Revisão de Álgebra Matricial

Transcrição

1 evisão de Álgebr Mtricil Prof. Ptrici Mri ortolo Fote: OLDINI, C. e WETZLE, F.; Álgebr Lier. ª. ed. São Pulo. Editor Hrbr, 986

2 Álgebr Mtricil D Mtemátic do º. Gru: y ( y ( De( : y Em ( : ( Em ( : y y 8 6 y = y = - + Eq Eq Lier (Eq Lier (Eq

3 Álgebr Mtricil Idivíduo ltur (m Peso (kg Idde (os,7 7,75 6 5,6 5 5,8 7 pós estudr rtigos teóricos e empíricos lço seguite hipótese sobre relção etre esss vriáveis: Peso = β + β ltur + β Idde

4 Álgebr Mtricil Posso escrever s seguites equções com os ddos ds pessos que teho:,7,75 5,6 5,8 s icógits são β, β,β E se tivéssemos estuddo o que fet retbilidde sobre o PL ds empress?

5 Álgebr Mtricil Supoh que pós ler rtigos teóricos e empíricos você poss lçr seguite hipótese: OE = β + β tivo + Β D/E Você escolhe empress pr compor mostr: Vle, Petro, Foods e Gol e utiliz os ddos de : Empres OE tivo (milhões $ D/E Vle 6,8.66 7, Petro, , Foods 5, ,6 Gol 7, 9.6 6,

6 Álgebr Mtricil Posso escrever s seguites equções com os ddos que teho: , , , 6,8,5 5,9 7,

7 Álgebr Mtricil Podemos represetr esses ddos dispodo-os em lihs e colus. isso chmmos mtriz: ,, 9,6 6, 6,8,5 5,9 7, Pode ser represetd etre ( ; [ ];

8 Álgebr Mtricil Eemplos: 5 X X 6 m = m idic o o. de lihs e o o. de colus ij = é o elemeto loclizdo i-ésim lih e j-ésim colu N mtriz => = = N mtriz => b = b =

9 Álgebr Mtricil Esclr: o. rel = mtriz = [k] Tipos Especiis de Mtrizes: Mtriz Qudrd: qudo m = Mtriz Nul: qudo ij = i e j 6 5

10 Álgebr Mtricil Tipos Especiis de Mtrizes: Mtriz Colu: vetor colu = m Mtriz Lih: Vetor lih = y

11 Álgebr Mtricil Tipos Especiis de Mtrizes: Mtriz Digol: ij = i j em um mtriz qudrd Mtriz Idetidde ou Uidde: qudo em um mtriz qudrd ii = e ij = i j 6

12 Álgebr Mtricil Tipos Especiis de Mtrizes: Mtriz Trigulr Superior: ij = p/ i > j em um mtriz qudrd Mtriz Trigulr Iferior: ij = p/ i < j em um mtriz qudrd

13 Álgebr Mtricil Tipos Especiis de Mtrizes: Mtriz Simétric: qudo m = e ij = ji 5 5 6

14 Operções com Mtrizes dição s mtrizes precism ser de mesm ordem m = [ ij ] e m = [b ij ] C = + = [ ij + b ij ] m Proprieddes d som:. Comuttividde: + = +. ssocitividde: + ( + C = ( + + C. + =, ode é mtriz ul m e C

15 Operções com Mtrizes Subtrção Segue o mesmo pricípio d som Multiplicção por esclr: Sej k um esclr e = [ ij ] m k. = [k. ij ] m Eemplo: k k Proprieddes:. k ( + = k + k. (k + k = k + k.. =. k (k = (k k e 6

16 Operções com Mtrizes Trsposição Um mtriz trspost é obtid trocdo-se s lihs e colus d mtriz origil. Um mtriz m ficrá m. Deot-se Eemplo: ' ' ' C C

17 Trsposição Proprieddes: Operções com Mtrizes. Um mtriz é simétric se, e somete se, =. =. ( + = +. (k = k 5. ( =

18 Eemplo de plicção Supoh que você está tetdo prever o retoro de um crteir. lists fizerm s previsões de retoro de ções pr estdos d ecoomi. Estdo d Nturez Vle Petro Gol OOM 5% % 6% ESTÁVEL % % % ECESSÃO % % % Se você estiver plejdo ivestir % em Vle, % em Petro e % em Gol, que retoros terá em cd estdo?

