1. Matrizes; 2. Determinantes; 3. Sistemas Lineares; 4.Espaços vetoriais; 5. Subespaços Vetoriais; 6. Subespaços Geradores; 7.

Transcrição

1 UTOR: Luiz Herique M d Silv Grdudo em Mtemátic e hbilitdo em Físic pelo UNIFEB Especilist em Educção Mtemátic pel Fculdde São Luís Mestre em Mtemátic pel Uesp (SJRP) IBILCE PROFMT (SBM) /CPES Mtrizes; Determites; Sistems Lieres; Espços vetoriis; Subespços Vetoriis; 6 Subespços Gerdores; 7 Bse e Dimesão; 8 Combições Lieres; Emet Progrm de Mtemátic em rede Nciol Fevereiro 6 9 Depedêci e Idepedêci Lier; Trsformções Lieres; Vlores próprios e Vetores Próprios Bibliogrfis (Sugestão de Estudo) - Básics: STEIBRUCH, ; WINTERLE, P lgebr Lier Ed Perso LIPSHULTZ, S Álgebr lier São Pulo: Mkro Books, 978 LY, D C Álgebr lier e sus plicções ed Rio de Jeiro: Livro Técico Cietífico - LTC, 999 Complemetres: STEIBRUCH, ; WINTERLE, P lgebr lier São Pulo: Mkro Books, 999 KUNZE, H Álgebr lier Rio de Jeiro: Livro Técico Cietífico - LTC, 999 UNIFEB Brretos/ SP

2 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB SUMÁRIO ESTUDO DS MTRIZES Mtriz retgulr Represetções de um mtriz Form Ided Form mtricil tividde : Digol de um mtriz qudrd 6 Trço de um mtriz qudrd 6 Mtriz Trspost (trspost de um mtriz) 7 tividde : 7 6 Mtrizes com represetções especiis 8 7 Operções com mtrizes tividde : tividde : 8 Ivers de um mtriz Mtriz Ivers 7 tividde : 8 9 Leitur complemetr Mtrizes com represetções especiis (Segud prte) 8 tividde complemetr: 9 ESTUDO DOS DETERMINNTES Termo Pricipl Termo Secudário Determite de um mtriz qudrd Notção de um determite Cálculo de um determite de Ordem Cálculo de um determite de Ordem tividde 6: Cálculo de um determite de ordem ( ) 6 Teorem de Lplce tividde 7: 7 7 Leitur complemetr Proprieddes dos determites 7 8 Regr prátic de Chiò 8 Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

3 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB 9 Cálculo de determite pels operções elemetres 9 tividde complemetr Relção etre Mtriz ivers e os determites tividde 8: SISTEMS DE EQUÇÕES LINERES Equção lier Sistem de equções lieres Form mtricil de um sistem de equções lieres (Mtrizes ssocids um sistem lier) Clssificção de um sistem lier quto o cojuto verdde 6 Sistems lieres Equivletes 8 6 Sistems Lier Homogêeo 9 7 Método de esclometo de um sistem lier 9 tividde 9: tividde Complemetr: ESPÇOS VETORIIS Itrodução Plo (crtesio) IR (Bidimesiol) Espço (Tridimesiol) IR Espço IR 6 Espços Vetoriis Defiição e ioms 6 Subespços vetoriis 7 Itersecção de dois Subespços vetoriis 8 Som de dois Subespços vetoriis 8 tividde : 9 COMBINÇÂOES LINERRES (CL) tividde : Subespços Gerdores Espços Vetoriis ifiitmete gerdos tividde : 6 DEPENDÊNCI E INDEPENDÊNCI LINER 6 Vetores liermete idepedetes - LI 6 Vetores Liermete Depedetes - LD Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

4 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB tividde : 7 BSE DE UM ESPÇO VETORIL 7 Dimesão de um espço vetoril tividde : 8 TRNSFORMÇÕES LINERES 6 8 Trsformção de um espço vetoril 6 8 Trsformções Lieres 7 8 Núcleo de um trsformção Lier 9 8 Imgem de um trsformção Lier 9 tividde : 6 8 Trsformções lieres pls 6 8Trsformção Nul o plo 6 8 Trsformção Idetidde o plo 6 8 Refleões o plo 6 86 Homotetis o plo 6 87 Diltções e cotrções o plo 6 88 Cislhmetos o plo 6 89 Rotções o plo 66 8 Isometris o plo 67 8 Trsformções lieres o espço 68 8 Rotções o espço 68 tividde 6: 69 9 VETOR PRÓPRIO E VLOR PRÓPRIO DE UM OPERDOR LINER 7 9 utovlor e uto vetor de um mtriz rel 7 9 utovlor e uto vetor de um mtriz rel 7 tividde 7: 7 tividde etr 7 BIBLIOGRFIS 7 Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

5 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Mtriz retgulr Defiição : Defiição forml ESTUDO DS MTRIZES Sejm I = {,,,,, m} e j = {,,,,, } com m, IN*, dois cojutos com m e elemetos respectivmete Defie-se fução M : I J, com como sedo um mtriz retgulr m sobre Not : Se m =, temos um mtriz qudrd de ordem Not : Ituitivmete, um mtriz é um tbel (ou qudro) com elemetos (úmeros, poliômios, fuções,) dispostos em m lihs por colus Represetções de um mtriz Form Ided Um mtriz compost por m lihs e colus form ided é represetd por: Form mtricil Um mtriz compost por m lihs e colus form mtricil é represetd por: m m m m tividde : Ecotr form mtricil ds mtrizes bio, represetds form ided = (ij) tl que : ij = i - j b B = (bij) tl que: bij = i j, se i j i j, se i j Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

6 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Digol de um mtriz qudrd Digol Pricipl Defiição : Digol pricipl ou simplesmete digol de um mtriz qudrd (mij) M() é fmíli ( m Ou em outrs plvrs, um ii ) i j mtriz qudrd = [ij], de ordem, digol pricipl é costituíd pelos elemetos ij, ode i = j Eemplo: Su digol pricipl é formd pelo elemetos ( 9) Digol Secudári Defiição : fmíli (mij) com i + j = + é digol secudári d mtriz (mij) M() Ou em outrs plvrs, um mtriz qudrd = [ij], de ordem, digol secudári é costituíd pelos elemetos ij, ode i + j = + Eemplo: Su digol secudári é formd pelos elemetos ( 7) Trço de um mtriz qudrd Defiição : Defie-se Trço de um mtriz qudrd = (ij), de ordem, como som dos elemetos d digol pricipl, e deot-se pot tr() Eemplo: tr() = = Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6

7 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Mtriz Trspost (trspost de um mtriz) Defiição : mtriz de ordem m obtid de um mtriz, m, muddose s lihs pels colus, é chmd trspost de e deot-se por T Ou em outrs plvrs, se = (ij)m, etão T = (bij)m, ode bij = ji Eemplo: Proprieddes: P ( T ) T = P Sejm e B mtrizes comptíveis pr se relizr dição ( + B), etão: ( + B ) T = T + B T P(k) T = k T, ode K C PSedo e B mtrizes qudrds de mesm ordem, etão (B) T = B T T PSe é um mtriz que dmite ivers, etão ( - ) T = ( T ) - T tividde : Ecotr trspost ds mtrizes bio: ) b) B = (bij), ode bij = i j +i j (dic : B T = (ij), ode ij = j i +j i) Clcule o trço d mtriz do item ) do eercício terior Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 7

