está localizado no cruzamento da i-ésima linha com a j-ésima coluna.

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1 MATRIZES 1. DEFINIÇÕES As marizes são frequenemene usadas para organizar dados, como uma abela indexada. Por exemplo, as noas dos alunos de uma escola podem ser disposas numa mariz cujas colunas correspondem às maérias e as linhas represenam cada um dos alunos. Uma mariz de ordem m x n, M ( a ij ), é uma lisa de números a ij, onde 1 i m e 1 j n, disposos em m linhas e n colunas, na qual o elemeno a ij esá localizado no cruzameno da i-ésima linha com a j-ésima coluna. M (a ) a a a a a a n 1 n ij a a a m1 m mn a i j linha i coluna j Os elemenos que possuem o mesmo 1º índice enconram-se na mesma linha e os que possuem o mesmo º índice enconram-se na mesma coluna. A lisa ordenada (a i1, a i,, a in) chama-se i-ésima linha ou i-ésimo veor-linha da mariz. A lisa ordenada (a 1j, a j,, a mj) chama-se j-ésima coluna ou j-ésimo veor-coluna da mariz. Assim, as linhas de uma mariz m x n são veores do R n e as colunas, veores do R m. O número de elemenos que consiuem a mariz m x n é mn. Assim, a mariz x abaixo possui linhas e colunas e um oal de 6 elemenos. 1 M 1 Podemos idenificar os elemenos a 11 1, a 1, a 1. a 1, a e a 1. A mariz consiuída pelo mesmo número de linhas e colunas é chamada mariz quadrada. Assim, uma mariz consiuída por n linhas e n colunas é uma mariz quadrada de ordem n x n ou simplesmene uma mariz quadrada de ordem n. Em uma mariz quadrada de ordem n, o conjuno dos elemenos a ij ais que: a) i j chama-se diagonal principal b) i +j n +1 chama-se diagonal secundária 1

2 a11 a1 a1 a1n a1 a a a n M a1 a a a n an1 an an a nn a11 a1,n a1,n 1 a1n a1 a,n a,n 1 a n M a1 a,n a,n 1 a n an1 an,n an,n 1 a nn diagonal principal diagonal secundária A soma dos elemenos da diagonal principal de uma mariz quadrada é chamada raço da mariz. n r(m) a a a a a i1 ii 11 nn. IGUALDADE DE MATRIZES Duas marizes são iguais se, e somene se, possuem a mesma ordem e odos os elemenos correspondenes (elemenos com índices iguais, i.é, que ocupam a mesma posição) são iguais. Sejam A (a eb (b pxq m p e n q A B e a b ij ij, i, j, 1 i m, 1 j n, enão. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Sejam as marizes A e B de mesma ordem m x n, chama-se soma de A com B à mariz C A + B, de ordem m x n, cujos elemenos são obidos somando-se os elemenos correspondenes da marizes A e B. Sejam A (a eb (b, enão C A + B é al que C (c onde c ij a ij b ij, i, j, 1 i m e 1 j n a11 a1 a1n b11 b1 b1n a1 a a n b1 b b n a a a b b b m1 m mn m1 m mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b n 1n 1 1 n n m1 m1 m m mn mn

3 A adição de duas marizes só é definida quando elas possuem a mesma ordem. Nesse caso, diz-se que elas são conformáveis para adição. Exemplo: *** PROPRIEDADES DA ADIÇÃO a) COMUTATIVA: A + B B + A b) ASSOCIATIVA: (A +B) + C A + (B + C) c) ELEMENTO NEUTRO: A + 0 A onde 0 é a mariz nula da mesma ordem de A e possui odos os seus elemenos nulos. d) MATRIZ OPOSTA: A + (A) 0, onde A é uma mariz da mesma ordem de A e cujos elemenos são oposos dos elemenos correspondenes de A. Dadas A e B duas marizes de mesma ordem, a diferença das marizes A B é definida como A B A + (B). Sendo A (a eb (b, enão D A B é al que D (d ) onde d ij a ij b ij, i, j, 1 i m e 1 j n ij a11 a1 a1n b11 b1 b1n a1 a a n b1 b b n a a a b b b m1 m mn m1 m mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b n 1n 1 1 n n m1 m1 m m mn mn EXEMPLO: *** ( ) 5 ( ) 6 ( 1) MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZ POR ESCALAR Seja um número k R, e uma mariz A (a, o produo ka é a mariz B (b obida muliplicando-se cada elemeno de A por k, iso é, bij k aij para odo i e odo j.

