B é uma matriz 2 x2;

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1 MTRIZES e DETERMINNTES Defiição: Mriz m é um bel de m, úmeros reis disposos em m lihs (fils horizois) e colus (fils vericis) Eemplos: é um mriz ; B é um mriz ; Como podemos or os eemplos e respecivmee, um mriz pode ser represed por colchees, prêeses ou dus brrs vericis Represeção de um mriz: s mrizes cosumm ser represeds por lers miúsculs e seus elemeos por lers miúsculs, comphds de dois ídices que idicm, respecivmee, lih e colu ocupds pelo elemeo Um mriz do ipo m é represed por: Eemplo : Sej mriz [ Uilizdo regr de formção, emos: Mrizes especiis:, ode i j m m m : Geericmee, emos: () () () () Mriz lih: É od mriz do ipo, iso é, com um úic lih, i m j m Eemplo: ( ) Mriz colu: É od mriz do ipo, iso é, com um úic colu Eemplo: B Mriz qudrd: É od mriz do ipo, iso é, com o mesmo úmero de lihs e colus Nese cso, dizemos que mriz é de ordem C ordem D π ordem Eemplo: Sej um mriz qudrd de ordem Temos: i) Digol pricipl é o cojuo de elemeos dess mriz, is que: i j ii) Digol secudári é o cojuo de elemeos dess mriz, is que i j Mriz ul: É od mriz em que odos os elemeos são ulos Noção: O m Eemplo: O Mriz digol: É od mriz qudrd ode só os elemeos d digol pricipl são diferees de zero Eemplo: B Mriz ideidde: É od mriz qudrd ode odos os elemeos que ão esão digol pricipl são ulos e os d digol pricipl são iguis

2 Noção: I ode idic ordem d mriz ideidde Eemplo: I ; I ou : I [,, se i j, se i j Mriz rspos: Chmmos de mriz rspos de um mriz mriz que é obid prir de, rocdo-se ordedmee sus lihs por colus ou sus colus por lihs Noção: Eemplo: Se eão Mriz siméric: Um mriz qudrd de ordem é siméric qudo OBS: Se -, dizemos que mriz é issiméric Eemplo: Se 9 Mriz opos: Chmmos de mriz opos de um mriz mriz que é obid prir de, rocdo-se o sil de ods os seus elemeos Noção: - Eemplo: Se eão - Iguldde de mrizes: Dus mrizes, e B, do mesmo ipo m, são iguis se, odos os elemeos que ocupm mesm posição são idêicos Noção: B Eemplo: Se c b dição de Mrizes: Dds s mrizes [ m [ c, l que c b i m Noção: B C B e B, eão c e b OPERÇÕES COM MTRIZES e B [ m, pr odo m e odo i Subrção de Mrizes: Dds s mrizes [ m som de com mriz opos de B Noção: - B (-B) b, chmmos de som ds mrizes e B mriz C e B[ b m OBS: B eise se, e somee se, e B são do mesmo ipo (m ), chmmos de difereç ere s mrizes e B Eemplo: - - Muliplicção de um úmero rel por um mriz: Ddos um úmero rel e um mriz do ipo m, o produo de por é um mriz do ipo m, obid pel muliplicção de cd elemeo de por Noção: B OBS: Cd elemeo b de B é l que b Muliplicção de mrizes: O produo de um mriz por our ão pode ser deermido rvés do produo dos seus respecivos elemeos muliplicção de mrizes ão é álog à muliplicção de úmeros reis ssim, o produo ds

3 mrizes [ m p e B[ b é mriz C [ p c, ode cd elemeo c é obido rvés d som dos produos dos elemeos correspodees d i-ésim lih de pelos elemeos d j-ésim colu de B m Decorrêci d defiição: mriz produo B eise pes se o úmero de colus d primeir mriz () é igul o e B B úmero de lihs d segud mriz (B) ssim: m p p ( ) m Eemplo Sedo e B, vmos deermir B e B e comprr os resuldos: i) B 9 ii) B 9 Comprdo os resuldos, observmos que B B, ou sej, propriedde comuiv pr muliplicção de mrizes ão vle Eemplo Sej B e B, deermie B ( ( ) ( ) ( ) 9 ' ' Mriz Ivers: Dd um mriz, qudrd, de ordem, se eisir um mriz, de mesm ordem, l que ' ' ' ' I, eão é mriz ivers de (Em ours plvrs: I Iso implic que é mriz ivers de, e é idicd por ) Noção: Eemplo Sedo, vmos deermir mriz ivers de, se eisir Eisido, mriz ivers é de mesm ordem de ' b c b d I c d c - b d c i) () e c c c Logo, b d b d ii) ( d) d d e b b d DETERMINNTES Defiição: Deermie é um úmero ssocido um mriz qudrd Deermie de primeir ordem: Dd um mriz qudrd de à mriz M o úmero rel Noção: de M ou ordem M[, chmmos de deermie ssocido

