Material Didático Notas de Aula

Transcrição

1 Meril Didáico Nos de Aul

2 I MATRIZES Defiição: Mri m é um bel de m úmeros reis disposos em m lihs (fils horiois) e colus (fils vericis) Eemplos: A é um mri ; B é um mri ; C é um mri Como podemos or os eemplos, e respecivmee, um mri pode ser represed por colchees, prêeses ou dus brrs vericis Represeção de um mri: As mries cosumm ser represeds por lers miúsculs e seus elemeos por lers miúsculs, comphds de dois ídices que idicm, respecivmee, lih e colu ocupds pelo elemeo Eemplo: Um mri A do ipo m é represed por: A " m " m "! m!!!! " m ou, brevidmee, A[ ], ode i e j represem, respecivmee, lih e colu que o m i m elemeo ocup, j Por eemplo, mri erior, é o elemeo d segud lih com o d erceir colu Eemplo : Sej mri A[ ], ode i j :

3 Geericmee, emos: dess mri, emos: A Uilido regr de formção dos elemeos i j () () () () Assim, A Mries especiis: Mri lih: É od mri do ipo, iso é, com um úic lih A E: ( ) Mri colu: É od mri do ipo, iso é, com um úic colu E: B Mri qudrd: É od mri do ipo, iso é, com o mesmo úmero de lihs e colus Nese cso, diemos que mri é de ordem E: C D π Mri de ordem Mri de ordem Sej A um mri qudrd de ordem i j Digol pricipl de um mri qudrd é o cojuo de elemeos dess mri, is que Digol secudári de um mri qudrd é o cojuo de elemeos dess mri, is que i j Eemplo:

4 A Descrição d mri: - O subscrio idic ordem d mri; - A digol pricipl é digol formd pelos elemeos, e ; - A digol secudári é digol formd pelos elemeos, e ; - - é elemeo d digol pricipl, pois i j ; é elemeo d digol secudári, pois i j - Mri ul: É od mri em que odos os elemeos são ulos Noção: Eemplo: O m O Mri digol: É od mri qudrd ode só os elemeos d digol pricipl são diferees de ero Eemplo: A B Mri ideidde: É od mri qudrd ode odos os elemeos que ão esão digol pricipl são ulos e os d digol pricipl são iguis Noção: I ode idic ordem d mri ideidde Eemplo: I ou : I [ ],, sei j, sei j I Mri rspos: Chmmos de mri rspos de um mri A mri que é obid prir de A, rocdo-se ordedmee sus lihs por colus ou sus colus por lihs Noção: A Eemplo: Se A eão A

5 Desse modo, se mri A é do ipo m, A é do ipo m Noe que primeir lih de A correspode à primeir colu de A e segud lih de A correspode à segud colu de A Mri siméric: Um mri qudrd de ordem é siméric qudo A A OBS: Se A - A, diemos que mri A é i-siméric Eemplo: Se A A 9 Mri opos: Chmmos de mri opos de um mri A mri que é obid prir de A, rocdo-se o sil de ods os seus elemeos Noção: - A Eemplo: Se A eão A - Iguldde de mries: Dus mries, A e B, do mesmo ipo m, são iguis se, odos os elemeos que ocupm mesm posição são idêicos Noção: A B Eemplo: Se c A B b e A B, eão c e b Simbolicmee: A B b pr odo i m e odo i Resolver primeir lis de eercícios

6 ª LISTA DE Mries -) Escrev mri A ( ) -) Escrev mri B ( ), ode i b, ode b j -) Escrev mri C ( ) c i j -) Escrev mri D ( ) c, ode d, ode d i j -) Escrev mri A ( ), se i j, se i < j -) Escrev mri A ( ) i j, se i j, se i j -) Escrev mri A ( ) i j, se i j i j, se i < j, ode, ode, ode -) Chm-se rço de um mri qudrd som dos elemeos d digol pricipl Deermie o rço de cd um ds mries A e B -) Dds s mries A e B, deermir, b e pr que b A B -) Deermir os vlores de e b, is que: b b -) Deermie e iguldde: log 9 -) Sej A ( ), ode i j Deermie m m, e p em B m p que ehmos AB -) Deermie, b, e, is que: b b -) Deermie e, is que: log -) b-) fim de 9-) Dd mri A -) rspos de A b-) opos de A, deermir:

7 RESPOSTAS -) A -) B -) C -) D[ ] -) A -) A -) A -) ra e rb 9-) -) A b-) A -), b e -) e b -) e ± -) m - e p - -), b, e -) -) e ± b-) e

8 Adição de Mries: Dds s mries A[ ] e B [ b ] m, chmmos de som ds mries A e B mri m c, l que c b, pr odo i m e odo i C [ ] m Noção: A B C OBS: A B eise se, e somee se, A e B são do mesmo ipo (m ) Proprieddes : A, B e C são mries do mesmo ipo (m ), vlem s seguies proprieddes: ) Associiv: (A B) C A (B C) ) Comuiv A B B A ) Elemeo Neuro A O O A A ode O é mri ul m ) Elemeo Oposo A (-A) (-A) A O Eemplos: ) ( ) 9 ) - ( ) Subrção de Mries: Dds s mries A[ ] e B[ b ] m, chmmos de difereç ere s mries A e B m som de A com mri opos de B Noção: A - B A (-B) OBS: A B eise se, e somee se, A e B são do mesmo ipo (m )