8 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB 6 Mtrizes com represetções especiis Mtriz Nul (mtriz zero) Defiição 6: Dd um mtriz = (ij)m, mtriz ul é mtriz ode ij =, pr todo i e todo j Ou sej, é um mtriz que possui todos seus elemetos ulos Mtriz Lih Defiição 7: Eemplo: Defie-se um mtriz B = (bij) como um mtriz lih Ou sej, mtriz lih é tod mtriz do tipo B Eemplo: Not : mtriz - lih é deomid vetor - lih Mtriz Colu Defiição 8: Defie-se um mtriz C = (cij)m como um mtriz colu Ou sej, mtriz colu é tod mtriz do tipo m Eemplo: C 6 Not : mtriz colu é deomid vetor - colu Mtriz Digol Defiição 9: qul se mtiz digol é um mtriz qudrd de ordem (D = [dij]), i j, etão dij = Eemplo: D X Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 8

9 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 9 Mtriz Esclr Defiição : mtriz digol que possui os elemetos dij iguis etre si pr i = j, é chmd de mtriz esclr Eemplo: X E Mtriz Idetidde (uidde) Defiição : mtriz Esclr que possui os elemetos dij iguis etre si pr i = j e uitários dij =, é chmd de mtriz Idetidde Eemplos: I ; I Mtriz Simétric Defiição : Um mtriz qudrd = (ij) de ordem é simétric se, e somete se T = Eemplos: 7 7 T Not : Se = (ij) é um mtriz simétric, os elemetos dispostos simetricmete em relção digol pricipl são iguis, ou sej, ij = ji Not 6: O produto de um mtriz qudrd pel su trspost T é um mtriz simétric Mtriz tissimétric Defiição : Um mtriz qudrd = (ij) de ordem é tissimétric se, e somete se T =- Eemplos: T T

10 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági Not 7: Se = (ij) é um mtriz tissimétric, os elemetos dispostos simetricmete em relção digol pricipl são opostos (iguis em módulo, ou sej diferem pes o sil) e os elemetos d digol pricipl são ulos Mtriz Ortogol Defiição : Um mtriz qudrd = (ij) de ordem é ortogol se, e somete se ivers de um mtriz coicide com su trspost - = T Eemplos: T Mtriz Trigulr Superior Defiição : Defie-se como um mtriz trigulr superior mtriz qudrd = [ij], de ordem, o qul os elemetos ij = pr i > j, pr todo i e j Eemplo: Mtriz Trigulr Iferior Defiição 6: Defie-se como um mtriz trigulr iferior mtriz qudrd = [ij], de ordem, o qul os elemetos ij = pr i < j, pr todo i e j Eemplo:

11 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 7 Operções com mtrizes Igulddes de mtrizes: Defiição 7: Ddos dus mtrizes de mesm ordem (m,) = (ij) e B = (bij), dizemos que = B se, e somete se, ij = bij, pr todo i e j Eemplo: B dições de mtrizes: Defiição 8: Ddos dus mtrizes de mesm ordem (m,) = (ij) e B = (bij), dizemos que mtriz S =(sij) é mtriz que represet som S = + B, tl que sij = ij + bij Eemplo: B e 9 9 S B S Proprieddes: P ssocitiv: ( + B ) + C = + (B + C) = + B + C P Comuttiv: + B = B + P Elemeto eutro: + O = O + = P Lei do corte: + (-) = (-) + = O Mtrizes Opost e subtrção de mtrizes: Defiição 9: Ddos dus mtrizes de mesm ordem (m,) = (ij) e B = (bij), defie-se mtriz opost de como sedo mtriz = (-ij) Dizemos etão, que mtriz D =(dij) é mtriz que represet difereç D = B + (- ) = B - tl que: dij = bij + (-ij) =bij ij

12 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági Eemplo: B e D B D Multiplicção de um esclr por um mtriz: Defiição : Sej IR, um esclr, e = [ij]m um mtriz de ordem (m,), mtriz P = (pij)m é mtriz que represet o produto P =, tl que: pij = ij Eemplo: e 8 6 P P Proprieddes: P = P ) ( = ) ( P ) ( P B B ) ( tividde : Quis os vlores de e reis que stisfzem:, sedo U = IR Determie, e z reis, sbedo que mtriz seguir é tissimétric: z Sedo 9 e 7 6 B, obteh: + B b B

13 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB 6 Sedo e B, resolv equção mtricil: X = B 7 8 Cosidere s mtrizes = (ij) e B = (bij) dds por: ij =i j + e bij = i j - Obteh: ) mtriz C tl que eu C = + B b) mtriz D tl que D = B Multiplicção de mtrizes Defiição : ª Prte: Defie-se o produto B de dus mtrizes e B est ordem, se, e somete se, é do tipo m e B é do tipo p ; ou sej, multiplicção de dus mtrizes eiste, se, e somete se o úmero de colus d primeir mtriz (o cso mtriz ) é igul o úmero de lihs d segud mtriz (o cso mtriz B) ( B) ij e B b ij m p ª Prte: mtriz P = (pij)mp é mtriz que represet o produto B (P = B) cso eist, ou sej, o produto de B, defiido est ordem, terá m lihs (úmero de lihs d ª mtriz, ) por p colus (úmero de colus d º mtriz, B) ( B) P B P( p ) ij e B b ij m p ij m p ª Prte: Pr clculr o elemetos pij d mtriz produto P = (pij)mp, ode P =B, tommos lih i d mtriz e colu j d mtriz B e fzemos ibj + ibj + bj + + ibj, ou sej, tommos o º elemeto d lih i e multiplicmos pelo º elemeto d colu j, tommos o º elemeto d lih i e multiplicmos pelo º elemeto d colu j, tommos o º elemeto d lih i e multiplicmos pelo º elemeto d colu j, e ssim sucessivmete, sommos etão ests prcels e obtemos pij Eemplo: 6 7 e B 9 8 Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

14 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB ª prte: Como o úmero de colus d primeir mtriz é igul o úmero de lihs d segud mtriz, multiplicção B é possível ª prte mtriz P, que represet B, é um mtriz, ou sej, o úmero de lih d ª mtriz pelo úmero de colus d segud mtriz ª prte: Clculo de P = (pij), sedo P = B: P p p p p 7 B p = ( 7) + ( 9) + ( ) = = 7 B p = ( 8) + ( ) + ( ) = = 8 7 B p = ( 7) + ( 9) + (6 ) = = 7 7 B p = ( 8) + ( ) + (6 ) = + + = 8 P 7 Proprieddes: P ssocitiv: Se, B e C são mtrizes comptíveis pr multiplicção, etão: BC = (B)C = (BC) P Distributiv: Se e B + C, são mtrizes comptíveis pr multiplicção, etão: (B + C) = B + C Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