19 etoros esperdos: Eemplo de plicção OOM: % 5% + % % + % 6% = 5,% ESTÁVEL: % % + % % + % % =,6% ECESSÃO: % % + % % + % % =,9% O que fizemos foi um multiplicção de mtrizes: 5% % % % % % 6% % % % % 5,%,6% %,9%

20 Multiplicção de Mtrizes m p = C mp Cd elemeto c ij é o somtório dos produtos dos elemetos d i-ésim lih de pel j-ésim colu de O o. de colus de e o o. de lihs de precism ser iguis (. ( (. 5 7

21 Multiplicção de Mtrizes Proprieddes:. Em gerl Note, id, que =, sem que = ou =. I = I = (o que justific o ome d mtriz idetidde. (+C = + C (distributividde à esquerd 6 6 e Etão 6 e Sejm

22 Proprieddes: Multiplicção de Mtrizes. (+C = C + C (distributividde à direit 5. (C = (C (ssocitividde 6. ( = (observe ordem 7.. = e. =

23 epresetdo lgums operções mtemátics form mtricil Somtório: i i i i i i ' Ou ' Etão,

24 epresetdo lgums operções mtemátics form mtricil Somtório de qudrdos: i i i i ' Etão

25 epresetdo lgums operções mtemátics form mtricil Somtório de produtos cruzdos: y y ' ' Etão i i i i i i y y y y y y y y y y y

26 Sistems de Equções Lieres cd sistem de equções que precis ser resolvido podemos ssocir um mtriz ('' / ('. 5 7 (' (' (' 5 7 ( (' ( (. (' ( (. 5 5 ( ( ( 5 5 ( II I

27 Sistems de Equções Lieres cd sistem de equções que precis ser resolvido podemos ssocir um mtriz ( III / / 7 5 (''. ('' (''' ('' ('' ('' 7 / 5 / (''.7 ('' (''' / ( IV / / ('''. ( iv / / / (''' (''' (''' / / / / / /

28 Sistems de Equções Lieres cd sistem de equções que precis ser resolvido podemos ssocir um mtriz ( ( ( ( ( ( /. ( ( ( /. ( / / / / ( ( ( / / / / ( v v v v iv iv v iv iv iv iv iv VI V

29 Ou id: Sistems de Equções Lieres Observções: s operções relizds preservm s igulddes (,, é solução do sistem I e tmbém do II, III, IV, V e VI Operções possíveis: Multiplicr um equção por o. dicior um equção outr Permutr dus equções

30 Sistems de Equções Lieres Coceitos: Um sistem de equções lieres com m equções e icógits é: Com ij, i m, j Um solução é um -upl de úmeros (,,..., que stisfç simultemete ests m equções m m m m b b b

31 Sistems de Equções Lieres Coceitos: O sistem terior pode ser escrito form mtricil: X = m m m m b b b

32 Sistems de Equções Lieres Coceitos: Mtriz mplid: mtriz mplid do sistem VI é: m m m m b b b

33 Sistems de Equções Lieres Sistems de equções lieres equivletes: se tod solução de um sistem é tmbém solução de outro Pr resolver o sistem iicil reduzimos mtriz mplid um mtriz-lih reduzid à form escd. Defiição: º. elemeto ão ulo de um lih ão ul é b Cd colu que cotém o º. Elemeto ão ulo de lgum lih tem todos os seus outros elemetos iguis zero c Tod lih ul ocorre bio de tods s lihs ão uls d Se s lihs,..., r são lihs ão uls, e se o º. elemeto ão ulo d lih i ocorre colu k i, etão, k < k <... < k r

34 Sistems de Equções Lieres Posto: é o o. de lihs ão uls d mtriz-lih reduzid à form escd lih equivlete Nulidde: é o o. p ode é o o. de colus. Eemplos: redudtes equções há Nulidde Posto 9 / 9 / Nulidde Posto /8 / 7 /8 5

35 Sistems de Equções Lieres Tmbém dizemos que s dus primeirs equções são idepedetes e s demis depedetes Um lih é depedete de outr se el puder ser escrit como som de produtos dests outrs lihs por costtes O mesmo que dizer que est lih é um combição lier ds outrs POSTO = o. de equções idepedetes redudtes equções há Nulidde Posto 9 / 9 / Nulidde Posto /8 / 7 /8 5

36 Sistems de Equções Lieres Soluções de um sistem de equções lieres = b. => solução úic => = b/. = e b = => = => qulquer o. rel é solução. = e b => = b => ão eiste solução

37 Sistems de Equções Lieres Soluções de um sistem de equções lieres Eemplo : Posto do sistem reduzido = Posto d mtriz mplid =

38 Sistems de Equções Lieres Soluções de um sistem de equções lieres Eemplo : / 5/ / 5/ dmite ifiits soluções. Cojuto de soluções defiidos por pres e que stisfçm = 5/ ½ O posto tto d mtriz de coeficietes quto d mtriz mplid é. Gru de liberdde do sistem: é ulidde d mtriz de coeficietes. Neste cso = <= o sistem tem um vriável livre

39 Sistems de Equções Lieres Soluções de um sistem de equções lieres Eemplo : / / Não tem solução = icomptível = impossível O posto d mtriz de coeficietes é e o d mtriz mplid é

40 Sistems de Equções Lieres Soluções de um sistem de equções lieres Etão, um sistem pode dmitir:. Um úic solução = possível = comptível = determido. Ifiits soluções = possível = idetermido. Nehum solução = impossível = icomptível

41 Sistems de Equções Lieres Soluções de um sistem de equções lieres Teorem:. Um sistem de m equções e icógits dmite solução se, e somete se, o posto d mtriz mplid é igul o posto d mtriz de coeficietes. Se lém disso p =, solução será úic. Se, etretto, p <, podemos escolher p icógits, e s outrs p icógits serão dds em fução dests p = grus de liberdde