9 Eemplo: - ) - Muliplicção de um úmero rel por um mri: Ddos um úmero rel e um mri A do ipo m, o produo de por A é um mri do ipo m, obid pel muliplicção de cd elemeo de A por Noção: B A OBS: Cd elemeo b de B é l que b Proprieddes : Sedo A e B mries do mesmo ipo (m ) e e úmeros reis quisquer, vlem s seguies proprieddes: ) Associiv: (A) ()A ) Disribuiv de um úmero rel em relção dição de mries: (AB) A B ) Disribuiv de um mri em relção som de dois úmeros reis: ( )A A A ) Elemeo Neuro: A A, pr, ou sej: A A Eemplo: ) ( ) Muliplicção de mries: O produo de um mri por our ão pode ser deermido rvés do produo dos seus respecivos elemeos A muliplicção de mries ão é álog à muliplicção de úmeros reis Assim, o produo ds mries A[ ] e B[ b ] é mri C[ m p c ] p, ode cd m elemeo c é obido rvés d som dos produos dos elemeos correspodees d i-ésim lih de A pelos elemeos d j-ésim colu de B 9

10 OBS: Elemeos correspodees de mries do mesmo ipo m, são os elemeos que ocupm mesm posição s dus mries Eemplo: Sejm A e B Os elemeos e b são elemeos correspodees Decorrêci d defiição: A mri produo AB eise pes se o úmero de colus d primeir mri (A) é igul o úmero de lihs d segud mri (B) A e B A B Assim: m p p ( ) m Noe que mri produo erá o úmero de lihs (m) do primeiro for e o úmero de colus () do segudo for Eemplos: A e B A B A e B e B A B ) Se ( ) ) Se que ão eise produo A ) ( ) Proprieddes : Verificds s codições de eisêci, pr muliplicção de mries são válids s seguies proprieddes: ) Associiv: (AB)C A(BC) ) Disribuiv em relção à dição: ) Elemeo Neuro: ) A(BC) AB AC b) (AB)C AC BC A I I A A ode I é mri ideidde de ordem Aeção: Não vlem s seguies proprieddes: ) Comuiv, pois, em gerl, AB BA ) Sedo O um mri ul, AB m O ão implic, ecessrimee, que A m O ou B m O m

11 Eemplos: ) Sedo A Solução: e B, vmos deermir AB e BA e comprr os resuldos AB lih e colu 9 Assim: lih e colu lih e colu lih e colu AB 9 BA 9 Comprdo os resuldos, observmos que AB BA, ou sej, propriedde comuiv pr muliplicção de mries ão vle ) Sej A ) AB b) BA e B, deermie: Solução: ) AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( )

12 ( ) () () () b) BA () () ( ) () () ( ) ( ) Coclusão: Verificmos que AB BA Mri Ivers: ' Dd um mri A, qudrd, de ordem, se eisir um mri A, de mesm ordem, l ' ' ' ' ' que A A A A I, eão A é mri ivers de A (Em ours plvrs: Se A A A A I, ' iso implic que A é mri ivers de A, e é idicd por A ) Noção: A Solução: Eemplo: Sedo A, vmos deermir mri ivers de A, se eisir Eisido, mri ivers é de mesm ordem de A ' Como, pr que eis ivers, é ecessário que A A dus eps: ' A A I, vmos rblhr em o ' Psso: Impomos codição de que A A I e deermimos ' A : A ' b A I c d c b d c - b d c c b d - b d A prir d iguldde de mries, resolvemos o sisem cim pelo méodo d dição e chegmos à:

13 - c - c c c - c c (-) c b b - d b - d d d b - d b d b (-) d b Assim emos: ' A d c b o Psso: Verificmos se ' A A I : ' A A ( )( ) ( ) ( ) I

14 Poro emos um mri ' ' A, l que: A A ' A A I ' Logo, A é ivers de A e pode ser represed por: A Resolver segud lis de eercícios ª LISTA DE MATRIZES II -) Sedo A e B, clcule: -) A B b-) A B c-) B A -) Clcule, e, is que -) Sedo A ( ) com, ode b i j, clcule: b, i-j, e B ( ) -) A B b-) B A c-) ( A B) -) Verifique eperimelmee que, se A e B são mries do mesmo ipo, eão ( ) A B A B Sugesão: Cosidere A e B s mries ecords o eercício -) Sedo A e B, deermir s mries X e Y, is que: X Y A B e X Y A B -) Dds s mries A, B e C clcule: -) (A B) (B C) (C A) b-) (A - B) (B C) C c-) mri X, l que (X A) B (X A C) -) Sedo A e B, deermie s mries X e Y, is que X Y A B e X Y A B -) Deermie relção eisee ere s mries A e B 9-) Sedo mri A deermie c e -) Sedo A ( ) B ( b ), com b que A X B c siméric,, ode i-j, e j i, deermie X l -) Sedo A e B, clcule s mries X e Y o sisem X Y B X Y A -) Sedo A e B-A, deermie mri X, l que X A B -) Dds s mries A ( ) i - j, B ( ), l que b, l que com b e C AB, deermie o elemeo c j i -) Sedo A, clcule A A I -) Deermie mri X, l que X A ( AB A), sedo A e

15 -) Dds s mries A, B e C Clcule: -) AB b-) BA c-) AC d-) CA -) (UFPA) A mri A ( ) é defiid de l i j ( ), se i j modo que Eão, A é igul :, se i j -) b-) c-) d-) e-) -) (PUC-SP) Dds s mries A ( ) e B ( b ), qudrds de ordem, com i j e b i j, se CA B, eão C é igul : -) b-) c-) d-) e-) B 9-) Verifique se B A -) Deermir, se eisir, cso: -) A b-) A -) Sedo A A é ivers de em cd, clcule ( ) -) As mries A, B e C são iveríveis e de mesm ordem Sedo B A I e CB A, deermie C e C -) (MACK) A é um mri m e B é um mri mp A firmção fls é: -) A B eise se, e somee se, p b-) A A implic m ( A rspos de A) c-) AB eise se, e somee se, p d-) A B eise se, e somee se, p e-) A B sempre eise A

