NOTAS DE AULA - ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS DE EQUAÇOES LINEARES

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1 NOTS DE U - ÁGER INER TRIZES, DETERINNTES E SISTES DE EQUÇOES INERES ISE C C EITE SVDOR

2 Profª Isel Crisi C eie Álger ier TRIZES Um mri é um grupmeo regulr de úmeros ri de ordem m por é um reâgulo de m úmeros disposos em m lihs e colus m m m mri qul m é regulr se represe por (m,) e se di de ordem m por (ou m ) mri qul m é qudrd se represe por (ou (,) ) e se di de ordem Cd elemeo de um mri se prese com dois ídices: ij O primeiro ídice idic lih e o segudo colu que o elemeo perece mri pode ser represed revidmee por [ ij ], i vrido de m e j vrido de ssim, se mri em lihs e colus, em-se (,) Eemplo: Dd mri, π é um mri de ordem por, Dus mries são defiids como sedo iguis se êm mesm ordem (mho) e se odos os elemeos correspodees são iguis E: log se o mri de ordem m por é um mri-colu ou veor-colu e mri de ordem por é um mri-lih ou veor-lih E : (,) (, ) [ ]

3 Profª Isel Crisi C eie Álger ier ri ul é quel em que ij, i e j [ ] : E Digol pricipl e digol secudári Num mri qudrd de ordem, os elemeos ij em que i j cosiuem digol pricipl; os elemeos ij em que i j cosiuem digol secudári mri E : Dd os elemeos cosiuem digol pricipl e os elemeos cosiuem digol secudri ri digol é um mri qudrd ode ij pr i j ri ideidde é mri digol que em os elemeos ij pr i j É deod por I ou simplesmee por I : Es I I ri rigulr superior e mri rigulr iferior mri qudrd [ ij ] que em os elemeos ij pr i > j é um mri rigulr superior e mri qudrd [ ij ] que em os elemeos ij pr i < j é um mri rigulr iferior : Es dição de mries som de dus mries [ ij ] e [ ij ], de mesm ordem, é um mri C [c ij ] l que c ij ij ij logmee, difereç de mries de mesm ordem oem-se surido os elemeos correspodees, e E : Ddos

4 Profª Isel Crisi C eie Álger ier Proprieddes d dição de mries Dds s mries, e C de mesm ordem m, em-se: i) ii) ( C) ( ) C iii), ode deo mri ul m uliplicção de um mri por um esclr Se k é um esclr, o produo de um mri [ ij ] por esse esclr é um mri [ ij ] l que ij k ij E : Proprieddes Dds mries e de mesm ordem m e esclres k, k e k, em-se: i) k ( ) k k ii) (k k ) k k iii) os: esclr e mri ul uliplicção de mries Se é um mri m r e é um mri r, eão o produo é mri m cujos elemeos são deermidos como segue Pr oer o elemeo c ij de desque lih i de e colu j de uliplique os elemeos correspodees des lih e des colu e eão some os produos resules E: (,) (, ), ( ) ( ) ( ) Os: o produo ão esá defiido se o úmero de colus d mri ão for igul o úmero de lihs d mri Proprieddes Dds s mries, e C is que s operções idicds possm ser efeuds, em-se: i) I I, ode I é mri ideidde ii) ( C) C (lei disriuiv à esquerd) iii) ( ) C C C (lei disriuiv à direi) iv) ()C (C) (lei ssociiv) v) e, ode é mri ul

5 Profª Isel Crisi C eie Álger ier Os: ) e ão precism ser iguis ssim, ) Pode-se er sem que ou Trsposição de mries mri rspos d mri, de ordem m por, é mri T, de ordem por m, que se oém d mri permudo s lihs pels colus de mesmo ídice Eemplo: ; T Proprieddes Dds s mries e is que s operções idicds possm ser efeuds e o esclr k, em-se: i) ( ) T T T ii) (k) T k T iii) ( T ) T iv) () T T T ri siméric Um mri qudrd [ ij ] é siméric se T Eemplo T ri i-siméric Um mri qudrd [ ij ] é i-siméric se T Eemplo T

