6 Cálculo Integral (Soluções)

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1 6 Cálculo Inegrl (Soluções). () Sej d {,..., n } um decomposição de [, ]. Podemos ssumir que d (cso conrário, om-se d d {}, e em-se S d ( f ) S d ( f ), s d ( f ) s d ( f )). Sej k, pr lgum k {,..., n }. Tem-se enão, escrevendo M i sup [i, i ] f (), m i inf [i, i ] f (), M i, i k, M k,, M i, k + i n, m i, i k, m k+,, m i, k + i n. As soms superior e inferior ficm: S d ( f ) ( k k ) + ( k k ) + ( k+ k n n ) ( k ) + ( k k ) + ( n k ) k + ( k ) + ( ) 5 k, s d ( f ) ( k k ) + ( k+ k ) + ( k+ k n n ) ( k ) + ( k+ k ) + ( n k+ ) k + ( k+ ) + ( k+ ) 5 k+. Como k [ k, k+ ], escrevendo k ε, k+ + ε, com > ε, ε > rbirários, emos S d ( f ) 5 k 4 + ε 4, s d ( f ) 5 k+ 4 ε 4. (b) N líne nerior vimos que ddos > ε, ε > rbirários, eise d l que Conclui-se enão que S d ( f ) 4 + ε, s d ( f ) 4 ε. f inf{s d ( f ) : d decomposição de [, ]} inf (4 + ε ) 4, >ε >

2 CDI-I o S / f sup{s d ( f ) : d decomposição de [, ]} sup (4 ε ) 4. >ε > Logo, emos 4 f f 4, ou sej, com f 4. f f 4. Assim, f é inegrável. () Sej f. Pr cd decomposição d {,,..., n b}, em-se nese cso Temos enão M i ( f ) m i ( f ) S d ( f ) s d ( f ) sup f () [ i, i ] inf f () [ i, i ] sup [ i, i ] ( f () n (M i ( f ) m i ( f ))( i i ) i n (M i ( f ) m i ( f ) )( i i ) i M i ( f ), ) inf f () m i ( f ). [ i, i ] n (M i ( f ) m i ( f ))(M i ( f ) + m i ( f ))( i i ) i M n (M i ( f ) m i ( f ))( i i ) M(S d ( f ) s d ( f )), i onde M sup [,b] f (). Ddo ε > ribrário, como f é inegrável, podemos escolher decomposição d l que S d ( f ) s d ( f ) < ε, e porno l que M S d ( f ) s d ( f ) < ε. Conclui-se que f é inegrável pr f inegrável. Pr f rbirári, como f inegrável f inegrável e porno, como vimos cim, f f é inegrável. (b) De f g (( f + g) f g ), emos que f g é um som de funções inegráveis, e porno inegrável.. Como f é conínu em [, b], pelo Teorem de Weiersrss será limid em [, b], ou sej, eisem m e M is que m f () M em [, b]. Pel monooni do inegrl: m g()d f ()g()d M g()d. 4

3 CDI-I o S / Por ouro ldo, se g, emos g()d. Se g()d, o resuldo é válido pr qulquer c ], b[; pr g()d > emos: m f ()g()d M. g()d Pelo Teorem do Vlor Inermédio, de novo porque f é conínu, f ssume em ], b[ odos os vlores enre m e M, logo eise c ], b[ l que f ()g()d f (c) g()d f ()g()d f (c) g()d. 4. Se, por conrdição, f () não ivesse rizes, segue d coninuidde de f e do Teorem do Vlor Inermédio que f não mud de sinl em [, b]. Ms se f > em [, b], d monooni do inegrl em-se f ()d >, o que é impossível. D mesm form, não pode ser f < em [, b]. Conclui-se que f () em pelo menos um riz. 5. Se, por conrdição, fosse f () > pr lgum, como f é conínu, seri f () > em ] ε, + ε[, pr lgum ε >. D monooni do inegrl, f () d >, o ] ε,+ε[ que conrdiz hipóese. D mesm form, mbém não pode ser f () <. Logo, f () pr qulquer R. Alernivmene, em-se por hipóese f () d pr qulquer R. Derivndo mbos os membros (usndo o Teorem Fundmenl do Cálculo), emos ( f () d) f (). 6. Como e sen é um função conínu, do Teorem Fundmenl do Cálculo, esen d é diferenciável, logo φ() esen d mbém será e ( ) φ () e d) sen ( e sen d e sen d e sen. 7. ) sen, b) cos. c) e 4 e. d) e 4 e. e) 4 sen( ) sen( ), f) cos( ) d + cos. 5