16 Resposs ) ) b) c) ), -9 e - ) ) b) c) ) ) X e Y ) ) b) c) 9 ) X 9 e Y ) A B 9) c e ) X ) X e Y 9 ) X ) ) 9 9 ) X ) ) b) c) AC A d) CA C ) leriv ) ) leriv b) 9) Sim, B é ivers de A ) ) b) ) A ivers d ivers de um mri A é própri mri A ) C C I ) Aleriv c)

17 II DETERMINANTES Defiição: Deermie é um úmero ssocido um mri qudrd Aplicções dos deermies memáic: - Cálculo d mri ivers; - Resolução de lgus ipos de sisems de equções lieres; - Cálculo d áre de um riâgulo, qudo são cohecids s coordeds dos vérices Deermie de primeir ordem Dd um mri qudrd de mri M o úmero rel ordem M[ ], chmmos de deermie ssocido à Noção: de M ou Eemplos: [ ] de M ou M M de M ou - [ ] Deermie de segud ordem Dd mri M ssocido ess mri, ou sej, o deermie de, de ordem, por defiição, emos que o deermie ordem é ddo por: de M ( ) Assim: Eemplo: Sedo M de M, eão: ( ) de M Logo: de M - Coclusão: O deermie de um mri de ordem é ddo pel difereç ere o produo dos elemeos d digol pricipl e o produo dos elemeos d digol secudári

18 Meor Complemer Chmmos de meor complemer relivo o elemeo de um mri M, qudrd e de ordem >, o deermie MC, de ordem, ssocido à mri obid de M qudo suprimos lih e colu que pssm por Eemplo : Dd mri M, de ordem, pr deermirmos o meor complemer relivo o elemeo ( MC ), reirmos lih e colu ; MC meor complemer, logo, MC D mesm form emos que o MC relivo o elemeo é ddo por:, logo, MC e ssim por die Eemplo : Dd mri M ) MC b) MC c) MC d) MC Solução:, de ordem, vmos deermir: OBS: Vmos deor meor complemer por MC ) reirdo lih e colu d mri dd cim MC ( ) b) reirdo lih e colu d mri dd cim, emos que: MC ( ) c) reirdo lih e colu d mri dd cim, emos que:, emos que:

19 MC ( ) d) reirdo lih e colu d mri dd cim, emos que: MC ( ) Cofor Chmmos de cofor (ou complemeo lgébrico) relivo o elemeo qudrd de ordem o úmero A, l que A ( ) i j MC de um mri são: Eemplo : Dd M, os cofores relivos odos os elemeos d mri M A A A A ( )! ( ) MC ( )! ( ) MC ( )! ( ) MC ( )! ( ) MC ; ; ; Assim, podemos mbém deermir mri dos cofores (que será deod por A ) como sedo: A A A A A Eemplo : Sedo M, vmos clculr os cofores, A e A A : A A A [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ; ; 9

20 Mri Adju A mri rspos d mri dos cofores de um mri A é chmd dju de A Assim: dja ( A) Teorem de Lplce Defiição: O deermie de um mri qudrd M [ ] ( m ) pode ser obido pel som dos produos dos elemeos de um fil qulquer (lih ou colu) d mri M pelos respecivos cofores Assim, fido j N, l que j m, emos: de M m i A m m m ode, i cofor é o somório de odos os ermos de ídice i, vrido de é m, m N e A é o Eemplo : Clculr com o uílio do Teorem de Lplce, os seguies deermies: ) D b) D Solução: ) D Aplicdo Lplce colu, emos: D (-)! (! )(-)! (-) %"$"# %"" $ ""# % "" $" "# A (cofor) CoforA CoforA D D (-) ( ) (-) () D

21 b) Como rês dos quro elemeos d lih são ulos, covém plicr Lplce ess lih D D ( ) $! #!! " MC D OBS: Eão podemos rescrever D como: D D (I) Agor precismos clculr o vlor de D pr subsiuirmos em (I) Pr isso plicmos Lplce lih (mis coveiee, pois um dos elemeos é ulo), e obemos: D ( ) - ( ) - # $"$! MC - #"! MC D ( ) ( 9) () ( ) D Filmee, subsiuido esse vlor em (I), obemos: D D D -(-) D Regr de Srrus Disposiivo práico pr clculr o deermie de ordem Eemplo : Clculr o seguie deermie rvés d Regr de Srrus D

22 Solução: Psso: Repeir dus primeirs colus o ldo d : Psso: Ecorr som do produo dos elemeos d digol pricipl com os dois produos obidos com os elemeos ds prlels ess digol OBS: A som deve ser precedid do sil posiivo, ou sej: ( ) Psso: Ecorr som do produo dos elemeos d digol secudári com os dois produos obidos com os elemeos ds prlels ess digol OBS: A som deve ser precedid do sil egivo, ou sej: ( ) Assim: ( ) ( ) D OBS: Se desevolvêssemos esse mesmo deermie de ordem com o uílio do eorem de Lplce, verímos que s epressões são idêics, pois represem o mesmo úmero rel Eemplo : Clculr o vlor dos seguies deermies: ) D b) D - - Solução: ) D - ( ) ( )

23 b) D - - Aplicdo Lplce lih, emos: D ( ) ( ) - $!#!" $!#!" D ' D '' D ' '' ( )D D ' - Cálculo de D : Como, Lplce; ssim: ' D ( ) ( ) lih, dois elemeos são ulos, é coveiee plicr - Cálculo de '' D : Uilido Regr de Srrus, emos: D - '' - - ( ) ( ) Poro, D ( )D ' D '' D () () D