4 a11 a1 a1n k a11 k a1 k a1n a1 a a n k a1 k a k a n k a a a k a k a k a m1 m mn m1 m mn EXEMPLO: PROPRIEDADES: Sejam A e B marizes m x n e a, b R. a) 1A A b) (1)A A c) a 0 0 d) 0 A 0 e) a. (A + B) aa + ab f) (a + b) A aa + ba g) a (b A) (ab) A 5. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Sejam duas marizes A (a eb (b jk) nxp, o produo de A por B, AB, é a mariz m x p, C (c ik) mxp, onde o elemeno c ik, localizado na i-ésima linha e k-ésima coluna, é obido muliplicando-se os elemenos da i-ésima linha de A pelos correspondenes elemenos da k-ésima coluna de B e somando os produos parciais assim obidos. c a b a b a b a b a b ik i1 1k i k i k in nk ij jk j1 Considerando as linhas da mariz A e as colunas da mariz B como veores no R n, cada elemeno c ik é obido pelo produo escalar do i-ésimo veor linha de A pelo k-ésimo veor coluna de B. O produo de duas marizes AB somene exise quando A possui anas colunas quanas são as linhas de B. Nesse caso, diz-se que as duas marizes A e B são conformáveis para a muliplicação. n 4

5 O produo AB é uma mariz que possui o número de linhas de A e o número de colunas de B. a11 a1 ai1 am1 a1 a ai am a1 a ai am A a1n b11 an b1 b1 ain amn bn1 b1 b b bn B nxp b1k bk bk bnk b1p c11 bp bp ci1 b np cm1 C mxp c1k cik cmk c1p cip c mp cik ai1b 1k aib k aib k ainb nk EXEMPLO: *** PROPRIEDADES a) A muliplicação de marizes não é comuaiva, iso é, para duas marizes quaisquer A e B é falso que AB BA necessariamene. 1º CASO: AB exise e BA não exise m p A Bnxp ABmxp B A BA nxp º CASO: AB e BA exisem, mas são de ipos diferenes A Bnxm ABmxm Bnxm A BAnxn 5

6 º CASO: AB e BA exise e são do mesmo ipo (A e B são marizes quadradas de mesma ordem), mesmo assim em geral emos AB BA. 4º CASO: Sejam A e B marizes quadradas e de mesma ordem, quando ocorre AB BA, diz-se que A e B comuam. b) Associaividade: (AB)C A(BC) c) Disribuividade em relação à adição: A(B +C) AB +AC A(B +C) AB +AC d) (ka)b A(kB) k(ab) e) Elemeno Neuro: A In Im A A 1, se i j I n ( nxn onde ij 0, se i j n f) Muliplicação pela mariz nula: 0pxm A 0pxn A 0nxp 0mxp I 0 OBSERVAÇÃO 1) Sendo AB 0 não se pode concluir que A 0 ou B 0. Veja o seguine exemplo onde A 0, B 0 e AB ) Quando emos AB AC ou (BA CA) não se pode concluir que B C, mesmo que A 0. Veja o exemplo a seguir, onde em-se AB AC e B C ) (A +B) A + AB +BA + B 6

7 6. TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES I) MATRIZ QUADRADA: A mariz consiuída pelo mesmo número de linhas e colunas é chamada mariz quadrada. Assim, uma mariz consiuída por n linhas e n colunas é uma mariz quadrada de ordem n x n ou simplesmene uma mariz quadrada de ordem n. M (a ) a a a a a a n 1 n ij nxn a a a n1 n nn II) MATRIZ NULA: É oda mariz que possui odos os seus elemenos iguais a zero mlinhas n colunas A mariz nula é o elemeno neuro da adição de marizes, assim A + 0 A e 0 + A A. III) MATRIZ DIAGONAL: É oda mariz quadrada em que os elemenos não perencenes à diagonal principal são iguais a zero, ou seja, a 0 sempre que i j. A ij n a a ann IV) MATRIZ IDENTIDADE: É a mariz diagonal, na qual odos os elemenos da diagonal principal são iguais a 1. n A mariz idenidade é o elemeno neuro da muliplicação de marizes, assim A n m A A. 7