15 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági P Se é um mtriz do tipo m, etão: I = Im =, ode I é mtriz idetidde de ordem, Im é um mtriz idetidde de ordem m Not 8: N mior prte ds vezes propriedde comutv ão é válid, ou sej: B B Potêci de mtrizes qudrds Epoetes ão egtivos Defiição : Se é um mtriz qudrd de ordem m, defiimos:,, se se I m Potêci de mtrizes qudrds Epoetes ão egtivos Defiição : Se é um mtriz qudrd de ordem m, e < defiimos: ) (, ode - é mtriz ivers de tividde : Clcule o produto ds mtrizes seguir: ) b) Determie o vlor de, sbedo que o produto ds mtrizes e é um mtriz simétric Determie os vlores de e equção mtricil: 7

16 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Sedo, clcule: ) b) c) d) Um costrutor recebe ecomed do govero pr fzer o rcbouço de três tipos de edifícios: escols, hospitis e tetros s mtéris prims serem utilizds são: ferro, cimeto, mdeir, rei mis mão de obr mtriz seguir represet qutidde de cd um dests mtéris prims que serão utilizds em cd tipo de obr Perceb que cd lih idic mtéri prim de que se ecessit em cd tipo de obr e cd colu d mtriz idic s qutiddes de cd mtéri - prim que prticipm costrução de cd tipo de edifício Supohmos gor que ecomed teh sido feit pr 7 escols, hospitis e tetros, form de mtriz temos = (7 ) Clcule o quto costrutor vi gstr em mteril (Dic: o gsto d costrutor será produto P = B) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6

17 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 7 8 Ivers de um mtriz Mtriz Ivers Defiição : Se e B são mtrizes qudrds de mesm ordem tis que B = B = I, dizemos que é ivers de B e B é ivers de Deot-se = B - e B = - Proprieddes: Se e B são mtrizes que dmitem ivers, etão: P ( - ) - = P ( - B) - = B - - P ) det( ; ) det( ) ( dj Eemplo: I Fremos etão uso de operções elemetres pr o cálculo d ivers d mtriz º multiplicdo ª lih por - e somdo com ª lih, temos um ov ª lih l l l º Multiplicdo ov segud lih por -/ l º Multiplicdo ª lih por - e somdo ª lih, temos: l l l

18 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB tividde : Obter ivers ds mtrizes: ) b) B Leitur complemetr Mtrizes com represetções especiis (Segud prte) Mtriz Periódic Defiição : Sej um mtriz qudrd, diz-se que é um mtriz periódic se, e somete se, =, pr Not 9: Se é o meor iteiro pr o qul =, etão o período d mtriz é Eemplo: mtriz idetidde de ordem é periódic Mtriz Idempotete Defiição 6: Dd um mtriz periódic, tl que =, diz-se que é um mtriz idempotete Not : O período de um mtriz idempotete é - = B Eemplo: B Obs: se =, etão = = = = = Mtriz Nihilpotete Defiição 7: Dd um mtriz qudrd, se eistir um úmero m =, diz se que é um mtriz ihilpotete I m IN, tl que Not : Se m é o meor iteiro positivo tl que m =, diz-se que mtriz é ihilpotete de ídice m Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 8

19 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 9 Eemplo: C C mtriz C é ihilpotete de ídice Obs: se =, etão = = = = = Eemplo : 6 D 9 D D D D mtriz C é ihilpotete de ídice Obs: se =, etão = = 6 = = = tividde complemetr: Com os devidos cálculos, utilizdo multiplicção de mtrizes, prove o eemplo d mtriz idempotete e os dois eemplos d mtriz ihilpotete

20 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági ESTUDO DOS DETERMINNTES Termo Pricipl Defiição 7: Dd um mtriz qudrd, de ordem, o produto dos elemetos d digol pricipl é chmdo termo pricipl m m Eemplo: Termo Secudário Defiição 8: Dd um mtriz qudrd B, de ordem, o produto dos elemetos d digol secudári é chmdo termo secudário m m B Eemplo: ) ( 6 B Determite de um mtriz qudrd Defiição 9: Sej um mtriz qudrd,, sobre C Defiimos o determite de e idicmos por det ou, o elemeto C: j j j j i ) ( det

21 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Ode i é o úmero de iversões d permutção (j, j, j,, j) em relção à permutção (,,,, ) escolhid como fudmetl e idic que som é sobre s! permutções de {,,,, } Em outrs plvrs, o determite de um mtriz qudrd é som lgébric dos produtos que se obtém efetudo tods s permutções dos segudos ídices do termo pricipl, fidos os primeiros ídices, e fzedo-se preceder os produtos dos siis + ou, coforme s permutções dos segudos ídices sej de clsse pr ou ímpr Not : ordem de um determite é mesm ordem d mtriz qudrd correspodete Notção de um determite otção usd pr represetr um determite de um mtriz qudrd será: det Cálculo de um determite de Ordem Dd um mtriz qudrd de ordem,, pr clculr o determite dest mtriz, fremos, det, e de cordo com defiição de um determite de um mtriz qudrd, temos: º psso: Escrever os elemetos que compõem o termo d digol pricipl, um pós o outro, somete com os primeiros ídices, tts vezes quts forem s permutções dos úmeros e ( o cso, dus vezes: e ou! = = ) º Psso: Colocr como segudo ídice (s dus epressões obtids teriormete), s permutções e Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

22 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB º Psso: Fzer preceder cd um dos dois produtos ssim formdos dos siis + ou -, coforme permutção dos segudos ídices serem de clsse pr ou ímpr Permutção Permutções Número de Clsse d Sil pricipl iversões permutção pr + Ímpr + - º Psso: Efetur som lgébric dos produtos ssim obtidos det = + + (- ) = + - Not : Por comodidde e simplicidde costum-se dizer que o determite de um mtriz qudrd de ordem é igul: o produto dos elemetos d digol pricipl meos o produtos dos elemetos d digol secudári det Eemplo: ( ) ( ) ( ) 8 Not : De cordo com defiição de determite pr um mtriz qudrd de ordem, como ão temos permutções serem relizds, etão covecio-se que o determite dest mtriz é o úmero que form mtriz det = = Eemplo: - = - Obs : Há um cuiddo especil em ão cofudir simbologi de um determite de ordem, com módulo (vlor bsoluto) de um úmero rel, pois escrit simbologi é muito semelhte! Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

23 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Cálculo de um determite de Ordem Dd um mtriz qudrd de ordem,, pr clculr o determite dest mtriz, fremos, det, e de cordo com defiição de um determite de um mtriz qudrd, temos: º psso: Escrever os elemetos que compõem o termo d digol pricipl, um pós o outro, somete com os primeiros ídices, tts vezes quts forem s permutções dos úmeros, e (o cso, seis vezes,! = = 6) º Psso: Colocr como segudo ídice (s seis epressões obtids teriormete), s permutções,,,, e º Psso: Fzer preceder cd um dos dois produtos ssim formdos dos siis + ou -, coforme permutção dos segudos ídices serem de clsse pr ou ímpr Permutção Permutções Número de Clsse d Sil pricipl iversões permutção pr ímpr pr ímpr pr ímpr Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