24 Mri de Vdermode Chmmos de mri de Vdermode od mri qudrd de ordem, com seguie form: V!!!!! " " " " Observe que cd colu dess mri é formd por poêcis de mesm bse com epoees ieiros, que vrim de é - O deermie d mri de Vdermode é ddo por: ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) V de!! Eemplo: Clculr o deermie d mri 9 M Solução: Como podemos escrever mri M form: M Eão diemos que mri M é um Mri de Vdermode com e, Assim, ( )( )( ) ( )( )( ) M de

25 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: (de mri qudrd de ordem ) As proprieddes seguir são relivs deermies ssocidos mries qudrds de ordem Ess proprieddes, muis vees os permie simplificr os cálculos P -) Qudo odos os elemeos de um fil (lih ou colu) são ulos, o deermie dess mri é ulo Eemplos: 9 -) 9 -) P -) Se dus fils prlels de um mri são iguis, eão seu deermie é ulo Eemplo: 9 -) pois, L L 9 P -) Se dus fils prlels de um mri são proporciois, eão o seu deermie é ulo Eemplo: -) pois C C P -) Se os elemeos de um fil de um mri são combições lieres dos elemeos correspodees de fils prlels, eão o seu deermie é ulo Eemplos: -) pois C C C -) pois L L L OBS: Defiição de combição lier: Um veor v é um combição lier dos veores v, v,,v k, se eisem esclres,,, k l que: v v k v k

26 P -) Teorem de Jcobi: O deermie de um mri ão se ler qudo sommos os elemeos de um fil um combição lier dos elemeos correspodees de fils prlels Eemplo: -) 9 Subsiuido ª colu pel som dess mesm colu com o dobro d ª, emos: C C #"! 9 P -) O deermie de um mri e o de su rspos são iguis Eemplo: De A 9 De A 9 P -) Muliplicdo por um úmero rel odos os elemeos de um fil em um mri, o deermie dess mri fic muliplicdo por esse úmero Eemplos: -) Muliplicdo C por, emos: ( ) -) Muliplicdo L por, emos: ( ) 9 P -) Qudo rocmos s posições de dus fils prlels, o deermie de um mri mud de sil Eemplo:

27 Trocdo s posições de L e L, por eemplo, emos: P 9 -) Qudo, em um mri, os elemeos cim ou bio d digol pricipl são odos ulos, o deermie é igul o produo dos elemeos dess digol Eemplos: -) d b b c -) i e f c P -) Qudo, em um mri, os elemeos cim ou bio d digol secudári são odos ulos, o deermie é igul o produo dos elemeos dess digol, muliplicdo por ( ) ( ) Eemplos: -) b -) b b c b c P -) Pr A e B mries qudrds de mesm ordem, emos: g h de (AB) de A de B Observção: Como A A - I, propriedde cim, emos: de (A - ) de A Eemplo: Se A, B e A B, eão: ( AB) de A de! B de $ %#%" $# "

28 P -) Se k R, eão de (k A) k dea Eemplo: Sedo k, A e k A, emos: ( k A) k! de $# " A de $%#%" P -) de (AB) dea deb 9 Regr de Chió A regr de Chió é mis um écic que fcili muio o cálculo do deermie de um mri qudrd de ordem ( ) Ess regr os permie pssr de um mri de ordem pr our de ordem -, de igul deermie Eemplos: ) Vmos clculr o deermie ssocido à mri regr de Chió: A com o uílio d Psso : Pr podermos plicr ess regr, mri deve er pelo meos um de seus elemeos igul Assim fido um desses elemeos, reirmos lih e colu ode ele se ecor Psso : Em seguid subrímos do elemeo rese o produo dos dois correspodees que form elimidos (um d lih e ouro d colu) ( ) ( ) ( ) ( ) () () (9) () Psso : Muliplicmos o deermie ssim obido por ( ) i j, ode i represe lih e j colu reirds (ese cso, lih e colu)

29 de A ( ) ( ) ( 9) de A Iversão de mries com o uílio d eori dos deermies A ivers de um mri qudrd de ordem pode ser clculd pel plicção do seguie eorem: A mri ivers de A e é dd por: A de um mri A (qudrd de ordem ) eise se, e somee se, A de A dja OBS: dj A é mri rspos d mri dos cofores: dj A ( ) A Eemplos: ) Verificr se mri A dmie ivers Solução: A mri A dmie ivers se, e somee se, de A Assim, como: de A, eise mri ivers de ª - ) Clculr pr que eis ivers d mri A Solução: Verificr se eise mri ivers de A ( A - de A ) Eão: (- ) ( ) 9

30 Assim, A - e - ) Clculr, se eisir, ivers d mri A com o uílio d fórmul A dja de A Solução: Psso : Clculr o deermie de A pr ver se eise ivers de A ( ) ( ) Como A Psso : Clculr os cofores dos elemeos de A A ( ) A ( ) A ( ) A ( ) Assim, mri dos cofores é dd por: Psso : Cálculo d mri dju de A: dja ( A) dja - A - Psso : Cálculo d mri ivers de A ( A ): : A A dja A de A - Resolver erceir lis de eercícios de GA I

31 ª LISTA DE MATRIZES I ) Clculr o vlor dos deermies ds seguies mries:, ) A b) A [ ], ode i j ) Clculr o vlor de R iguldde ) O cojuo solução de é: ){ R } b){;} c){} d){-} e) {} ) Deermir mri formd pelos cofores dos elemeos d mri A ) Dd mri A Clcule A, cohecid como mri dos cofores, e mri dju de A ) Clcule os seguies deermies, plicdo o Teorem de Lplce: ) b) 9 ) O deermie represe o poliômio: ) b) c) d) ( ) e) ( )( ) ) (Fuves SP) O deermie d mri b, ode b e e e b e e é igul : ) b) c) e d) e e) 9) Uilido regr de Srrus, clcule:,, ) Sedo A ) de A b) de A, clcule: ) Clculr iguldde ) Clculr iguldde ) Sedo A de A 9 9, clculr ) Uilido s proprieddes dos deermies, clcule os deermies jusificdo os vlores obidos: ) b) 9