8 V) MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Chama-se mariz riangular superior, à mariz quadrada que possui odos os elemenos abaixo da diagonal principal nulos. A é riangular superior a ij 0, se i > j a11 a1 a1 a1n 0 a a a n A 0 0 a a n a nn VI) MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Chama-se mariz riangular inferior, à mariz quadrada que possui odos os elemenos abaixo da diagonal principal nulos. A é riangular inferior a ij 0, se i < j a a1 a 0 0 A a1 a a 0 an1 an an a nn 7. MATRIZ TRANSPOSTA A mariz ransposa de A, colunas. Seja A (a, enão A, é a mariz obida a parir de A, rocando-se ordenadamene suas linhas por, onde bij aji para odo i, j. A (b nxm A mariz ransposa de A possui anas linhas quanas são as colunas de A e anas linhas quanas são as colunas de A. a a' a b c A a' b' c' A b b' c c' A ransposa de uma mariz quadrada pode ser obida inverendo os elemenos em relação à diagonal principal. Os elemenos da diagonal principal não mudam de posição. 8

9 PROPRIEDADES a) (A ) A b) (A B) A B c) (A B) A B d) k R(kA) k A e) (A B) B A f) (A BC) C B A 8. MATRIZ SIMÉTRICA Uma mariz quadrada diz-se simérica quando aij aji para odo 1 i, j n, ou seja, quando é igual à sua mariz ransposa. Daí resula que os elemenos siméricos em relação à diagonal principal são iguais. A é simérica A A EXEMPLO: A é simérica. 9. MATRIZ ANTISSIMÉTRICA Uma mariz quadrada diz-se anissimérica quando aij a para odo 1 i, j n, ou seja, quando é igual à oposa de sua mariz ransposa. A é anissimérica A A Daí resula que os elemenos siméricos em relação à diagonal principal são oposos e os elemenos perencenes à diagonal principal são nulos. EXEMPLO: A é anissimérica ji 9

10 EXERCÍCIOS DE COMBATE 1. Assinale a proposição verdadeira: o produo da mariz 1 pela mariz x y é comuaivo se: a) x 1 e y 0 b) x e y 0 c) x 1 e para odo y R d) x 5 e para odo y R e) x 10 e y 0. O valor de D para que a igualdade maricial a) 1 b) c) 0 d) e) a seja verdadeira é:. A, B e C são marizes quadradas de ordem, e I é a mariz idenidade de mesma ordem. Assinale a alernaiva correa: a) (A +B) A + AB + B b) BC CB c) (A + B)(A B) A B d) CI C 4. (AFA 1994) Sejam as marizes A (a x eb (b x4 C (c x4 AB é: a) 1 b) 0 c) 1 d), com aij i j e bij i j. O elemeno c da mariz 10

11 5. Assinale a proposição verdadeira: o produo da mariz 1 pela mariz x y é comuaivo se: a) x 1 e y 0 b) x e y 0 c) x 1 e para odo y R d) x 5 e para odo y R e) x 10 e y 0 6. Se a mariz a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 1 1 y x 4 5 z 6 for simérica, enão x +y +z é: 7. Considere as marizes A eb 1 1 Seja A AA e B BB. Deermine C A B (A +B)(A B). 8. Com relação à mariz A 1 1, a opção correa é: a) b) c) d) e) 4 A, sendo A, sendo 1 A A A A A 1 A a mariz idenidade de ordem. a mariz idenidade de ordem. 9. Seja a mariz a) A. A soma dos elemenos da mariz 100 A é 11

12 b) 118 c) 150 d) 175 e) Uma mariz real A é orogonal se AA, onde indica a mariz idenidade e 1 x Se A é orogonal, enão x +y é igual a: y z A indica a ransposa de A. a) 1 4 b) 4 c) 1 d) e) 11. Sejam A e B marizes quadradas de ordem n ais que AB A e BA B. Enão a) (A B) (A B) é igual a b) c) d) e) (A B ) (A B ) A A B B 1. Se 0, de g é igual a: a) 0 e saisfaz a idenidade maricial 1 5 cos sen, enão, o valor correo sen cos 1 b) 1

