Transformadas de Laplace

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Adriana Bacelar da Conceição
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1 Trformd de plce O MÉTODO O méodo de rformd de plce é um méodo muio úil pr reolver equçõe diferecii ordiári EDO. Com rformd de plce, pode-e coverer mui fuçõe comu, i como, eoidi e morecid, em equçõe lgébric de um vriável complex "". equçõe diferecii mbém podem er rformd em equçõe lgébric rvé d rformd de plce. DEFINIÇÃO rformd de plce é um operção emelhe rformd logrímic. equçõe diferecii ão rformd em equçõe lgébric, em que pode-e relizr operçõe lgébric ormi o domíio "" e depoi reordo o domíio "" rvé d iver. Equemicmee: O memáico frcê Pierre Simo de plce decobriu um meio de reolver equçõe diferecii que coie em: Muliplicr cd ermo d equção por e Iegrr cd ermo em relção o empo de zero ifiio "" é um coe de uidde de um /empo. rformd de plce de um fução f é defiid como: [ ] F f f e d Ode: f F - Símbolo d rformd de plce - Fução do empo coíu pr < < - Operdor de plce

DEFINIÇÃO rformd de plce é um operção emelhe rformd logrímic. equçõe diferecii ão rformd em equçõe lgébric, em que pode-e relizr operçõe lgébric ormi o domíio "" e depoi reordo o domíio "" rvé d iver.

2 Trformd de plce Iver d rformd de plce [ ] f f Ode: f - Fução do empo que ão é defiid pr < - - Operdor de iver de plce PROPRIEDDES propriedde báic ão:. Som de du fuçõe [ f f ] [ f ] f F F [ ]. Muliplicção por coe [ f ] f F [ ]. Fução com ro o empo [ ] f e F [ ] f f e d e f e d [ ] f e F 4. Derivd primeir de um fução df F f ode f f d : df df d d [ ] e d f e d f e f df F f d f Modelo Diâmico Prof. Joemr do So 7

Muliplicção por coe [ f ] f F [ ]. Fução com ro o empo [ ] f e F [ ] f f e d e f e d [ ] f e F 4.

3 Trformd de plce. Derivd egud de um fução d f df d F f ode d d d f : fzedo φ df d ou φ F f d f d [ d φ d] φ φ ubiuido [ ] φ ' d f d F f F f f 6. Derivd -éim de um fução d d d f F S f S d f... f dd 7. Iegrl de um fução ere ie e f F F EXEMPOS DE TRNSFORMDS DE PCE. Fução coe f f [ f ] e d e F Modelo Diâmico Prof. Joemr do So 8

4 Trformd de plce. Fução de gru uiário f p/ < p/ F [ f ] e d e. F. Fução Pulo f < < F f f e d e d e e [ ] e F 4. Fução Impulo Del de Dirc f pr < < δ lim f pr < e > [ f ] lim e o Modelo Diâmico Prof. Joemr do So 9

5 Trformd de plce plicdo regr de Hôpil [ f ] lim d d [ e ] d d F. Fução expoecil F e b b [ ] b b b [ f ] e e d e d e F b b OBS.: rformd de plce ão é defiid pr b <. 6. Fução rigooméric F e coω jω e jω jω jω [ f ] [ e ] [ e ] jω jω F jω jω Modelo Diâmico Prof. Joemr do So

6 Trformd de plce TEOREM DO VOR FIN O eorem do vlor fil relcio o compormeo em regime ecioário de f, io é, o gho d fução. Teorem: Se um rformd de plce é muliplicd por, o vlor do produo fzedo eder zero é o vlor d rformd iver com ededo ifiio. lim f f F lim TEOREM DO VOR INICI O eorem do vlor iicil ão dá o vlor de f em, mi um empo ligeirmee uperior zero. Teorem: Se um rformd de plce é muliplicd por, o vlor do produo fzedo eder ifiio é o vlor d rformd iver com ededo zero. Exemplo: lim lim f f F G 4 G lim[ G ] lim G G lim[ ] lim 4 4 Modelo Diâmico Prof. Joemr do So

lim f f F lim TEOREM DO VOR INICI O eorem do vlor iicil ão dá o vlor de f em, mi um empo ligeirmee uperior zero.