24 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB º Psso: Efetur som lgébric dos produtos ssim obtidos det=+ +(- )+ +(- )+ +(- ) det= Not : Por comodidde e simplicidde costum-se fzer uso de um regr prátic (Regr de Srrus) pr determite de um mtriz qudrd de ordem, est regr é dd pelo seguite dispositivo prático: Repetir s dus primeirs lihs ou colus (Gerlmete por fcilidde, repete-se s lihs) det =++ (++) Eemplo: ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( )] = + - [ ] = - + = 9 tividde 6: Clcule o vlor dos determites seguir: ) b) Resolv equção: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

25 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Cálculo de um determite de ordem ( ) Mtriz Complemetr Defiição : Dd um mtriz qudrd, mtriz qudrd que se obtém de suprimido-se lih de ídice i e colu de ídice j é deomid mtriz complemetr de reltiv o elemeto de posição (i,j) e deotse Mij Eemplos: 6 M 6 E ssim, podemos clcul outrs mtrizes complemetres como M, M, M,, M 6 M Coftor ou complemeto lgébrico Defiição : Sedo ij um elemeto qulquer de um mtriz qudrd, de ordem, chm-se coftor ou complemeto lgébrico de ij o úmero ij, dd por: i j ij ( ) M ij, ode Mij é o determite d mtriz complemetr Mij Eemplo: 6 M = (-) + M = (-) = (-) = - E ssim, podemos clculr os coftores,,,, 6 Teorem de Lplce Defiição : De um modo gerl, dd um mtriz qudrd, de odem ( ), temos: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

26 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB I Se o determite for desevolvido tomdo como bse um lih de ídice i d mtriz : det i i i i i i ik k II Se o determite for desevolvido tomdo como bse um colu de ídice j d mtriz : det j j j j j j kj k Not : prtir d defiição gerl, podemos clculr um determite de um mtriz qudrd, de ordem ( ) pelos seguites pssos: I Escolhe-se em um fil qulquer (lih ou colu), preferecilmete quel que possuir se eistir mior qutidde de elemetos ij = II Clcul-se o coftor ij d respectiv fil escolhid III Efetu-se o produto de cd elemeto d fil escolhid pelo seu respectivo coftor IV Som-se todos estes produtos teriores Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6 Eemplo: I Escolhedo º colu: =, = e = tes que fçmos os coftores, escolh pel primeir colu pelo fto =, trz um mior fcilidde de cálculos, pois o coftor ão precis ser clculdo, pois = II Cálculo dos coftores d primeir colu ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) 6 ( ) ( ) ( ) (6 ) ( 6) 6 III Cálculo do determite, pelo teorem de Lplce Det = + + Det = (-6) + + (-6) = = -8 ik kj

27 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB tividde 7: plicdo o Teorem de Lplce clcule o vlor dos determites seguir: ) b) c) 7 Leitur complemetr Proprieddes dos determites Sej um mtriz qudrd de ordem, temos s seguites proprieddes: P det () = det ( t ) P Se todos os elemetos de um fil (lih ou colu) de forem ulos, det() = Not 6: Ess propriedde é um corolário, pois é um cosequêci imedit do teorem de Lplce P Se multiplicrmos um fil (lih ou colu) de por um esclr k IR, etão o determite fic multiplicdo por P Se M (C), etão det (k) = k det P Se permutrmos (trocrmos) dus fils prlels (lihs ou colus), o determite troc de sil P6 Se dus fils prlels (lihs ou colus) forem iguis, o determite d mtriz é ulo P7 Se dus fils prlels (lihs ou colus) forem proporciois, o determite d mtriz é ulo P8 O determite de um mtriz ão se lter se somrmos um lih (colu) um múltiplo de outr lih (colu) P9 O determite de um mtriz ão se lter se somrmos um lih (colu) um combição lier de outrs lihs (colus) P Um mtriz que possui um lih (colu) que é combição lier ds outrs dus lihs (colus) tem determite ulo Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 7

28 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB P Se e B são mtrizes qudrds de mesm ordem, etão: det ( B) = det () det (B) P det (B) = det () det (B) P det ( ) = [det()] P det( ) det( ) P Determite de Vdermode Cosideremos os seguite determite: D i j ( ), ode i, i j j Eemplo: 9 6 ( ) ( ) ( ) 8 Regr prátic de Chiò Pr o cálculo de um determite de um mtriz qudrd qulquer de ordem, podemos usr um regr prátic, cohecid como regr prátic de Chiò, que cosiste em: I Escolher um elemeto ij = o determite de, cso eist II Se ão eistir ij = em det (), escolher, multiplicr det () por ' ij e dividir lih ou colu por ij, pois ssim teremos ij III Suprimir lih ou colu que cruzm sobre o elemeto ij = ou ' ij IV gor iremos fzer um redução d ordem de det(), ou sej, pr obtermos os elemetos do determite de ordem, vmos subtrir de cd um dos elemetos ão suprimidos o produto dqueles Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 8 ij

29 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB elemetos que se ecotrm os pés ds perpediculres bids de cd um deles sobre lih e colu suprimid V teceder o determite meor obtido o sil (-) i+j Pr fcilitr, é iteresste escolher =, pois (-) + = Eemplos: Cálculo de determite pels operções elemetres Pr o cálculo de um determite de um mtriz qudrd qulquer de ordem, podemos usr operções elemetres e chegr um mtriz trigulr superior ou iferir e procedemos d seguite meir pr se obter o det(): I trvés de operções elemetres, devemos obter um mtriz trigulr superior ou iferior o determite d mtriz II pós obtid mtriz trigulr (iferior ou superior), multiplic-se os elemetos d digol pricipl, e ssim, temos o vlor de det () Eemplo: I trvés de operções elemetres, temos: l l l l l l l l l II gor bst multiplicrmos os elemetos d digol pricipl do último determite (que represet um mtriz trigulr) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 9

30 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági ) ( 7 det tividde complemetr Se i f c h e b g d, utilizdo s proprieddes do determites, clcule: ) i f c h e b g d b) i f c h e b g d c) i h g f e d c b No determite de Vdermode bio, resolv equção: Clcule o termite bio pel regr prátic de Chiò, pelo teorem de Lplce e utilizdo operções elemetres Relção etre Mtriz ivers e os determites Mtriz Co-ftor Defiição : Se é um mtriz qudrd de ordem, deomimos mtriz coftor de (idicmos por cof ) mtriz obtid de, substituido cd um de seus elemetos pelo respectivo coftor Eemplo:

31 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB = (-) + = = (-) + = - = (-) + = = (-) + = Cof () Mtriz djut Defiição : Se é um mtriz qudrd de ordem, deomimos mtriz djut de (idicmos por dj ) mtriz trspost d mtriz coftor de dj ( ) [ Cof ( )] T Eemplo: Cof ( ) Mtriz Ivers dj( ) [ Cof ( )] T Como visto teriormete, um mtriz qudrd, de ordem, é dit iversível (ou ão sigulr) se eiste um mtriz qudrd B, tmbém de ordem, tl que: B = B = I prtir dí fremos uso d seguite propriedde: dj( ) P ; det( ) ; det( ) tmbém vist teriormete Eemplo: Cof ( ) dj( ) [ Cof ( )] T det( ) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