13 c) d) 1 e) Seja A 1 0 eb 1 1 ec AB, o resulado de c c14 c1 é: a) um número naural menor que b) um número cujo sua raiz quadrada resula em um número complexo conhecido como imaginário c) o mesmo resulado que a soma dos inversos das raízes da equação x x1 que o conjuno verdade da equação exponencial 18 1 e) o mesmo resulado do produo dos 6 primeiros ermos da PG,,, x x 1 0 d) o mesmo resulado 14. Considere a mariz 0 A 1 0. A mariz onde 10 j A é: j1 a) I b) A c) I +A d) 5(I+A) e) 7A 15. Os números das conas bancárias ou dos regisros de idenidade cosumam ser seguidos por um ou dois dígios, denominados dígios verificadores, que servem para conferir sua validade e prevenir erros de digiação. Em um grande banco, os números de odas as conas são formados por algarismos de 0 a 9, na forma abcdef-xy, em que a sequência (abcdef) represena, nessa ordem, os algarismos do número da cona e x e y, nessa ordem, represenam os dígios verificadores. Para ober os dígios x e y, o sisema de processameno de dados do banco consrói as seguines marizes: 1 1 A x B y z ab C c d e f Os valores de x e y são obidos pelo resulado da operação maricial A.BC, desprezando-se o valor de z. Assim, os dígios verificadores correspondenes à cona correne de número 5681 são a) 4 b) 41 1

14 c) 49 d) 51 e) 54 14

15 GABARITO 1. 1 x y x y x y 1 x x y Se o produo é comuaivo, enão devemos er x y x x y y + x +y x 1, y RESPOSTA: C a a a +a 0 a 1 + a (confere com o elemeno,) RESPOSTA: B. Como o produo de marizes não é comuaivo, em-se em geral AB BA. (A +B) A + AB +BA + B (A + B)(A B) A AB +BA B Assim as alernaivas a, b e c esão incorreas. RESPOSTA: D A 5 4 e 1 B 1 0 Para ober c, devemos considera a erceira linha de com a erceira coluna de B: c a1 b1 a b (5)(1) + (4)(1) 1 RESPOSTA: C 15

16 5. 1 x y x y x y 1 x x y Se o produo é comuaivo, enão devemos er x y x x y y + x +y x 1, y RESPOSTA: C 6. A é simérica a ij a a1 xe a 1 x a1 e a 1 y y a ze a 5 z 5 x +y +z RESPOSTA: C ji 7. C A B (A +B)(A B) A B A +AB BA +B AB BA 0 0 AB 1 1 e BA AB BA 1 0 RESPOSTA: A A A A A (A ) ( ) A A 1 A A A 16

17 A (A ) ( ) RESPOSTA: A A A A A A A 1 n Percebemos enão que A n para odo n Z + * A 100 soma dos elemenos 10 RESPOSTA: A 10. AA 1 1 x y 1 0 y z x z 1 1 x y xz y xz y z 1 x y xz 0 y z 1 x 4 y xz y 4x z z y 4 (1 y z ) 4 y 4 x y RESPOSTA: E 17

18 11. A A A (AB)(AB) A(BA)B ABB (AB)B AB A B B B (BA)(BA) B(AB)A BAA (BA)A BA B (A B) (A B) (A AB BA B ) (A A B B) (A B) RESPOSTA: C (A B ) cos sen cos5 sen5 sen cos sen5 cos g g 6 6 RESPOSTA: B 1. Temos que c , c e Assim a soma pedida é igual a. A soma dos inversos das raízes da equação x x 1 é S. P 1 RESPOSTA: C 14 c É fácil ver que somaório oal é igual a RESPOSTA: D A I. Assim, a cada duas parcelas da soma, emos A I como resulado. Com isso, o 5 I A. 15. x y z AB y y z 18

19 No nosso exemplo, emos que C 4. 7 Logo y 4,y z 7 z 1 e x y z x 8 1 x 5. Logo os dígios verificadores são 54. RESPOSTA: E 19