z 0 0 w = = 1 Grupo A 42. alternativa C det A = Como A é inteiro positivo, então n deve ser par. 43. A comuta com B A B = B A

Transcrição

1 Resoluções das aividades adicioais Capíulo 6 Grupo A. aleraiva C de A 6 (de A) 8 de A. aleraiva C de A de( A) (de A) de A (de A) de A Como A é ieiro posiivo, eão deve ser par.. A comua com B A B B A y y z w z w z z z y w y w z z z y w y A y w w y w y y w y A w w ( y w) ( y w) y yw 6 7 w 9 y ( y w) 6 w yw 7 9 Como os elemeos são reais ão egaivos: y w y y w w w y yw 7 y 6y 7 Assim, como y w A Para achar A : L L L L L

2 L L A e A, porao: 7 de 7 7 ( 7 ) de 5. aleraiva D Para V, emos 6( de A) de A de A. Seja α π, eão emos: 6 de A cosα seα se α seα cosα seα cos α de A seα( se α cos α) de A seα A equação fica: π seα se 6 Como [;, ] emos que π π A B de( A B ) ( ) 7 ( 6) 7( ) de( A B ) 6 7( ) de A a ( ) ( ) de A Vamos achar de B com o Teorema de Laplace para a ª liha: de B ( ) a ( ( )) de B 6 7. aleraiva B de( A B) de A de B, mas de A ( ) de A e de B ( ) de B, eão emos: ( )

3 ou. Como R, eão. Logo. 8. aleraiva E Como A I, eão c () de c ( ) ( ) ( ) c () aleraiva B Calculado o de M pela mariz, emos: de M de M de M 6 6 (de M) de M 6 de M ou de M, o maior é. 5. aleraiva B a) Verdade, pois B ( PAP )( PAP ) PA( P P) AP B PA P, sucessivamee emos B PA P. b) Falso, pois de( B) ( ), de B 7 6. c) Verdade, pois A ão iversível de A, eão de B de( PAP ) de P de A de P. Como de A, eão de B. d) Verdade, B PAP P ( B) P P ( PAP ) P P BP ( P P) A( PP ) P BP IAI A P BP. 5. Seja A B, eão B e A, eão A B A B A B 5. Assim sedo: de M A A B B A B Como A B 5, eão A B Como X A B de( X A) de B de X de A de B. Como de A e de B 6, eão de X ( ) ( ) de X aleraiva D A B 6 Eão de( A B) 6, mas de A de B ( ( )).

4 5. a) de( A A ) de I de A de A Como de A de A de A de A (de A) de A ou de A. b) B, eão B B, porao B B, logo ão saisfaz. 55. aleraiva B Como M 8, eão M M ( ) ou. 56. aleraiva D Seja m esse deermiae. Ao muliplicar duas lihas por, obemos m 9m; dividimos suas coluas por, como são quaro, obemos 9 9m m 7 m aleraiva D Como a j i ij, eão A. Logo, de A ( ) ( ). 58. aleraiva E y y y y y ( ) y( y ) y y 59. aleraiva D Como o raço da mariz é 9 y 9 y 8. O deermiae dessa mariz é 5: y z y z y 5 Logo y 8 e y 5 ou aleraiva D ou

5 Grupo B 6. As iersecções da rea y com a parábola y podem ser ecoradas resolvedo o sisema y y y y ( e y ) ou. ( e y ) Assim, PQ ( ) ( ). Além disso, R ( ; ) ou R (;. ) Em ambos os casos, a área de PQR é : Q P R P ou R Q Fialmee, o valor máimo de f( ) é ( ) ( ) Desse modo: A. e de A. Δ ( ) 6. aleraiva B Uilizado Laplace a erceira liha: cos( ) se( ) se( ) cos( ) cos( ) se( ) ( ) se( ) cos( ) (cos ( ) se ( )) 5

6 Assim, a equação possui uma úica solução real. 6. A mariz dada ão possui iversa se, e somee se, seu deermiae for ulo, ou seja, se cos cos cos cos se Chiò se cos cos cos ( ) cos se se cos cos cos ( se cos ) cos se π cos kπ, k Z ( k ) π, k Z. 6. Temos A A y y y y y 5 5 y 5 y y y ou y 5 5 y y y e y 5 5 ou. e y 5 5 Como de A > y > y > 5 5 > <, 5 e y 5. 6

7 65. Temos 5 AB 7 5 6, logo C AB e de( C AB) > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > ( ) ( ) > ( ). Sedo A, A e A, fazemos o quadro: sial de A sial de A sial de A sial de A. A. A Assim () < < ou >. 66. Observemos que: B k k k k k y k k k k k y k Assim de B de( ka) k de A de A de A. A 67. a) Verdadeira. Observemos que a m-ésima liha emos os úmeros que deiam reso m a divisão por 6, m. Como 7 6 7, esse úmero esá a ª liha. O ermo de -ésima colua da ª liha é 6( ). Assim, 7 6( ) 75 e o úmero é o elemeo da ª liha e 75ª colua. b) Verdadeira. de( A B) de ( )( ) ( )( ) ( )( ( )) ou, ou seja, a equação admie duas raízes racioais. 7