6 Profª Isel Crisi C eie Álger ier SISTES DE EQUÇÕES INERES Equção lier é um equção d form K qul,,,, são s vriáveis (ou icógis),,,,, K são os respecivos coeficiees ds vriáveis e é o ermo idepedee Os vlores ds vriáveis que sisfem à equção cosiuem su solução Esses vlores são deomidos ríes d equção lier um cojuo de equções lieres se dá o ome de sisem de equções lieres: m m m m m K K K K Ese sisem possui m equções lieres e icógis Um solução do sisem cim é um -upl de úmeros (,,,, ) que sisfç simulemee ess m equções Esses úmeros são chmdos ríes do sisem de equções lieres Clssificção Sisems e mries Podemos escrever o sisem erior um form mricil: m m m m O ou X, ode é mri dos coeficiees, X é mri ds icógis e é mri dos ermos idepedees Cosisee ou possível Deermido: solução úic Ideermido: ifiis soluções Icosisee ou impossível Sem solução

7 Profª Isel Crisi C eie Álger ier Um our mri que podemos ssocir o sisem é m m m m O chmd mri mplid do sisem Cd lih des mri é um represeção revid d equção correspodee do sisem Eemplo: Ddo o sisem, emos mri mplid Tl sisem ou l mri pode ser susiuído por um sisem ou mri equivlee mis simples, rvés de operções que preservem s igulddes, de modo que sej mis fácil deermir su solução º psso: elimir ds lihs e ( ) ( ) ( ) i i i º psso: orr o coeficiee de igul ª lih ( ) ( ) i ii º psso: elimir o coeficiee de ª lih ( ) ( ) ( ) ii ii iii º psso: orr o coeficiee de igul ª lih ( ) ( ) ( ) iii iv

8 Profª Isel Crisi C eie Álger ier º psso: elimir o coeficiee de d ª lih ( v) ( iv) ( iv) º psso: elimir o coeficiee de ds dus primeirs lihs ( vi) ( v) ( v) ( vi) ( v) ( v ) que é mri mplid do sisem de equções equivlee Poro, solução (,, ) é solução de qulquer dos sisems equivlees Operções elemeres sore lihs i) Permu d i-ésim lih e j-ésim lih ( i j ) ii) uliplicção d i-ésim lih por um esclr ão ulo k ( i k i ) iii) Susiuição d i-ésim lih pel i-ésim lih mis k vees j-ésim lih ( i i k j ) Se e são mries m, diemos que é lih equivlee, se for oid de rvés de um úmero fiio de operções elemeres sore s lihs de Form escd ou esclod reduid por lihs Um mri m esá form esclod reduid por lihs se: i) o primeiro elemeo ão ulo de um lih ão ul é ; ii) cd colu que coém o º elemeo ão ulo de lgum lih em odos os seus ouros elemeos iguis ero; iii) od lih ul ocorre io de ods s lihs ão uls; iv) em quisquer dus lihs sucessivs que ão cosisem só de eros, o primeiro elemeo ão ulo d lih superior ocorre mis à esquerd do elemeo ão ulo d lih iferior Eemplos: E Di-se que es mri esá form esclod, ms ão esá esclod reduid por lihs, pois flh codição (ii)

9 Profª Isel Crisi C eie Álger ier E Flh s codições (i) e (iv) E Flh s codições (i) e (iii) E Esá form esclod reduid por lihs E Esclod red por lihs Teorem: Tod mri m em um úic form esclod reduid por lihs Eercício: Resolver o sisem lier, escrevedo su mri mplid e reduido- à form esclod reduid por lihs (éodo de Guss-Jord) Solução (,, ) Poso ou crcerísic de um mri Dd um mri m, sej m mri esclod reduid por lihs equivlee O poso (ou crcerísic) de, deodo por p, é o úmero de lihs ão uls de Eemplos: Ecorr o poso ds seguies mries : E poso:

10 Profª Isel Crisi C eie Álger ier Os: Pode-se ierprer mri cim como sedo mri mplid do sisem lier que é equivlee o sisem ssocido à mri esclod reduid por lihs e poro possuido mos mesm solução E: Poso: Oserve que mri em o mesmo poso de Reierpredo s mries cim como sisems de equções, diremos que o sisem de quro equções ssocido à mri iicil é equivlee o sisem de dus equções ssocido à mri esclod reduid por lihs Ese é um cso de sisem com equções redudes ª e ª equções podem ser despreds Iso sigific que o sisem iicil é equivlee o sisem ssocido à mri Usmos dier mém que s dus primeirs equções são idepedees e s demis são depedees ssim o poso d mri mplid de um sisem os dá o úmero de equções idepedees dese

11 Profª Isel Crisi C eie Álger ier Soluções de um sisem de equções lieres Teorem: i) Um sisem de m equções e icógis dmie solução se, e somee se, o poso d mri mplid é igul o poso d mri dos coeficiees ii) Se s dus mries êm o mesmo poso p e p, solução será úic iii) Se s dus mries êm o mesmo poso p e p <, podemos escolher p icógis e s ours p icógis serão dds em fução dess Nese cso, diemos que o gru de lierdde do sisem é p, o que sigific que o sisem possui p vriáveis livres Eemplos: Noção: p c poso d mri dos coeficiees; Se p c p deomos simplesmee p p poso d mri mplid E p c p p e Cso (ii): eise um úic solução,, E p c p p e Cso (iii): gru de lierdde ifiis soluções:, R E p c, p e m p c p o sisem é icompível e ão eise solução Oserve que úlim lih d mri correspode um equção do ipo, que é de fo impossível de er solução

12 Profª Isel Crisi C eie Álger ier SISTE INER HOOGÊNEO É o sisem de equções lieres que possui odos os ermos idepedees iguis ero m m m m K K K K Oserve que ese sisem sempre possui solução i i,,,, K, deomid solução rivil Poro um sisem lier homogêeo ou é deermido edo solução rivil como solução úic, ou é ideermido (possui ifiis soluções, icluido solução rivil) Nuc é icompível Eemplos: ) ( ) { },, S ) ( ) { } R S,,,

13 Profª Isel Crisi C eie Álger ier DETERINNTES od mri qudrd esá ssocido um úmero rel chmdo deermie de, usulmee represedo por de() ou ou de[ ij ] Podemos oê-lo operdo com os elemeos de d seguie form: Se é de ordem, eão de () é o úico elemeo de [ ] de( ) E: [ ] de( ) Se é de ordem, eão de () é o produo dos elemeos d digol pricipl meos o produo dos elemeos d digol secudári ( ) de E: ( ) ( )( ) Se é de ordem, eão de () é defiido por: de ( ) N práic, uilimos Regr de Srrus: E ( ) ( )

14 Profª Isel Crisi C eie Álger ier Se é de ordem >, eão clculremos o deermie de usdo o Já vimos que: Desevolvimeo de plce que podemos escrever como ( ) ou id, ( ) ( ) de, ode ij é sumri d iicil de ode form reirds i- ésim lih e j-ésim colu i j, oemos epressão lém disso, se chmrmos ij ( ) ij de, que coiu válid pr mries de ordem de K ij i i i i é o cofor ou complemeo lgérico do elemeo ij Um form álog é válid pr colus: de K j j j j i i j j Os: É melhor escolher um fil que possu mior quidde de eros com filidde de simplificr os cálculos Eemplo: Sej Clcule de() Solução: Epsão pel colu j, pois es possui um mior úmero de eros de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

15 Profª Isel Crisi C eie Álger ier Eercício: Sej Clcule de() Proprieddes dos deermies Sej um mri qudrd i) O deermie de um mri e de su rspos são iguis: Dí cocluímos que s proprieddes que são válids pr lihs mém o são pr colus ii) Se em um lih (colu) ul, eão iii) Se em dus lihs (colus) idêics, eão iv) Se em dus lihs (colus) cujos elemeos correspodees são proporciois, eão v) Se é mri rigulr, eão produo dos elemeos d digol pricipl vi) Se é mri digol, eão produo dos elemeos d digol pricipl Em priculr, I ode I é mri ideidde Se mri oid de por: vii) muliplicção de um lih (colu) por um esclr k, eão, k ; viii) roc ere si de dus lihs (colus) de, eão ; i) dição de um múliplo de um lih (colu) de our, eão ) O deermie do produo de dus mries e é igul o produo dos deermies: TRIZ INVERS Defiição: Dd um mri qudrd de ordem, chmmos de ivers de um mri - l que, ode I é mri ideidde de ordem I E ; c d Pr deermir - femos: c e resolvemos o sisem oedo d OS: i Se e são mries qudrds de mesm ordem, ms iversíveis, eão é iversível e ( ) ii Nem od mri dmie ivers

