 5 y) y y e a condição inicial y( ) Suponha que y( ) 5, Julgue as afirmaivas abaixo: () Quando =, y será 56 () lim ( ) y () lim ( ) 5 y () Fora do pono = 5, a solução é não-linear Seja x: duas vezes diferenciável e considere a equação diferencial x x x com as condições x( ) e x( ) exp{ } (onde exp é a exponencial) Se a solução é x(), julgue as afirmaivas abaixo: () lim x( ) x( ) x e x( ), para odo exp{ } () ( ) () x( ), para odo (4) x() é periódica porque a equação caracerísica associada à equação diferencial acima possui uma raiz posiiva e oura negaiva 5) Sabendo que a função real y = y(x), saisfaz à equação diferencial de primeira ordem dy x y e x /, e que y( ) 5e, calcule y() 7) Sabendo que a função real y(x) saisfaz à equação diferencial de segunda ordem 5 4y 4 e x, calcule lim yx x Considere a equação de diferenças finias y - - y - + y = () Sua equação caracerísica é b - b + = () Uma solução paricular é y* = () Sua solução complemenar não pode ser obida

8 () Represena um processo oscilaório QUESTÃO Sabendo que a função x y e y : R R saisfaz à equação diferencial ordinária de a dy ordem, e sendo dados y( ) e e () e e, assinale V (verdadeiro) ou F (falso): h x x () A solução homogênea é y ( x) ce ce, em que c,c são consanes a deerminar; p x () A solução paricular é y ( x) (/ ) e ; () As consanes são c ; c ; () y( ) QUESTÃO 4 Considere a equação em diferenças y y y 4 al que y e y 5 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): h () A solução homogênea é : y c ( / ) c ; () A solução paricular é : y p 4; () As consanes são: c ; c ; () y 5 / 4 lim y (4) QUESTÃO Dada a equação de diferenças finias do segundo grau y y y com valores y e y 4, assinale V (verdadeiro) ou F (falso): () A solução paricular da equação é uma função decrescene; () A solução homogênea da equação é uma função monóona; () Para =, o valor da solução geral é y / ; () O valor da solução geral no infinio é lim y ; (4) O valor da solução geral no infinio independe de y e y QUESTÃO 4 Sabendo que a função y : R R saisfaz à equação diferencial dy() y x, e que e, e que y( ) e, calcule y ()

9 QUESTÃO 5 Sabendo que a função y : (, ) R saisfaz à equação diferencial dy y x, e que y ( ) 5, calcule y () x