8 c) Falsa. Temos A de A de modo que de( A A ) de de , d) Falsa. Lembrado que de( A ) de( A), de( A ) ( ) ( ). e) Verdadeira. A A A y y y y y y y y y y y y 68. a) Verdadeira. Como A A e B B, ( A B) A B A B, ou seja, A B é simérica. b) Falsa. é iversível e, de modo que pode ser igual a π, por eemplo. c) Verdadeira. a a a e Chiò ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a 8

9 d) Verdadeira. A mariz complea do sisema é: L L b b, de modo que o sisema liear é impossível se, e somee se, a a b a b a 7 b b. e) Verdadeira. A mariz complea do sisema é: L L a a b b c a a c a a c L b c ( a ) L L a a c a b c c Como a para odo a real, o sisema é sempre possível e deermiado. e) Falsa. O sisema em meos equações do que icógias; porao, o poso da mariz complea é meor do que o úmero de icógias. Pelo Teorema de Rouché-Capell, o sisema ão pode ser possível e deermiado. A resposa do ese é, eão, ( ) ( ) ( )( ) ou ou 7. Verdadeira. Como A em ordem, de( A) 6 de A 6 de A. Dividido a primeira liha de A por e muliplicado a seguda colua de A por, obemos uma ova mariz cujo deermiae é 8. Falsa. Lembrado que de( N ) de( N), sedo M e N de ordem, emos N am de N a de M 96 a a. Verdadeira. Se a, b, c, A bc a a ac b b ab c c 9

10 abc a a abc b b abc abc abc abc c c a b a b c c B. Como a ideidade obida é poliomial, ela é válida ambém se algus dos úmeros a, b, c são ulos. Falsa. Se A e B, A, B, A B, A B, A B ( A B)( A B) A B. 7. Sejam a b e c d duas somas de dois quadrados. Eão a b c d a b c d ( a b )( c d ) b a d c b a d c ac bd ad bc ( ac bd ) ( ad bc ) d bc ac bd ambém é soma de dois quadrados. 7. aleraiva D Desevolvedo por Laplace a ª liha, de A ( ) ( ) aleraiva D Temos de L de e, de D de diag,,,

11 e de U de, de modo que de A de L de D de U ( ). 7. de A (de A) se cos 75. a) Falsa. Como de A se cos, cos se A sempre admie iversa. b) Verdadeira. Temos A se cos A cos se. k c) Falsa. Para kπ, se e cos ( ). Assim, k ( ) k ( ) A k e A k ( ) ( ) d) Verdadeira. de( A ) (de A) e) Verdadeira. A A se cos cos se se se é uma mariz diagoal. O resulado é A. se cos cos se 76. Temos p ( ) ( )( ) ( ) ( ) 8. a) O peso médio de uma criaça de 5 aos é p( 5) b) Como p ( ) 8, espera-se que uma criaça de kg eha aos.

12 77. a) b) a b b c c b c c a b c a b b c a b c d b c d a c d a b d a b c L L L C C C C a b c b c d ( a b c d) c d a d a b c) Se a, b, c, d, e, C C C C C C C C5 a b c d e b c c a b c a b b c a b c a b c d b c d a b c d c d a a b c d d a b a b c d a b c d e 5 b C C a a a a a b c d e b c d e a a a a b c d a e bcde abcde abcd abce abde acde bcde. Como a ideidade obida é poliomial, ela vale ambém se algus dos úmeros a, b, c, d, e são ulos. log log y log z d) log log y log z log log y log z

13 L L log log y log z log log log y log y log z log z L L log log log y log y log z log z log log y log z log log y log z y z log log log log log log y z y z log log log log log log y z log log y log z log log 78. a) BC 5 5 [ ] BC A b) CB [ 5 ] [ 5 ( ) ( )] [ 7 ] k c) de( A ki) ( k)( k) k k k k ou k 79. Como de A cos se se cos Chiò ( ) cos se cos se, de A (de A). se cos 8. Temos, por Laplace, a primeira colua: p ( ) ( ) ( ) a ( )(( a )( ) ( )) ( )( ( a ) a ) Assim, p ( ) ou ( a ) a. a) No uiverso dos reais, para a, p ( ) ou 5. Como o discrimiae de 5 é ( ) 5 6 <, p ( ), ou seja,v { }.

14 b) A equação p ( ) em uma úica raiz real se, e somee se, ( a ) a ão em raízes reais, o que ocorre se, e somee se, Δ< ( a ) ( a ) < a a 5 < < a < 5. Obs.: se a 5, obemos 6 9, que admie como raiz dupla; esse caso, p ( )eria como raiz ripla.