7 Trformd de plce TRNSFORMD INVERS DE PCE O proceo memáico de e pr d expreão com vriávei complex pr expreão o empo é chmd rformd iver. oção d rformd iver é : [ F ] f Um méodo coveiee pr e ober rformd iver de plce, coie em ur um bel de rformd de plce. Nee co, rformd de plce deve err em form imedimee recohecível bel. Se um rformd F ão puder ecord bel, eão deve-e expdir em frçõe prcii e ecrever F em ermo de fuçõe imple de "" qui rformd ão cohecid. EXPNSÃO EM FRÇÕES PRCIIS Pr reolver um expreão lgébric em frçõe prcii, o deomidor deve er fordo. O umerdor deve er pelo meo um gru bixo do deomidor. Qudo o gru do umerdor for igul ou mior do deomidor, o umerdor deve er dividido pelo deomidor pr dr ermo que ejm pelo meo um gru bixo do deomidor. Exiem rê ipo báico de frçõe prcii, form ão eguie:. Fore liere o deomidor Expreão: G z p p... p p i i : ríze dii Frçõe Prcii: G B... p p N p B N [ p G ] p [ p G ] p [ p G ] lim lim p lim Modelo Diâmico Prof. Joemr do So

Se um rformd F ão puder ecord bel, eão deve-e expdir em frçõe prcii e ecrever F em ermo de fuçõe imple de "" qui rformd ão cohecid.

8 Trformd de plce Exemplo G 6 6 B C D G lim B lim C lim 6 D lim 6 G 6 6.Fore liere repeido o deomidor Expreão: G z k p p... p Frçõe Prcii: G B N p p p k k p p k [ p G ] k lim p Modelo Diâmico Prof. Joemr do So

9 Trformd de plce d lim p d k k [ p G ] k d lim p k d [ ] k p G B N lim p lim p [ p G ] [ p G ] Exemplo G 4 4 B C G lim 4 d d B d d lim lim lim 4 C lim lim G 4 4.Fore complexo cojugdo o deomidor Qudo fução poui pólo complexo Nee co fução emporl empre evolve produo de um expoecil e um eo ou coeo como idicdo eguir: Modelo Diâmico Prof. Joemr do So 4

Fore complexo cojugdo o deomidor Qudo fução poui pólo complexo Nee co fução emporl

10 Trformd de plce Modelo Diâmico Prof. Joemr do So [ ] [ ] ω ω ω ω co B e e e Qudo fução poui pólo complexo e rei. Pr uilizrmo o reuldo d eçõe eriore devemo primeiro eprr o pólo complexo do rei d eguie form: Expreão: b p b p N F ode é obido como defiido o iem e e ão deermido por iguldde poliomil ribuido-e vlore. Exemplo G G pode er obido pelo procedimeo hbiul e vle /. e, podem er deermido implificdo equção erior e comprdo o poliômio: 6 Poro -/ e -6/. judo o ermo:, F uilizdo d bel de lplce, ecormo:

obido como defiido o iem e e ão deermido por iguldde poliomil ribuido-e vlore.

11 Trformd de plce f e co e SOUÇÃO DE EQUÇÕES DIFERENCIIS POR PCE O procedimeo que evolve uilizr rformd de plce pr ober olução de um equção diferecil é o eguie:. Trformr cd ermo d equção diferecil em u rformd de plce, io é, mudr fução do empo pr um fução de " ".. Pequir od mipulçõe - por exemplo, coiderr o que coece qudo um erd degru é plicd o iem.. Coverer fução de plce reule em um equção como fução do empo, io é, operção iver d rformção de plce. Pr ur bel de rformd de plce e im deermir coverão, é freqüeemee eceário decompor em frçõe prcii pr ober form pdrõe dd bel. Equemicmee: Modelo Diâmico Prof. Joemr do So 6

. Pequir od mipulçõe - por exemplo, coiderr o que coece qudo um erd degru é plicd o iem.

12 Trformd de plce Exemplo Sej equção diferecil d y d y dy 6 6y u d d d com eguie codiçõe iicii: d y dy y,, d d plique um degru uiário em u u Ep plicção d rformd de plce d y d y dy d d d [ y ] u 6 6 [ ] y y dy d y y y 6 d d y y 6y u [ ] y 6y y 6y u y u 6 6 [ u ] u Ep Operção com fução de rferêci dy d y y Modelo Diâmico Prof. Joemr do So 7

y dy d d d [ y ] u 6 6 [ ] y y dy d y y y 6 d d y y 6y u [ ] y 6y y 6y u y u 6 6 [ u ]

13 Trformd de plce y Ep Expão em frçõe prcii B C D y lim B lim C lim 6 D lim 6 y 6 6 Ep b plicção d rformd iver de plce [ y ] y e e e 6 6 Modelo Diâmico Prof. Joemr do So 8

14 Trformd de plce TBE DE TRNSFORMDS DE PCE F [ f ] f e d Fução Trformd f FS Impulo uiário δ Degru uiário Rmp Uiári 4,,,...! e 6 e 7 e,,,...! 8 e 9 e e b e e b b be e b b eω ω ω coω ω 4 Seóide morecid ω e eω ω Coeóide morecid e coω ω 6 ω ζω ω e e ω ζ ζ ζω ω Modelo Diâmico Prof. Joemr do So 9

..! 8 e 9 e e b e e b b be e b b eω ω ω coω ω 4 Seóide morecid ω e eω ω

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