4 Deermie de segud ordem: Dd mriz M ssocido ess mriz é ddo por: de M ( ), de ordem, por defiição, emos que o deermie Meor Complemer: Chmmos de meor complemer relivo o elemeo de um mriz M, qudrd e de ordem >, o deermie MC, de ordem, ssocido à mriz obid de M qudo suprimos lih e colu que pssm por Cofor: Chmmos de cofor (ou complemeo lgébrico) relivo o elemeo de um mriz qudrd de ordem o i j úmero, l que ( ) MC Mriz dju: mriz rspos d mriz dos cofores de um mriz é chmd dju de ssim: dj ( ) Teorem de Lplce: O deermie de um mriz qudrd M [ ( m ) pode ser obido pel som dos m m produos dos elemeos de um fil qulquer (lih ou colu) d mriz M pelos respecivos cofores ssim, fido m m j N, l que j m, emos: de M,ode, i é o somório de odos os ermos de ídice i, vrido i de é m, m N e é o cofor Teorem de Cuch: som dos produos dos elemeos de um fil qulquer de um mriz M, ordedmee, pelos cofores dos elemeos de um fil prlel, é igul zero Regr de Srrus: Disposiivo práico pr clculr o deermie de ordem D ( ) ( ) D Mriz de Vdermode: Chmmos de mriz de Vdermode od mriz qudrd de ordem, com seguie form: V Observe que cd colu dess mriz é formd por poêcis de mesm bse com epoees ieiros, que vrim de é - O deermie d mriz de Vdermode é ddo por: de V ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) PROPRIEDDES DOS DETERMINNTES P - Qudo odos os elemeos de um fil (lih ou colu) são ulos, o deermie dess mriz é ulo P - Se dus fils prlels de um mriz são iguis, eão seu deermie é ulo

5 P - Se dus fils prlels de um mriz são proporciois, eão o seu deermie é ulo P - Se os elemeos de um fil de um mriz são combições lieres dos elemeos correspodees de fils prlels, eão o seu deermie é ulo OBS: Defiição de combição lier: Um veor v é um combição lier dos veores v, v,,vk, se eisem esclres,,,k l que: v v k vk P - Teorem de Jcobi: O deermie de um mriz ão se ler qudo sommos os elemeos de um fil um combição lier dos elemeos correspodees de fils prlels P - O deermie de um mriz e o de su rspos são iguis P - Muliplicdo por um úmero rel odos os elemeos de um fil em um mriz, o deermie dess mriz fic muliplicdo por esse úmero P - Qudo rocmos s posições de dus fils prlels, o deermie de um mriz mud de sil P9 - Qudo, em um mriz, os elemeos cim ou bio d digol pricipl são odos ulos, o deermie é igul o produo dos elemeos dess digol P - Qudo, em um mriz, os elemeos cim ou bio d digol secudári são odos ulos, o deermie é igul o produo dos elemeos dess digol, muliplicdo por ( ) ( ) P- Pr e B mrizes qudrds de mesm ordem, emos: ( B ) de deb Observção: Como - I, propriedde cim, emos: ( ) P- Se k R, eão de (k) k de P-) de (B) de deb de de de b b c c Eemplo Se bc, eão o deermie b c c b é zero Uilizdo (P) e (P), emos: c b b c b b c c b c c b c c b c c b c b c b c b b c b b c b b c Regr de Chió: regr de Chió é mis um écic que fcili muio o cálculo do deermie de um mriz qudrd de ordem ( ) Ess regr os permie pssr de um mriz de ordem pr our de ordem, de igul deermie Eemplo: Clculr o deermie ssocido à mriz com o uílio d regr de Chió: Psso : Pr podermos plicr ess regr, mriz deve er pelo meos um de seus elemeos igul ssim fido um desses elemeos, reirmos lih e colu ode ele se ecor Psso : Em seguid subrímos do elemeo rese o produo dos dois correspodees que form elimidos (um d lih e ouro d colu): ( ) ( ) ( ) () ( ) () Psso : Muliplicmos o deermie ssim obido por ( lih e ) i j ( ) (9) () colu) de ( ) ( 9), ode i represe lih e j colu reirds (ese cso, Iversão de mrizes com o uílio d eori dos deermies

6 ivers de um mriz qudrd de ordem pode ser clculd pel plicção do seguie eorem: mriz ivers de de um mriz (qudrd de ordem ) eise se, e somee se, dj, ode dj é mriz rspos d mriz dos cofores: dj ( ) Eemplo: Clculr, se eisir, ivers d mriz ( ) Solução: Deermie d mriz : de ( ) Eise ivers de e é dd por: i) Clculr os cofores dos elemeos de : ( ) ( ) ; ; ( ) ( ) ii) Mriz dos cofores é dd por: - dj de T Logo, ( ) dj dj - iii) Cálculo d mriz ivers: OBS: Pr ecorr um elemeo d ivers, ão é ecessário clculr od mriz ivers: Eemplo: Clculr o elemeo d mriz ivers de - ji de Solução: de ()() () ( ) ( ) ( ) ( )( ) Eercícios: Dds s mrizes [ l que i B l que b j e [ b j i, deermie: ) b b) ( b b) c) b - (FGV-) s meis dri; Bru e Crl flm muio o elefoe ere si mriz M mosr cd elemeo represedo o úmero de elefoems que i deu pr j o mês de seembro: M Quem mis elefoou e quem mis recebeu ligções? 9 Um mriz é do ipo, our mriz B é do ipo e mriz C é do ipo m Qul o vlor de m pr que eis o produo (B)C? - Dds s mrizes e B [ obeh X l que X B T - (FGV-) Um mriz X possui elemeos cuj som vle Se X [ X ode X T é rspos de X, clcule o produo dos elemeos de X

7 Deermie e iguldde Dds s mrizes e B, deermie B T Jusifique em cd cso o moivo do deermie ser ulo ) b) c) 9 Ecore o deermie de cd mriz ) b) c) 9 Deermie o cojuo verdde ds equções Sbedo que, clcule os deermies ds seguies mrizes ) b) c) (IT) Se de z r q p c b, clcule o vlor do z z r q p c b de Resolv s equções: ) b) c)

8 - (IT-) Sejm s mrizes / / e / / B Deermie o elemeo c d mriz ) ( B C - (Uicmp-) Sejm ddos: mriz, ecore o cojuo solução d equção ) de( (UEL-PR) Um mriz qudrd é siméric se T ssim se mriz z é siméric, clcule z