32 c) d) 9 e) 9 9 ) (MACK-SP) Se b, A b e B A, eão de(ab) vle: ) b) c) d) e) ) (FAAP-SP) Dd mri A, clcule o deermie d mri ivers de A ) Deermie, se eisir, ivers de cd um ds mries: ) A b) B Resposs ) ) b) c) ) - ou ) leriv c) ) A ) A e dja ( ) A - - ) ) b) ) leriv d) ) leriv ) 9) ) ) b) ) ou - ) ou ) ) ) b) c) d) e) ) leriv b) ) ) ) A b) B

33 Lis de eercícios sobre Mries e Deermies ) Deermie mri A () l que i j ) Cosru s seguies mries: A () l que j i, j i, se se B (b) l que b j sei - j, i j j,sei i ) Cosru mri A () l que j i, j i, i se se ) Sej mri A () l que j i, j i, j i se j i, eão é igul : ) Deermie som dos elemeos d º colu d mri A () l que i i ) Deermie som dos elemeos d digol pricipl com os elemeos d digol secudári d mri A () ) Dd mri A () em que > j i, j i, se j i se j i, deermie som dos elemeos ) Sej mri A () l que i j Deermie som dos elemeos d digol pricipl dess mri 9) Deermie som dos elemeos d mri lih () que obedece lei: i j ) Deermie e b pr que iguldde b b sej verddeir ) Sejm A - e B -, deermie (A B) ) Dds s mries A - e B - -, deermie e pr que A B ) Resolv equção mricil: ) Deermie os vlores de e equção mricil: -

34 ) Se o produo ds mries - é mri ul, é igul : ) Se -, deermie o vlor de ) Dds s mries A, - B - e C, clcule: ) A B b) A C c) A B C ) Dd mri A - -, obeh mri l que A A 9) Sedo A () l que i j e B (b) l que b -i j, clcule A B ) Deermie os vlores de m,, p e q de modo que: - q - p m q p m ) Deermie os vlores de,, e w de modo que: - - w ) Dds s mries A, B - e C, clcule: ) A B b) A B C ) Dds s mries A -, B - 9 e C - -, clcule o resuldo ds seguies operções: ) A B C b) C B A ) Efeue: ) - b) - c) ) Dd mri A -, clcule A

35 ) Sedo A e B - e C, clcule: ) AB b) AC c) BC ) Cosidere s mries A () e B (b) qudrds de ordem, com i j e b -i j Sbedo que C A B, deermie C ) Clcule os seguies deermies: ) - - b) - c) ) Se, b e c - -, deermie A b c ) Resolv equção - ) Se A b ) Sedo A b, ecore o vlor do deermie de A ª desse deermie pr e b, clcule o vlor do deermie de A e em seguid clcule o vlor umérico ) Clcule o vlor do deermie d mri A - ) Resolv equção - - ) Se A () l que i j, clcule de A e de A ) Foi relid um pesquis, um birro de deermid cidde, com um grupo de criçs de os de idde Pr esse grupo, em fução d idde d criç, cocluiu-se que o peso médio p(), em quilogrms, er ddo pelo deermie d mri A, em que: - -, com bse fórmul p() de A, deermie: ) o peso médio de um criç de os b) idde mis provável de um criç cuj o peso é kg

36 se - cos ) Clcule o vlor do deermie d mri A cos - se ) Resolv equção - - 9) Se A -, clcule o vlor do deermie de A A ) Cosidere mri A (), defiid por - i j pr i e Deermie o deermie de A ) Deermie o deermie d seguie mri - ) Dd mri A - e de A, qul o vlor de de (A) em fução de? ) Sej A () l que i j Clcule de A e de A ) Clcule os deermies ds mries A de Lplce e B - - -, usdo o eorem ) Resolv s equções: ) b) c) - ) Sbedo se ) Dd mri A - e b, clcule: ) de A b) de A, clcule o vlor de b ) Deermie o vlor de cd deermie: ) b) - - c)

37 9) Clcule o deermie d mri P, em que P é mri P ) N mri - 9, clcule: ) seu deermie b) os vlores de que ulm esse deermie - - ) Deermie em IR solução d equção: log ) Sbedo que e b, efeue b ) Deermie solução d equção: - ) Deermie o deermie d mri se co cos se ) Resolver equção ) Resolv s equções: ) b) - - c) - III SISTEMAS LINEARES Equção lier

38 É Tod equção d form:! b ode,,,,,! e b é um úmero rel chmdo ermo idepedee! são úmeros reis que recebem o ome de coeficiees ds icógis OBS: Qudo b, equção recebe o ome de lier homogêe Eemplos: Equções Lieres Equções Não-Lieres ) ) ) - (homogêe) ) - - ) ) - Sisem Lier Defiição: Um cojuo de equções lieres d form: " m m m!!! m b b b é um sisem lier de m equções e icógis m Solução do Sisem Lier Chmmos de solução do sisem -upl de úmeros reis ordedos ( r, r,, ) simplesmee, solução de ods equções do sisem r! que é, Mries ssocids um Sisem Lier Mri icomple É mri A, formd pelos coeficiees d icógis do sisem Eemplos: Sej o sisem: Mri icomple:

39 9 A Mri Comple É mri B, que obemos o crescermos à mri icomple um úlim colu formd pelos ermos idepedees ds equções do sisem Assim mri comple referee o sisem erior é: B - - Sisems Homogêeos Um sisem é homogêeo qudo os ermos idepedees de ods s equções são ulos Eemplo: Soluções de um Sisem Homogêeo A -upl (,,,, ) é sempre solução de um sisem lier homogêeo com icógis e recebe o ome de solução rivil Qudo eisem, s demis soluções são chmds ão-riviis Clssificção de um sisem lier quo o úmero de soluções possível ideermido (ifiis soluções) deermido (soluçãoúic) impossível (ão em solução) Eemplos: Tem solução úic: o pr ordedo (, ) Poro o sisem é possível e deermido

40 Tem ifiis soluções: lgums são dds pelos pres ordedos: (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), Poro o sisem é possível e ideermido Não em um pr ordedo que sisf simulemee s equções Poro o sisem é impossível Sisem Norml Um sisem é orml qudo em o mesmo úmero de equções (m) e de icógis () e o deermie d mri icomple ssocid o sisem é diferee de ero, ou sej, se m e de A, o sisem é orml OBS: Todo sisem orml é possível e deermido e poro em solução úic Eemplo: Deermir k R, de modo que o sisem k sej orml k Solução: Pr o sisem ser orml emos que observr dus codições: m e dea ª codição: m e m No sisem, o úmero de equções (m ) é igul o úmero de icógis ( ) ª codição: de A k de A k k ± k Logo, o sisem é orml pr qulquer k rel diferee de e de Regr de Crmer

41 Di Todo sisem orml em um úic solução dd por i, ode i {,,,!,}, D dea D é o deermie d mri icomple ssocid o sisem e D i é o deermie obido rvés d subsiuição, mri icomple, d colu i pel colu formd pelos ermos idepedees Eemplo: Resolver com o uílio d Regr de Crmer, os seguies sisems: ) Solução: Temos: m (ª codição) e D (ª codição) Poro, como o sisem é orml, podemos uilir Regr de Crmer pr resolvê-lo º Psso: Clculr D e D - Subsiuido, mri icomple, colu c pel colu formd pelos ermos idepedees, ecormos: D - - Subsiuido, gor, c pel colu dos ermos idepedees, ecormos: D º Psso: Ecorr e : Assim: D D D D Logo, (, ) (, ) é solução do sisem ddo b) 9 ou 9

42 Solução: D meir como é presedo o sisem ão é lier Assim, pr orá-lo lier, femos s subsiuições: c b e,, obedo: 9 c b c b c b Agor emos um sisem lier com equções e icógis (m ) e deermie d mri icomple diferee de ero, vej: D º Psso: Clculr c D e, b D D subsiuido s colus, e, respecivmee, pelos ermos idepedees: 9 9 D b D 9 9 c D Poro, por Crmer vem: D D D D b b D D c c Voldo rsformção fei eriormee (fil queremos os vlores de, e ) emos: b c

43 Logo, (,, ) (,, ) é solução do sisem ddo c) Solução: Temos m e D Poro, como o sisem é orml, presedo um úic solução e, lém do mis, o sisem é homogêeo, es solução úic será solução rivil (,, ) Logo, (,, ) (,, )

44 Discussão de um Sisem Lier Pr discuir um sisem lier de equções e icógis, clculmos o deermie D d mri icomple Assim, se D Sisem é possível e deermido (SPD), ou sej em solução úic D Sisem pode ser possível e ideermido (SPI) (er ifiis soluções) ou impossível (SI) (ão er solução) Observções: ) Se o D, o sisem será SPD e poro eremos um úic solução pr o problem ) Se o D, sisem poderá ser SPI ou SI Pr ideificrmos de ele é SPI ou SI eremos que ecorr odos os D i s pr sber se o sisem é possível e ideermido ou impossível De que form? Se odos os D i forem iguis, eremos um SPI Se pelo meos um D i diferee de ero, eremos um SI Eemplos: ) Temos: m D Logo, o sisem é possível e deermido, presedo solução úic ) Temos: m D -

45 - D Sedo D e D, o sisem é impossível, ão presedo solução ) Temos: m D D - D - D Logo emos, D, D, D, D Poro, o sisem é possível e ideermido, presedo ifiis soluções

46 Sisems equivlees Dois sisems são equivlees qudo possuem o mesmo cojuo solução Eemplo: Sedo S e S o pr ordedo (, ) (, ) sisf mbos e é úico Logo, e S S são equivlees: ~ S S Proprieddes dos sisems equivlees ) Trocdo de posição s equções de um sisem, obemos um ouro sisem equivlee Eemplo: Sedo: I III II - S III II - I S ) ( ) ( ) ( e ) ( ) ( ) ( emos, ~ S S ) Muliplicdo um ou mis equções de um sisem por um úmero k, k * R, obemos um sisem equivlee o erior Eemplo: Ddo ( ) ( ) II I S, muliplicdo equção (II) por, obemos: ) ( S S Assim, emos ~ S S ) Adiciodo um ds equções de um sisem o produo de our equção desse mesmo sisem por um úmero k, k * R, obemos um sisem equivlee o erior Eemplo: Ddo ( ) ( ) II I S, subsiuido ese sisem equção (II) pel som d equção (I), muliplicd por (-), com equção (II), obemos: - - ) ( ) ( ' ' S S