32 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Como, etão temos: dj( ) det( ) Mtriz Sigulr Defiição : Um mtriz qudrd, de ordem, cujo determite é ulo é um mtriz sigulr Ou sej, um mtriz qudrd, de ordem, é sigulr se e somete se ão dmite ivers - Eemplo: 6 det( ) é um mtriz sigulr 8 Mtriz Não - Sigulr Defiição 6: Um mtriz qudrd, de ordem, cujo determite é ão ulo (diferete de zero) é um mtriz ão sigulr ou regulr Ou sej, um mtriz qudrd, de ordem, é ão sigulr (ou regulr) se e somete se dmite ivers - Eemplo: det( ) é um mtriz ão- sigulr(ou regulr) tividde 8: Obter ivers ds mtrizes: ) b) B 8 6 Determie os vlores de K pr que mtriz C k : k Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

33 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB ) sej sigulr b) dmit ivers (sej ão sigulr ou regulr) Dds s mtriz e B, clcule (B) - Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

34 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági SISTEMS DE EQUÇÕES LINERES Equção lier Defiição 7: Um equção lier é um equção do tipo: = b ou b i i i Not 7: Os vlores ds vriáveis que trsform um equção lier em idetidde, isto é, que stisfzem equção, costituem su solução Esses vlores são deomis rízes d equção Eemplo: + 7z = - É um equção lier cujs rízes são =, = e z = Sistem de equções lieres Defiição 8: Defie-se um sistem de equções lieres como sedo um cojuto de equções lieres uids por um coectivo e ) ( m m m m m b b b b Eemplos: ; 6 IR U ; 6 IR U z z z ; IR U t z t t z

35 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági Form mtricil de um sistem de equções lieres (Mtrizes ssocids um sistem lier) Podemos ssocir um sistem de equções lieres com o uso de mtrizes ssocids este sistem lier, ssim dizemos que este está epresso form mtricil m m m m m b b b b m m m m b b b Not 8: Ode mtriz m m m é chmd de mtriz icomplet do sistem de equções lieres e mtriz m m m b b b é mtriz complet do sistem de equções lieres Eemplos: 6 ; 6 IR U Mtriz icomplet:

36 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6 Mtriz complet: 6 6 ; 6 z IR U z z z Mtriz icomplet: Mtriz complet: 6 Not 9: Os vlores ds vriáveis que trsformm simultemete s equções de um sistem lier em idetidde, isto é, que stisfzem tods s equções do sistem, costituem su solução Esses vlores são deomis rízes do sistem de equção lier Clssificção de um sistem lier quto o cojuto verdde Um sistem de equções lieres pode dmitir um úic solução, ifiits soluções ou té mesmo ão dmitir solução, detro de um cojuto uiverso Sedo ssim, podemos clssificr um sistem de equções lieres e cordo com o tipo de solução (ou ão solução) que ele irá possuir Sistem Comptível (SC) Defiição : Um sistem de equções lieres é dito comptível qudo dmite solução, ou sej, qudo seu cojuto verdde ão for vzio Sistem Comptível e Determido (SCD) Defiição : Um sistem de equções lieres Comptível é dito Determido qudo dmite solução úic

37 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Eemplo: O sistem lier seguir é comptível e determido, pois dmite um úic solução, o pr ordedo (,) U IR V (, ) IR Iterpretção geométric: Sistem Comptível e Idetermido (SCI) Defiição : Um sistem de equções lieres Comptível é dito idetermido qudo dmite mis de um solução ( verdde ifiits soluções) Eemplo: O sistem lier seguir é comptível e idetermido, pois dmite um ifiidde de soluções U IR V, IR : IR 6 Iterpretção geométric: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 7

38 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Sistem Icomptível (SI) Defiição : Um sistem de equções lieres é dito icomptível qudo ão dmite solução, ou sej, seu cojuto verdde é vzio Eemplo: O sistem lier seguir é icomptível, pois ão dmite soluções U IR 9 V Iterpretção geométric: Sistems lieres Equivletes Defiição : Dois sistems de equções lieres são equivletes qudo dmitem mesm solução (ou o mesmo cojuto verdde), detro de um mesmo cojuto uiverso Eemplo: Os dois sistems seguir são equivletes, pois possuem o mesmo cojuto verdde e ( U IR ) V (,) IR :, IR Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 8

39 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 9 6 Sistems Lier Homogêeo Defiição 6: Um sistem de equções lieres é dito homogêeo se os termos idepedetes são todos ulos m m m m Eemplos: ; 6 IR U ; IR U z z z ; IR U t z t t z Not : Um sistem homogêeo será sempre comptível, ou sej, sempre ir dmitir solução sedo: I Comptível e Determido, se dmitir pes solução chmd Trivil, U = IR, V = (,); U = IR,V = (,,), U = IR, V = (,,,); II Comptível e idetermido, se o sistem dmitir ifiits soluções Resolução de um sistem lier Eistem vários métodos de resolução pr um sistem lier, o qul iremos destcr dois: I Método de Esclometo II Método de Guss Jord 7 Método de esclometo de um sistem lier O esclometo de um sistem lier cosiste em um método de elimição de vriáveis, tordo o sistem esclodo Pr resolução de um sistem de equções lieres por este método, devemos efetur os seguites pssos: º Psso: Escolher um equção lier do sistem pr ão ser esclod (ou sej se mter imutável); º Psso: escolher primeir vriável ser elimid;

40 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági º Psso: com s equções já esclods, escolher outr equção (for primeir já escolhid), pr ão mis ser esclod; º Escolher segud vriável (cso houver), pr ser elimid; E ssim, sucessivmete, té que últim equção esclod teh pes um úic vriável, peúltim, dus vriáveis e ssim por dite tividde 9: Resolver e clssificr os sistems lieres bio quto o seu cojuto verdde ) z z z 7 7 ) z z z b 7 6 ) z z z c ) z z z d tividde Complemetr: Discutir os sistems: ) m m m b ) k k z z z Discutir e resolver o sistem: z z z k Dds s mtrizes: = (i) tl que j i ij

41 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági B= (b ij ) tl que ij b = i i j j se se i i j j C, D ) Clcule T C b) Clcule D + B Dd mtriz = presete: ) digol pricipl b ) digol secudári c ) tr () Prove que: 6 Prove que mtriz é ortogol 7 N cofecção de três modelos de cmiss (, B e C) são usdos botões grdes (G) e pequeos (p) O úmero de botões por modelos é ddo pel tbel:

42 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Cmis Cmis B Cmis C Botões p Botões G 6 O úmero de cmiss fbricds, de cd modelo, os meses de mio e juho, é ddo pel tbel: Mio Juho Cmis Cmis B Cmis C Nests codições, obter tbel que dá o totl de botões usdos em mio e juho 8 (Fp SP) Um motdor produz três modelos de veículos,, B e C Neles podem ser istldos dois tipos de ir bgs, D e E mtriz [ir bg modelo] mostr qutidde de uiddes de ir bgs istlds: Num determid sem form produzids s seguites qutiddes de veículos, dds pel mtriz [modelo-qutidde]: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