4 CDI-I o S / 8. Como f é conínu e é conínu, ( ) f () é conínu e do Teorem Fundmenl do Cálculo, ψ é diferenciável com ( ψ () f ()d f ()d) f ()d + f () f () f ()d. De novo porque f é conínu e do Teorem Fundmenl do Cálculo, ψ é diferenciável, ou sej, ψ é dus vezes diferenciável, e ψ () f (). 9. Como f é diferenciável, e porno conínu, podemos derivr mbos os membros (usndo o Teorem Fundmenl do Cálculo): ( f () d) ( f ()) f () f () + f () f (), R. Conclui-se que f (), pr, ou sej, f é consne em ], + [ e em ], [. Como é conínu, em-se que f é consne em R.. ( sen cos ( sen d) cos d ) d sen cos cos sen cos cos sen sen.. Temos um indeerminção que se pode plicr Regr de Cuchy. Do Teorem Fundmenl do Cálculo, lim sen d sen( ) lim ) O limie é um indeerminção que pode ser levnd usndo regr de Cuchy. O cálculo d derivd d função que envolve um inegrl é consequênci do eorem de derivção d função compos e do eorem fundmenl do cálculo. rcg lim sen( ) d lim + π/ + lim + lim + 6 rcg π/ sen( ) d / sen(rcg ) + / ( ) π + sen(rcg ) sen. 4

5 CDI-I o S / b) D mesm form lim + e d (e ) d lim + e (e ) lim + (e ).. () Direcmene do Teorem Fundmenl do Cálculo; F () f (). (b) Como F () f () >, pr R, F é esrimene crescene. Temos enão F() > F(), pr >, e F() < F(), pr <, ou sej, F() > pr qulquer R \ {}. (c) Sej lim + f () L R + e M R l que, pr > M, em-se f () > L. Enão, pr > M, Como M +. Considere: F() > M f () d f () d + L M M f () d + d M M f () d f () d + L ( M). f () d é consne e lim + L ( M) +, conclui-se que lim + F() F() { se > se. Nese cso lim + f () e lim + F() +. Se { se > F() se emos lim + f () e lim + F(). 4. F é conínu e diferenciável em R \ {} um vez que é o produo de dus funções conínus e diferenciáveis em R \ {}: e f () d (pelo Teorem Fundmenl do Cálculo). Em : lim f () d lim f () d lim f () f () F() um vez que f é conínu em (onde se usou Regr de Cuchy e o Teorem Fundmenl do Cálculo). Logo, F é conínu em. Em relção à diferencibilidde: F() F() lim lim f () f () lim f () f () onde se usou de novo Regr de Cuchy e o Teorem Fundmenl do Cálculo. O limie cim eise sse f é diferenciável em (e nese cso erímos F () f () ). 7

6 CDI-I o S / 5. D coninuidde de u e v, podemos usr o Teorem Fundmenl do Cálculo pr derivr os seus inegris indefinidos e emos enão u() d Por ouro ldo, fzendo b, em-se b ( ( v() d u() d) v() d) u() v(). u() d b b v() d. 7. ) log. b) log(/). c) d). 8. ) log e. b) log 4. c). d) rcg(/4). e) 8 (π + log 4) (subs. g ). f) π ( noe que ). ( + ) + 9. ) rcg d [ rcg ] π π d ( + ) rcg π π 8 ( π ) d + rcg π π 8 [ rcg ] π b) c) rcg [ + d rcg sen d ] π. π + ( cos ) sen d rcg π π 4 +. [ cos + ] π cos cos π + cos π + cos cos 4. d) e) 4 d [ log ] d 4 log log log. ( ) d [ log ] log. 8