47 Logo: S Assim,, pois (, ) (, ) é solução de mbos os sisems 9 Sisems esclodos A écic de esclor um sisem lier é muio mis uilid, pois com ess écic podemos ecorr soluções pr sisems que ão ehm o mesmo úmero de equções e icógis (o que ão é permiido Regr de Crmer) Além disso, qudo queremos resolver sisems lieres cujo úmero de equções (e de icógis) ecede rês, ão é coveiee uilir Regr de Crmer, por se orr muio rblhos Por eemplo, um sisem com quro equções e quro icógis requer o cálculo de cico deermies de ª ordem Nese cso, usmos écic de esclomeo, que fcili resolução e discussão de um sisem Ddo um sisem lier: m m m m m b b b S! "!! ode eise pelo meos um coeficiee ão-ulo em cd equção, diemos que S esá esclodo se o úmero de coeficiees ulos es do primeiro coeficiee ão-ulo ume de equção pr equção Eemplos: ) S - 9 ) S ) S ) S 9 Procedimeos pr esclor um sisem ) Fimos como ª equção um ds que possum o coeficiee d ª icógi diferee de ero ) Uilido s proprieddes de sisems equivlees, ulmos odos os coeficiees d ª icógi ds demis equções ) Aulmos odos os coeficiees d ª icógi prir d ª equção ) Repeimos o processo com s demis icógis, é que o sisem se ore esclodo Eemplos:

48 ) Vmos esclor o sisem - º psso: Aulmos odos os coeficiees d ª icógi prir d ª equção, plicdo s proprieddes: Trocmos de posição ª e ª equções: - Trocmos ª equção pel som do produo d ª equção por (-) com ª equção: ( ) - ) ( - - Trocmos ª equção pel som do produo d ª equção por (-) com ª equção: ( ) - - ) ( - - º psso: Aulmos os coeficiees d ª icógi, prir d ª equção: Trocmos ª equção pel som do produo d ª equção por com ª equção: ( ) - ) ( - - Agor, como o sisem esá esclodo, podemos resolvê-lo: Subsiuido ese vlor em, vem: Subsiuido, gor, em e, vem:

49 9 Poro, o sisem é possível e deermido, dmiido um úic solução que é dd por: (,, ) (,, ) ) Vmos esclor o sisem - º psso: Aulmos odos os coeficiees d ª icógi prir d ª equção, plicdo s proprieddes: Trocmos ª equção pel som do produo d ª equção por (-) com ª equção: ( ) - ) ( - - Trocmos ª equção pel som do produo d ª equção por (-) com ª equção: ( ) ) ( - - º psso: Aulmos os coeficiees d ª icógi, prir d ª equção: Trocmos ª equção pel som do produo d ª equção por ( ) com ª equção: ( ) ) ( - - Dess form fic esclodo Como ão eise vlor rel de, l que, o sisem é impossível e poro ão em solução ) Vmos esclor o sisem - º psso: Aulmos odos os coeficiees d ª icógi prir d ª equção: Trocmos ª equção pel som do produo d ª equção por (-) com ª equção:

50 ( ) ) ( Trocmos ª equção pel som do produo d ª equção por (-) com ª equção: ( ) º psso: Aulmos os coeficiees d ª icógi, prir d ª equção: Trocmos ª equção pel som do produo d ª equção por ( ) com ª equção: ( ) ) ( O sisem esá esclodo Ereo, o úmero de equções (m) é meor que o úmero de icógis () Assim, o sisem é possível e ideermido, dmiido ifiis soluções A difereç ere o úmero de icógis () e o úmero de equções (m) de um sisem esss codições é chmd gru de ideermição (GI): Pr resolvermos um sisem ideermido, procedemos do seguie modo: Cosidermos o sisem em su form esclod: - Clculr o gru de ideermição do sisem esss codições: GI m Como o gru de ideermição é, ribuímos um ds icógis um vlor α, suposmee cohecido, e resolvemos o sisem em fução desse vlor Fedo α e subsiuido esse vlor ª equção, obemos: α α α α m GI

51 Cohecidos e, subsiuímos esses vlores ª equção ( ) : α α α α α α Cohecidos e e, subsiuímos esses vlores ª equção ( ) : α α α α α α α α Assim, solução do sisem é dd por: α α S, α,, α, sedo α R α α Pr cd vlor que sej ribuído α, ecorremos um quádrupl que é solução pr o sisem OBS: Se GI >, eão dremos vlores α, β, ods s icógis livres (que ão iicim equções)

52 ª LISTA DE MATRIZES E SISTEMAS I ) Verifique se os sisems bio são ormis: ) b) 9 c) 9 ) Deermie os vlores de k R, pr que os sisems sejm ormis: k ) k k (k ) k b) (k ) k c) k k 9 ) Resolv os seguies sisems lieres: 9 ) b) c) ) Deermie pr quis vlores de k o sisem é: k ) possível e deermido; b) possível e ideermido; c) impossível ) (UFPR) O sisem de equções é: P Q ) Impossível, se P - e Q b) Ideermido, se P - e Q c) Ideermido, se P - e Q d) Impossível, se P- e Q e) Impossível, se P - e Q ) Escloe, clssifique e resolv os sisems bio: ) b) 9 c) d) e) f) ) (Fec-SP) Dois csis form um briho O primeiro pgou R$, por ls de refrigere e um porção de bs fris O segudo pgou R$ 9, por ls de refrigere e porções de bs fris Nesse locl e esse di, difereç ere o preço de um porção de bs fris e o preço de um l de refrigere er de: )R$, b)r$, c)r$, d)r$, e)r$, ) (Uifor-CE)Um pcoe em bls: lgums de horelã e s demis de lrj Se erç pre do dobro do úmero de bls de horelã ecede mede do de lrjs em uiddes, eão esse pcoe há: ) igul úmero de bls dos dois ipos b) dus bls de horelã mis que de lrj c) bls de horelã d) bls de lrj e) dus bls de lrj mis que de horelã 9) (UCDB-MT) O sisem é: ) impossível b) homogêeo c) deermido d) ideermido com um vriável rbirári e) Ideermido com dus vriáveis rbiráris ) (Cefe-PR) Pr fes do Nl, um crche ecessiv de briquedos Recebeu um