43 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB ) b) c) d) e) 9 Um dispositivo eletrôico, usdo em segurç, modific seh escolhid por um usuário, de cordo com o procedimeto descrito bio seh escolhid SSSS deve coter qutro dígitos, represetdos por S,S,S e S Esses dígitos são etão, trsformdos os dígitos M, M, M e M d seguite form: Se seh de um usuário, já modificd, isto é, M =, M =, M = e M =, podemos firmr que seh escolhid pelo usuário foi: ) b) c) d) e) (UEL PR) Um ds forms de se evir um mesgem secret é por meio de códigos mtemáticos, seguido os pssos: I Tto o destitário quto o remetete possuem um mtriz chve C; II O destitário recebe do remetete um mtriz P, tl que MC=P, ode M é mtriz mesgem ser decodificd; III Cd úmero d mtriz M correspode um letr do lfbeto: =, = b, = c,, = z; IV Cosideremos o lfbeto com letrs, ecluido s letrs, k, w e V O úmero zero correspode o poto de eclmção VI mesgem é lid, ecotrdo mtriz M, fzedo correspodêci úmero/letr e ordedo s letrs por lihs d mtriz coforme segue: mmmmmmmmm Cosidere s mtrizes: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

44 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Com bse os cohecimetos e s iformções descrits, ssile ltertiv que preset mesgem que foi evid por meio d mtriz M ) Bosorte! b) Boprov! c) Botrde! d) judeme! e) Socorro! Resposts: ) ) S C D m S C I m S I m S C D k k b) S C I k S I k ) S C I k 7 V,, tq IR ) ) ) ( ) b) ( 7 ) c) 7) 8) b) 9) c) ) c) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

45 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB ESPÇOS VETORIIS Itrodução Iicilmete vmos recordr o plo IR, o Espço IR e s represetções de vetores os mesmos, pr que possmos esteder os coceitos pr os espços IR, IR, IR ; embor se perc visão geométric de espços cim de Plo (crtesio) IR (Bidimesiol) Defiição 7: Defiimos o plo Crtesio por IR {(, ) /, IR} - dimesão v (, ) ou v Espço (Tridimesiol) IR Defiição 8: Defiimos o espço tridimesiol por IR {(,, z) /,, z IR} - dimesão v (,, z) ou v z Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

46 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Espço IR De form álog s defiições teriores, temos: IR {(,,, ) /,,, IR} - dimesão IR {(,,,, ) /,,,,, IR} - dimesão IR {(,,,, ) / i IR}, com i,,,, - dimesão Espços Vetoriis Defiição e ioms Defiição 9: Sej V um cojuto ão vzio sobre o qul estejm defiidos s operções de dição e multiplicção por esclr, isto é: i) u, v V, ( u v) V ii) v V, IR, v V ode u e v são vetores O cojuto V com esss dus operções é chmdo espço vetoril rel (ou espço vetoril sobre IR), se forem stisfeitos os seguites ioms: I Em relção dição: ) ( u v) w u ( v w), u, v, wv ) u v v u, u, v V ) V, v V, v v v ) v V, ( v) V, v ( v) II Em relção multiplicção por esclr: M ) ( ) v ( ) v M ) ( ) v v v M ) ( u v) u v M ) v v pr u, v V e, IR Not : Os elemetos do espço vetoril V são chmdos vetores, idepedetemete de su turez; podemos chmr de vetores os Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6

47 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB úmero (qudo V for um cojuto umérico), os poliômios (qudo V for costituído de poliômios), s mtrizes (qudo V for costituído de mtrizes), e ssim por dite Not : Os cojuto IR, IR, IR,, IR, são espços vetoriis com s operções de dição e multiplicção por esclres usuis, pois são verificdos os oito ioms estes cojutos Observção : Prov fic crgo do leitor! (Bst provr que IR é um espço vetoril e por cosequêci os outros tmbém serão Subespços vetoriis Teorem : Sej S um subcojuto ão vzio S de V S V, ode V é um espço vetoril; S é um subespço vetoril de V se forem stisfeits s seguites codições: i) u, v S, ( u v) S ii) v S, IR, v S Observção : Pr mostrr que um subcojuto S é um subespço vetoril de V, deverímos testr os oito ioms de espço vetoril reltivos à dição e à multiplicção por esclr No etto como S é subcojuto de V (que já se sbe ser um espço vetoril); ão há ecessidde de verificção de certos ioms em S Corolário : vetoriis: Todo espço vetoril (V) dmite o meos dois subespços i) Subespço ulo (zero): {} ii) O próprio espço vetoril V Observção : Estes dois subespços vetoriis de V são chmdos de triviis, os demis são chmdos de subespços próprios de V Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 7

48 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Itersecção de dois Subespços vetoriis Sejm S e S dois subespços vetoriis de V itersecção S de S e S ( S S S), é o cojuto de todos os vetores v V tis que v S e v S Proposiço: iterseção S de dois subespços vetoriis S e S de V é um subespço vetoril de V Som de dois Subespços vetoriis Sejm S e S dois subespços vetoriis de V som S de S e S ( S S S), é o cojuto de todos os vetores u v V tis que u S e v S Proposição : som S de dois subespços vetoriis S e S de V é um subespço vetoril de V Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 8

49 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB tividde : Sejm V = IR e S {(, ) IR : } vetoril de V Prove que S é um subespço Sejm V = IR e S {(, ) IR ; IR} subespço vetoril de V Prove que S ão é um Sejm V = IR e S {(,, z) IR : Z } Prove que S é um subespço vetoril de V Sejm V = IR e S {(,,) IR : IR} subespço vetoril de V Prove que S ão é um Sejm V = IR e S {(,, z,) IR :,, z IR} subespço vetoril de V Mostre que S é um 6 Escrever o subespço vetoril composto por tods s mtrizes M que são solução do sistem: z z z Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 9

50 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB COMBINÇÂOES LINERRES (CL) Defiição : Sejm os vetores v, v, v,, v do espço vetoril V e os esclres,,, todo vetor, d form: v = v + v + v + + v é um combição lier dos vetores v, v, v,, v tividde : Ddos o vetores v = (, -, ) e v = (,, -) pertecetes o IR ) Escrev o vetor v = (-, -8, 7) como um combição lier dos vetores v e v b) Mostre que o vetor v = (,, -6) ão é um combição lier dos vetores v e v c) Determie o vlor de k pr que o vetor u = (-, k, -7) sej um combição lier de v e v Mostre que o vetor v (,) IR pode ser escrito de ifiits meirs combição lier dos vetores v = (,), v = (,) e v = (,-) Subespços Gerdores Teorem : Sejm V um espço vetoril e = {v, v, v,, v} um subcojuto ão vzio de V ( V, ) ; o cojuto S de todos os vetores de V que são um combição lier (CL) de é um subespço vetoril de V Not : i Dizemos que o subespço S foi gerdo pelos vetores v, v, v,, v ou pelo cojuto, e represetmos por: S = [v, v, v,, v] ou S = G() Os vetores v, v, v,, v são chmdos gerdores do subespço S, equto o cojuto é o cojuto gerdor de S ii Se [ ] {} iii G() Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