16 Profª Isel Crisi C eie Álger ier E: impossível sisem d c d c d c iii ivers de um mri é úic Iversão de um mri por meio de operções elemeres Pr deermir ivers d mri : i coloc-se o ldo d mri mri I, seprd por um rço vericl; ii rsform-se por meio de operções elemeres, mri mri I, plicdo-se simulemee, à mri I s mesms operções elemeres Eemplo: Dd, deermir - ssim, Supohmos que eh ivers -, l que I plicdo o deermie, ( ) ( ) ( ) de de de ) de( I ogo, ( ) ( ) de de e cocluímos que: i ( ) de ii ( ) de ) de( Teorem: Um mri qudrd dmie ivers se, e somee se, ( ) de

17 Profª Isel Crisi C eie Álger ier SISTES DE EQUÇÕES INERES N N ÉTODO D TRIZ INVERS Sej o sisem de equções com equções e icógis: K K K K N form mricil emos: O ou X, Pr ess equções, supodo que de(), ou sej, eise - X X I X Eemplo: Resolver pelo méodo mricil Temos poro,, e X es de procurr - verifiquemos se es eise, ou sej, se de() de(),, X X

18 Profª Isel Crisi C eie Álger ier É coveiee empregr ese méodo o cso em que emos que resolver diversos sisems ere os quis vrim somee os ermos idepedees de cd um deles Nese cso s clculr mri ivers d mri dos coeficiees, que será mesm pr odos os sisems e muliplicá-l por cd mri dos ermos idepedees, deermido s diferees soluções Eemplo Um idúsri produ rês produos, X, Y e Z, uilido dois ipos de isumo, e Pr mufur de cd kg de X são uilidos grm do isumo e grms do isumo Pr cd kg de Y, grm de isumo e grm de isumo Pr cd kg de Z, grm de e grms de O preço de ved do kg de cd um dos produos X, Y e Z é R$,, R$, e R$,, respecivmee Podemos usr mries pr esquemir produção de X, Y e Z d seguie form: grms de / kg grms de / kg preço / kg X Y Z kg de X produidos kg dey produidos kg dez produidos X Temos que X grms de grms de recei usdo usdo ol () Se em um período com ved de od produção de X, Y e Z mufurd com kg de e kg de, ess idúsri rrecdou R$,, eão deermie quos kg de cd um dos produos X, Y e Z form vedidos grms de usdo Nese período emos com mri dos coeficiees grms de usdo recei ol ogo, kg de X produidos kg dey produidos X kg de Z produidos Poro, form produidos kg do produo X, kg de Y e kg de Z

19 Profª Isel Crisi C eie Álger ier () Se em ouro período com ved de od produção de X, Y e Z mufurd com kg de e, kg de, ess idúsri rrecdou R$,, deermie quos kg de cd um dos produos X, Y e Z form vedidos logmee, emos kg de X produidos kg dey produidos X kg de Z produidos Poro, form produidos kg do produo X, kg de Y e kg de Z REGR DE CRER Se X é um sisem de equções lieres com icógis l que de(), eão o sisem em um úic solução Es solução é ( ) ( ) ( ) ( ) de de de,, K, de de de ( ) ( ) ode j é mri oid susiuido s erds d j-ésim colu de pels erds d mri Eemplo: Usdo regr de Crmer pr resolver Temos: Poro, de de ( ) ( ),,,, de de ( ) ( ), de de ( ) ( )