53 doção de R$, Esperv-se comprr crrihos R$, cd, boecs R$, e bols R$, Se o úmero de bols deveri ser igul o úmero de boecs e crrihos juos, solução seri comprr: ) boecs, crrihos e bols b) boecs, crrihos e bols c) boecs, crrihos e bols d) boecs, crrihos e bols e) boecs, crrihos e bols ) (Uificdo- RJ) Pr que vlores de k eise um úic mri, l que k? k ) k - b) k- c) k- ou k d) k - e k e) k e k - ) (UF-AL) O sisem, s b vriáveis reis e, é: ) possível e deermido,, b R b) possível e ideermido se b c) possível e deermido se b, b R d) possível e ideermido se -b e) impossível se -b ) (F M Triâgulo Mieiro-MG) Em rês mess de um lchoee o cosumo ocorreu d seguie form: Hmbúrguer Refrigere Porção de Mes fris ª ª ª A co d ª mes foi R$, e d ª mes R$, Com esses ddos: ) é possível clculr co d ª mes e pes o preço uiário do refrigere b) é possível clculr co d ª mes, ms ehum dos preços uiários dos rês compoees do lche c) é possível clculr co d ª mes e lém disso, sber emee os preços uiários de odos os compoees do lche d) ão é possível clculr co d ª mes, pois deverim ser forecidos os preços uiários dos compoees do lche e) é impossível clculr co d ª mes e os preços uiários dos compoees do lche, pois deve er hvido um erro co d ª ou d ª mes Resposs ) ) Sim b) Sim c) Não ± ) ) S{k R k } b) S{k R k } c) S{k R k e k } ) ) S{(, )} b) S{(, -, -)} c)s{(-, -)} ) ) k b) / k R c) k ) leriv d) ) ) possível e deermido; S, b)possível e ideermido; α S,, α p/ α R c) possível e deermido; S {(,,) } d)possível e ideermido; α, α, α p/ α R S {( ) } e) possível e deermido; S, f) sisem impossível; S{ } ) leriv b) ) leriv ) 9) leriv c) ) leriv e) ) leriv e) )leriv e) ) leriv )

54 LISTA EXTRA DE SISTEMAS LINEARES -) Resolv os sisems bio e clssifique-os como SPS, SPI ou SI -) b-) c-) 9 d-) e-) w w w w f-) g-) -) Deermie pr que vlores de m e o sisem m sej: -) Ideermido b-) impossível Resposs -) -) SI ( -) b-) SPI S{(,, ) ( ) α α α,, } c-) SI ( -) d-) SPD S{(,, ) (, -, )} e-) SPD S{(,,, w) (, -,, )} f-) SI ( -/) g-) S{(,,, ) α α α α,,, } -) -) m e b-) m e

55 IV - APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES Eemplos ) Três irmãos, Pul, Júli e Adré, o cofrorem sus cos de elefoe celulr, ficrm curiosos em sber quo cusou um miuo de cd ipo de ligção relid As rrês cos preserm ligções pr elefoes fios e móveis (celulres) e ligções ierciois pr Bueos Aires, ode morm seus primos A bel iform o empo (em miuos) ds ligções que cd um efeuou e o vlor correspodee d co, já descodo o preço d ssiur Fio Móvel Ierciol Vlor (Bueos Aires) Pul mi mi mi, Júli mi mi mi, Adré mi mi mi, Vmos deomir, e os preços do miuo de ligção pr elefoes fios, pr elefoes móveis e pr Bueos Aires, respecivmee Des form, A co de Pul é dd por:, A co de Júli é dd por:, A co de Adré é dd por:, As rês equções cim cosiuem um eemplo de plicção de sisem lier

56 ) (EU-RJ) Observe bel de comprs relids por Mri: Loj Produos Preço uiário Despes (R$) (R$) A Ce,, Lpiseir, B Cdero,, Correor, Sbedo que el dquiriu mesm quidde de ces e cderos, lém do mior úmero possível de lpiseirs, o úmero de correores comprdos foi igul : ) b) c) d)

57 ) (PUC) Alfeu, Beo e Cii form um cer loj e cd qul comprou cmiss escolhids ere rês ipos, gsdo ess compr os ois de R$,, R$, e R$,, respecivmee Sejm s mries: A e X is que: os elemeos de cd lih de A correspodem às quiddes dos rês ipos de cmiss comprds por Alfeu (ª lih), Beo (ª lih) e Cíi (ª lih); os elemeos de cd colu de A Correspodem às quiddes de um mesmo ipo de cmis; os elemeos de X correspodem os preços uiários, em reis, de cd ipo de cmis Nesss codições, o ol ser pgo pel compr de um uidde de cd ipo de cmis é: ) R$, b) R$, c) R$, d) R$, e) R$, ) (Vuesp-SP) Um orfo recebeu um cer quidde de briquedos pr ser disribuíd ere s criçs Se cd criç receber rês briquedos, sobrrão briquedos pr serem disribuídos; ms, pr que cd criç poss receber cico briquedos, serão ecessários mis briquedos O úmero de criçs do orfo e quidde de briquedos que o orfo recebeu são, respecivmee: ) e 9 b) e c) e d) e e) e

58 ) (UF Uberlâdi-MG) Gumercido decidiu dividir su fed de lqueires ere seus dois filhos João e José Ess divisão seri diermee proporciol à produção que cd filho coseguisse em um plção de soj Eles produirm juos, oeld de soj, sedo que José produiu kg mis que João Como foi dividid Fed? ) Ao ser idgdo sobre o vlor do pedágio, um ci respodeu: Qudo pssrm crros de psseio e ôibus, rrecdou-se qui de R$,; qudo pssrm ôibus e cmihões, qui rrecdd foi de R$,, e qudo pssrm crros de psseio e cmihões, rrecdou-se qui de R$, Qul foi o vlor do pedágio pr cd ipo de veículo cido?