42 Determite e Mtriz Ivers = b => solução é = b / Mtriz Mtriz

43 Determite e Mtriz Ivers Cd termo tem pes um elemeto de cd lih e colu Um mtriz N N terá N! elemetos o seu cálculo, ssim, um mtriz 5 5 terá 5! = 5 = termos em su epsão Se mtriz é cd termo tem elemetos d mtriz, se é terá elemetos em cd termo, se é 5 5, 5 elemetos Pr regr pr o sil de cd termo ver pg. 66 e 67 do oldrii

44 Determite e Mtriz Ivers Proprieddes:. Se todos os elemetos de um lih ou colu são ulos etão det =. Um mtriz com determite igul zero é chmd mtriz sigulr, se é um mtriz ão sigulr. det = det. Se multiplicrmos um lih d mtriz por um costte o det fic multiplicdo por est costte 5. Trocds s posições de dus lihs o determite troc de sil 6. Se dus lihs d mtriz são depedetes o determite é ulo 7. det (. = det. det

45 Determite e Mtriz Ivers Meor: o meor do elemeto ij é o determite d submtriz resultte d retird d lih i e d colu j Co-ftor = é um meor silizdo o meor de é M i j c ij ( Mij

46 Determite e Mtriz Ivers Mtriz de Co-ftores: é mtriz ode cd elemeto ij é substituído por seu co-ftor, deotd por cof( ou Mtriz djut: é trspost de um mtriz de coftores Teorem: dj ( cof' '. '.( dj ( det I

47 Determite e Mtriz Ivers Mtriz Ivers: dd um mtriz qudrd de ordem, ivers de é um mtriz tl que. =. = I Ode I é mtriz idetidde de ordem. Escrevemos - pr ivers de. Observções:. Se e são qudrds de mesm ordem, mbs iversíveis, etão. é iversível e ( - = -. - De fto: ( - - = ( - - = I - = - = I ( - - ( = I

48 Determite e Mtriz Ivers Mtriz Ivers: Observções:. Nem tod mtriz tem ivers. Se tem ivers, podemos escrever: Se tem ivers: i. det ii. det - = det - = I det(. - = det (I det. det - =

49 Determite e Mtriz Ivers Mtriz Ivers: Observções:. ( - = ( -, isto é, trspost d ivers de é ivers d trspost Teorem: Um mtriz qudrd dmite um ivers se, e somete se det Neste cso: det ( dj Eemplo: pg. 7 Gujrti

50 Determite e Mtriz Ivers ivers e resolução de sistems lieres: Se o o. de equções é igul o o. de icógits: m m m m b b b m m m m b b b X = Mtriz de coeficietes Mtriz de icógits Mtriz de termos idepedetes

51 Determite e Mtriz Ivers ivers e resolução de sistems lieres: Supodo det e portto, que eist - : - (X = - ( - X= - I X = - X = - m m m m b b b

52 Vlor Esperdo Vriável letóri Discret Vriável letóri Cotíu Proprieddes E( b b E( X b E( X b E ( X f ( E ( X f ( d Se X e Y são idepedetes: E( XY E( X. E( Y

53 Vriâci Vriável letóri Discret vr( X E( X f ( Vriável letóri Cotíu vr( X ( X f ( d

54 Vriâci Proprieddes E( X E( X vr( b Se e b são costtes, etão : vr( X b vr( X Se X e Y são idepedetes,etão : vr( X Y vr( X vr( Y vr( X Y vr( X vr( Y vr( X by vr( X b vr( Y Se X e Y ão são idepedetes,etão : vr( X Y vr( X vr( Y cov( X, Y

55 etoro e Vriâci de Crteirs Form Mtricil Eemplo com tivos Sej i o retoros dos tivos i =,, C e ssum que os retoros, e são ormlmete distribuídos com Crteir etoro d crteir ij j i i i i i E, cov(, vr(, % do cpitl ivestido o tivo C i i C C p,

56 etoro e Vriâci de Crteirs Form Mtricil etoro esperdo d crteir Vriâci d crteir Distribuição de probbilidde d crteir C C p p E,, C C C C C C p p vr,,, ( ~,,, p p p N

57 etoro e Vriâci de Crteirs Form Mtricil epresetção Mtricil,,, C C C C C C C C μ

58 etoro e Vriâci de Crteirs Form Mtricil Sobre mtriz de covriâcis Usdo álgebr mtricil mtriz de covriâcis do vetor de retoros é defiid prtir de: Se tem N elemetos, etão será um mtriz N N ' cov( μ μ E

59 etoro e Vriâci de Crteirs Form Mtricil Pr o cso em que N = : ' vr(, cov(, cov( vr(. E E E E E E E μ μ

60 etoro e Vriâci de Crteirs Form Mtricil etoro d crteir: etoro esperdo d crteir: ' ( ', C C C C p μ μ ' ( ', C C C C p

61 etoro e Vriâci de Crteirs Form Mtricil Vriâci d crteir: C C C C C C C C C C C C p E E ' ' ( ( ' ' ( '( ' vr(, μ μ μ μ