51 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Espços Vetoriis ifiitmete gerdos Defiição : Um espço vetoril V é ifiitmete gerdo se eiste um cojuto fiito, V, tl que V = G() tividde : Prove que os vetores i = (, ) e j = (, ) germ o espço vetoril IR Mostre que os vetores i = (,, ), j = (,, ) e k = (,, ) germ o IR Sej V = IR Determie o subespço gerdo pelo vetor v = (,, ) Sej V = IR Determie o subespço gerdo pelo cojuto = {v, v} sedo v = (, -, -) e v = {,, } Sej V = IR Determir o subespço gerdo pelo cojuto = {v, v, v}, sedo v = (,,), v = (,,) e v = (,,) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

52 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB 6 DEPENDÊNCI E INDEPENDÊNCI LINER 6 Vetores liermete idepedetes - LI Defiição : Sejm V um espço vetoril e ={v, v, v,, v} V Cosideremos equção lier: v + v + v + + v = O Cojuto é chmdo de liermete idepedete (LI) cso equção lier dmit pes solução trivil: =, =, =,, = Ou sej, os vetores v, v, v,, v são LI Not : Se dois vetores u e v ão são múltiplos, etão eles são LI Teorem : Sejm v, v, vtrês vetores LI do espço; etão pr cd vetor u do espço eistem esclres úicos,, u = v + v + v IR, tis que: Proprieddes: Sej V um espço vetoril PSe = {v} e v, etão é LI Observção : Cosider-se, por defiição, que o cojuto vzio é LI P Se um cojuto V LI é LI, qulquer prte ( ) tmbém é 6 Vetores Liermete Depedetes - LD Defiição : Sejm V um espço vetoril e = {v, v, v,, v} V Cosideremos equção lier: v + v + v + + v = O Cojuto é chmdo de liermete depedete (LD) cso equção lier dmit outrs soluções lém d solução trivil:, pr i =,,,, i Ou sej, os vetores v, v, v,, v são LD Not : Se dois vetores u e v são múltiplos, etão eles são LD Teorem : Um cojuto = {v, v, v,, v} é LD se, e somete se, pelo meos um desses vetores é um CL dos demis Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

53 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Proprieddes: Sej V um espço vetoril PSe um cojuto V P Se um prte do cojuto V cotém o vetor ulo, etão é LD é LD, etão é LD tividde : Sedo V = IR, verifique que os vetores v = (, -, ), v = (-,, -) e v = (-, -, ) são LI Ddo que v + v v = Mostre que os vetores v = (,,, ), v = (,, -, ) e v = (,,, - ), sedo V = IR, são LI Verifique que são LI: ) {e, e} b) {e, e, e} IR, tl que e = (, ) e e = (, ) IR, tl que e = (,, ), e = (,, ) e e = (,, ) Mostre que o espço vetoril M (, ), o cojuto:,, é LD Verifique se são LI ou LD, os seguites cojutos: 6 ), M (,) 9 b) {(, -), (, )} IR 6 Determie o vlor de k pr que o cojuto: {(,, -), (,, ), (k,, -)} IR ) Sej LI b) Sej LD Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

54 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB 7 BSE DE UM ESPÇO VETORIL Defiição : Sej V um espço vetoril e B = {v, v, v,, v} um subcojuto ão vzio de V B V, o cojuto B é um bse do espço vetoril V, se forem stisfeits s seguites codições: I B é LI e II B ger v Not 6: i Todo cojuto LI de um espço vetoril V é bse do subespço por ele gerdo Teorem : Se B = {v, v, v,, v} for um bse de um espço vetoril V, etão todo cojuto com mis de vetores será LD Corolário : Dus bses quisquer de um espço vetoril tem o mesmo úmero de vetores 7 Dimesão de um espço vetoril Defiição : Sej V um espço vetoril: i Se V possui um bse com vetores, etão V tem dimesão : dim(v) = ii Se V ão possui bse, etão V tem dimesão ul : dim(v) = iii Se V tem um bse com ifiitos vetores, etão dimesão de V é ifiit: dim(v) = Eemplos: ) dim IR = ; pois tod bse do IR possui dois vetores b) dim IR = ; pois tod bse do IR possui três vetores c) dim IR = ; pois tod bse do IR possui qutro vetores dim IR = ) dim M ( X ) = b) dim M ( X ) = 6 Dim M(m X ) = m ) ) dim P = ( +) = b) dim P = (+) = c) dim P= + Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

55 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Teorem 6: Sedo V um espço vetoril de dimesão; qulquer cojuto de vetores LI em V é prte de um bse, isto é, poderá ser completdo té formr um bse de V Teorem 7: Sej B = {v, v, v,, v} um bse de um espço vetoril V Etão, todo ve btor v V dos vetores de B se escreve de meir úic como um CL tividde : Verificr que B = {(,), (-,)} é um bse o IR Verifique que B = {(,), (,)} ão é um bse o IR Mostre que B = {(,,), (,,), (,,)} é um bse o IR Mostre que B = {(,,),(-,-,)} ão é um bse o IR Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági

56 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB 8 TRNSFORMÇÕES LINERES 8 Trsformção de um espço vetoril Defiição 6: Sejm V e W dois espços vetoriis e sej T : V W um trsformção de um espço vetoril V em um espço vetoril W, cd v V eiste em correspodêci w W, chmdo imgem, etão W = T(V) Fução ou plicção de V em W V = {v,v, v, v} e W = {w,w, w,,w} Eemplo: v = (,) Sej T : IR IR um trsformção que ssoci os vetores IR com os vetores w = (,,z) IR Sedo s leis de formção T(,) = (, -, - ) e T(,) = (, -, + ), obteh o digrm que represet T(,), T(-,) e T(,) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6

57 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB 8 Trsformções Lieres Defiição 7: Sejm V e W espços vetoriis, um plicção de T : V W é chmd trsformção lier de V em W se forem stisfeits s seguites codições: I T(u + v) = T(u) + T(v) II T( u) = T(u) Pr u, v V e IR Not 7: i Um trsformção lier mtém fi origem, ou sej, tod trsformção lier O W, isto é T() = T : V W, imgem do vetor OV é o vetor Observção: recíproc ão é verddeir, pois em tod trsformção que preserv origem é lier! Por eemplo: T : IR IR, T(,) = (, ) preserv origem ou sej, T(,) = (,), ms ão é um trsformção lier iium trsformção lier de V em V ( T : V V ) é chmd operdor lier sobre V Eemplo: trsformção T do eemplo terior, é lier, pois primeirmete el preserv origem, e stisfz s dus codições de um trsformção lier Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 7

58 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prov: I T(u + v) = T (u) + T (v) Sejm u = (, ) e v = (, ), sedo u,v T( u + v) = T( +, + ) V T( u + v) = ( ( + ), -( + ),( + )-( + )) T(u + v) = ( +, -, + ) T(u + v) = (, -, ) + (, -, ) T(u + v) = T(u) + T(v) II T( u) T( u) Sejm u = (, ) V e IR T( u) T( (, ) ) T( u) T(, ) T( u) (,, ) T( u) (,, ) T( u) T( u) Lodo T(, -, ) é um trsformção lier Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 8