20 Profª Isel Crisi C eie Álger ier REFERÊNCIS IIOGRÁFICS CIOI, Crlos, DOINGUES, Hgio H, COST, Roero C F Álger lier e plicções edição ul Edior STEINRUCH,, WINTERE, P Álger ier Edior kro ooks NTON Howrd & RORRES Chris Álger ier com plicções Ed ookm Edição ODRINI, J Álger ier Hrr IPSCHUTZ, S Álger ier edição Coleção Schum Edior kro ooks SNTOS, Regildo J Irodução à Álger ier ivro dispoível o sie wwwmufmgr/~regi

21 Profª Isel Crisi C eie Álger ier EXERCÍCIOS ij Cosidere s mries ( ) Deermie, l que i j, i ij, i j j, l que ij i j ij e ( ) Deermie pr que se eh Cosidere s mries, e C osre s seguies proprieddes: ) ( ) C ( C) ) ( ) ( ) (ssociiv dição) (comuiv dição) (mri opos) c) ( ) λ λ λ λ d) ( ), R e) ( ) C ( C) (disriuiv por esclr) (ssociiv muliplicção) f) ( ) C C C (disriuiv à direi) g) ( C) C (disriuiv à esquerd) h) (s mries ão comum ecessrimee) i) ( ) j) ( ) λ λ λ k) ( ) ( ), R l) ( ) (é flso ( ) ) Cosidere s seguies mries:,, C, D e E ) Deermie e ) Deermie e C c) osre que s mries D e E comum * e e ão comum * ( * DE ED e ) Ecore s mries de ordem e que comum, respecivmee, com: ) )

22 Profª Isel Crisi C eie Álger ier Deermie, se possível, R pr que mri sej: ) siméric ) i-siméric Dd mri, mosre que S é um mri siméric (O produo de um mri qudrd pel su rspos é um mri siméric) Sej che um mri ( ) ij, com odos os elemeos disios, l que (oserve que ão implic ou ) Sej osre que é idempoee, iso é, Sej osre que é ilpoee de ídice, iso é, Dd mri R θ θ θ θ θ, cos cos se se, clcule e coclu que Cosidere o poliômio ( ) g Clcule ( ) g, sedo Prove que se, e C são mries iversíveis de ordem, eão ( ) C C Sejm, e C mries iversíveis de mesm ordem Resolv s equções em X, sedo-se que: ) C X ) ( ) X c) C C X d) ( ) ( ) C C X e) X osre que se é um mri iversível de ordem, eão ( ) ( ) Resolv s equções mriciis io: ) X ) Y c) W

23 Profª Isel Crisi C eie Álger ier Clcule o deermie ds mries io: ) ) se se cos cos c) se se cos cos d) se se cos cos e) f) g) h) i) d c Deermie s equções io: ) ) c) Usdo esclomeo, resolv os seguies sisems de equções lieres: ) ) c) d) e) f) Resolv os seguies sisems pel regr de Crmer ) ) c) d) d c

24 Profª Isel Crisi C eie Álger ier Deermie os vlores de β α e que orm o sisem seguir possível deermido: β α β α β α Cosidere mri ( ) ij, l que > < j i i j j i j i j i j i ij,,, Deermie X equção X, ode Discu em fução de k os seguies sisems lieres: ) k ) : k k S c) k d) k k k Usdo operções elemeres sore lihs, deermie se s mries io são iversíveis e, em cso firmivo, deermie su ivers ) ) c) C

25 Profª Isel Crisi C eie Álger ier Resposs ) e ) e ),, R ),,, R ) ) S I ) X C ) X I ) X Eisem ours é chmd mri orogol c) X ( C C) ) Y ) ) cos ( ) c) ( ) c) W d) X e) ( ) X se d) e) f) - g) h) i) cd ) ou ) ou c) ) (,, ) (,, ) ) (,, ) (,, ) d) ão eise solução e) ) (,, ) (,, ) ) (,, ) (,, ) c) (,, ) (,, ) c) (,, ) (,, ) e f) (,,, ) (,,, ) d) (,, c, d ) (,,, ) α e β X ) Se k o sisem é impossível; c) Se k o sisem é possível ideermido; Se k o sisem é possível deermido Se k o sisem é possível deermido ) Se k o sisem é impossível; d) Se k o sisem é impossível; Se k e k o sisem é possível deermido; Se k o sisem é possível deermido Se k o sisem é possível ideermido ) ) c) C ão é iversível