59 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB 8 Núcleo de um trsformção Lier Defiição 8: Chm-se úcleo de um trsformção lier T : V W, o cojuto de todos os vetores v V que são trsformdos em W N ( T) Ker( T) { v V / T( v) } Observção 6: N ( T ) V e N( T ) Proposição : O úcleo de um trsformção lier subespço vetoril de V T : V W é um 8 Imgem de um trsformção Lier Defiição 9: Chm-se imgem de um trsformção lier, o cojuto de todos os vetores ww um vetor v V T : V W que são imgem de pelo meos Im( T) T( v) { ww / T( v) w, pr lg um v V} Observção 7: Im( T) W e Im( T) ; pois T() Im( T) Proposição : imgem de um trsformção lier subespço vetoril de W T : V W é um Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 9

60 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Teorem 8: Sej V um espço vetoril de dimesão fiit e T : V W um trsformção lier Etão dim N(T) + dim Im(T) = dim V tividde : Prove que trsformção T : IR IR, T(, ) = ( -, +, ) é lier Mostre trsformção T : IR IR, T(, ) = ( +, + ) ão é lier Verifique se trsformção T : IR IR, é um operdor lier ou T() = + Cosidere o operdor lier T : IR IR, defiido por: T(,, z) = ( + + z, + -z, z) ) Obteh o vetor u IR : T(u) = (-, 8, -) b) Obteh o úcleo dest trsformção lier Dd trsformção lier T : IR IR e sbedo que T(,-) = (,, -) e T(-, ) = (, -, ) ) obteh T(, ) b) Obteh o úcleo de T(, ) Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6

61 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB 8 Trsformções lieres pls Defiição 6: Defie-se s trsformções lieres pls como sedo s trsformções de IR em IR, T : IR IR 8Trsformção Nul o plo T : IR IR (, ) (,) ou T(, ) = (, ) Mtriz d trsformção ul o plo: 8 Trsformção Idetidde o plo T : IR IR (, ) (, ) ou T(, ) = (, ) Mtriz d trsformção idetidde o plo: 8 Refleões o plo R Refleões em toro do eio O (bscisss) T : IR IR (, ) (, ) ou T(, ) = (, -) Mtriz d refleão em too do eio O: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6

62 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB R Refleões em toro do eio O (ordeds) T : IR IR (, ) (, ) ou T(, ) = (-, ) Mtriz d refleão em too do eio O: R Refleões em toro d origem T : IR IR (, ) (, ) ou T(, ) = (-, - ) Mtriz d refleão em too d origem: Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6

63 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6 R Refleões em toro d ret = : IR IR T ), ( ), ( ou T(, ) = (, ) Mtriz d refleão em too d ret = : R Refleões em toro d ret = - : IR IR T ), ( ), ( ou T(, ) = (-, -) Mtriz d refleão em too d ret = :

64 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB 86 Homotetis o plo Defiição 6: Um Homoteti o plo é um trsformção lier T : IR IR, defiid por: T ( u) u (, ) (, ) ou T(, ) = (, ) Mtriz de um homoteti o plo: Ode :, pr u IR e IR i Se, temos um trsformção ul o plo; ii Se, temos um trsformção idetidde o plo; iii Se, temos um refleão em toro d origem; iv Se, temos um diltção o plo; v Se, temos um cotrção o plo Observção 8: Se o vetor mtém seu setido, ms se o vetor troc de setido 87 Diltções e cotrções o plo D Diltção ou cotrção direção do vetor (, ) T : IR IR (, ) (, ) ou T(, ) = (, ) ( IR) Observção 9: Ou sej um diltção ou cotrção direção de um vetor o plo é um homoteti o plo D Diltção ou cotrção direção do eio (bscisss) T : IR IR (, ) (, ) ou T(, ) = (, ) ( ) Mtriz d diltção ou cotrção direção do eio : Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6

65 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Observção : Se, temos um diltção o plo; Se, temos um cotrção o plo D Diltção ou cotrção direção do eio (ordeds) T : IR IR (, ) (, ) ou T(, ) = (, ) ( ) Mtriz d diltção ou cotrção direção do eio : Observção : Se, temos um diltção o plo; Se, temos um cotrção o plo 88 Cislhmetos o plo C Cislhmeto direção do eio O (bscisss) T : IR IR (, ) (, ) ou T(, ) = (, ) Mtriz do cislhmeto direção do eio : Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 6

66 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB Observção : O efeito do cislhmeto é trsformr o retâgulo BCD o prlelogrmo B C D, de mesm bse e mesm ltur C Cislhmeto direção do eio O (ordeds) T : IR IR (, ) (, ) ou T(, ) = (, ) Mtriz do cislhmeto direção do eio : 89 Rotções o plo Proposição : rotção de um plo em toro d origem, que fz cd poto descrever um âgulo, determi um trsformção lier T : IR IR cuj mtriz côic é: Prov: T cos seo se cos Sej um vetor v = (, ) do IR, de orm (módulo) d, e formdo um âgulo com o eio O, este vetor sofre um trsformção lier pl, ou sej um rotção de um âgulo o setido ti-horário, sedo obtido o vetor v = (, ) de mesm orm Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 66

67 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB I No triâgulo OB reto em, temos: se e d II No trigulo OCD reto em C, temos: se( ) cos ' d e III Como se( ) secos se cos ' se cos IV Como ' cos se cos( ) coscos se se d cos( ' ) d ' se cos d d d ' cos se d d d Portto, de III e IV, temos: ' cos ' seo se cos (cqp) 8 Isometris o plo Defiição 6: Um isometri o plo é um trsformção T : IR IR se, e somete se, d(t(p), T(q)) = d(p,q), ou sej, pr dois potos quisquer do plo (P e Q), isometri preserv s distâcis) São isometris o plo: I trsformção idetidde; I Trslções e rotções; I Refleão em toro de um ret Proposição : Se T : IR IR é um isometri tl que T() =, etão T é um trsformção lier Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 67

68 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB 8 Trsformções lieres o espço Defiição 6: Defie-se s trsformções lieres o espço como sedo s trsformções de IR em IR, T : IR IR Not 8: Eistem diversos trsformções lieres o espço, como refleões, homotetis, cislhmetos, rotções, etre outrs, como vist o plo Ms dremos êfse s rotções o espço Esse operdor lier 8 Rotções o espço Detre tods s rotções possíveis o espço, iremos estudr rotção em toro do eio Z Defiição 6: Um rotção o espço em toro do eio Z fz cd poto descrever um âgulo em toro desse eio Esse operdor lier T : IR IR é defiido por : T(,,,z) = ( cos -se, se +cos, z), e su mtriz côic é: cos T se se cos Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 68

69 postil de Álgebr Lier Egehri Elétric - UNIFEB tividde 6: Ddo o vetor v = (, ) ) Fç um refleão em toro do eio O, e obteh o vetor v b) fç um refleão do vetor v em toro do eio e obteh o vetor v c) Fç um cislhmeto do vetor v direção do eio O pr e obteh o vetor v d) fç um rotção de 9º do vetor v e obteh o vetor v e) represete todos os vetores: v, v, v, v e v Determir mtriz d trsformção lier de IR em IR que represet um cislhmeto por um ftor direção horizotl seguid de um refleão em toro do eio Os potos (, -), B (6, ) e C (, ) são vértices de um triâgulo equilátero Determie o vértice C Ddo o vetor v = (,, ) do IR, fç um rotção de 8º e ecotre o vetor v Prof Me Luiz Herique Moris d Silv Pági 69