7 CDI-I o S / f) e d e + e + d mudnç de vriável e log. Tem-se e d, fzendo ( + ) (verifique) e porno e ( + ) ( + ) d ( ) + e e + log( + e) + + log e + log. g) ( ) [ ( ) ] rcsen d rcsen d rcsen rcsen + π π [ 4 + ] π +. h) cos sen d cos ( sen ) sen d cos ( sen sen 5 ) d [ ] π sen 7 sen i) Fzendo subsiuição e log, emos e e e, logo e + e d e ( + ) d + + d [ log + + log ] e log( + e) + + log.. F ( ) e + d e(+ ) d. Fzendo mundnç de vriável u, em-se e(+ ) d ue ( +u) ( u ) du u u e u +u du F().. Considerndo mudnç de vriável sugerid F() f () d f (y) dy. que se pode diferencir usndo o eorem fundmenl do cálculo e o eorem de derivção d função compos.. Use mudnç de vriável y /. 9

8 CDI-I o S /. Um vez que, pelo Teorem Fundmenl do Cálculo, F () e, usndo inegrção por pres emos [ F() d [F()] e d F() + ] e F() + e. 4. ) Usndo coninuidde d função inegrnd pr jusificr diferencibilidde de G() +T f () d pode derivr-se o inegrl e usr periodicidde d função pr mosrr que o inegrl em derivd nul, pelo que é consne. Com efeio: G () ( +T f () d) f ( + T) f () (Noe-se que jusificção nerior não é possível se não se supuser que f é conínu. No enno conclusão coninu ser verddeir! é necessário nesse cso usr mudnç de vriável e diividde do inegrl relivmene o inervlo de inegrção - verifique!). b) Se F é um primiiv de f e é periódic de período T, emos T f () d F(T) F(). Reciprocmene, se T f () d enão d líen nerior, emos G() G() Logo F é periódic de período T. +T f () d F( + T) F(). 5. ) Como função inegrnd R e é conínu o inegrl eise qulquer que sej R. Como função inegrnd é posiiv e é esrimene crescene pr > o inegrl é esrimene crescene pr. Como função é pr é esrimene decrescene pr. (Alernivmene, jusifique os resuldos de monooni derivndo o inegrl usndo o eorem fundmenl do cálculo e o eorem de derivção d função compos; obém-se f () e 4 e s mesms conclusões seguem com fcilidde.) b) Como R + \ {} é ilimid num qulquer vizinhnç direi de log o inegrl não esá definido se e. O inegrl esá definido pr e > > pois função inegrnd é nesse cso conínu no inervlo fechdo definido pelos eremos do inervlo de inegrção. Pr > : g () e log e e >

9 CDI-I o S / pelo que função g é esrimene crescene. Um zero óbvio de g corresponde os eremos de inegrção serem iguis, iso é log, sendo porno g() < se < log e g() > se > log. c) Temos h() e d e d. As funções inegrnds e e e são conínus logo podemos derivr h usndo o Teorem Fundmenl do Cálculo e regr de derivção do produo: h () e d + e e e d. Como e >, pr qulquer R, emos h () > pr > e h () < pr <, ou sej, h é crescene em ], + [ e decrescene em ], [, endo um mínimo no pono. 6. ) Noe-se que b) e e lim pelo que função inegrnd não é conínu. No enno só difere em d função conínu f definid por f () e e, se, se. Como lerr um função num pono não ler su inegrbilidde nem o vlor do seu inegrl, inegrbilidde de f implic inegrbilidde de f em qulquer inervlo limido sendo os inegris de f e f iguis. dψ d d f d d d f f (). Noe-se que não coninuidde de f não permie plicr o eorem fundmenl do cálculo pr clculr derivd do inegrl indefinido de f e ivemos que recorrer à iguldde com o inegrl de f. 7. ) Noe-se que função inegrnd é não negiv e conínu. Tl crre que o inegrl vi ser posiivo se > (iso é ], [), negivo se < (iso é ], [ ], + [), e nulo se (iso é {, }). b) D líne nerior decorre que bs esimr o inegrl pr ], [. Pr l noe-se que se ], [ o inervlo de inegrção esá conido no inervlo [, ] e í função inegrnd pode ser mjord por. O cálculo do inegrl des úlim função enre e conduz enão + à mjorção preendid.

10 CDI-I o S / 8. () Um vez que f é um função diferenciável em R, logo conínu, segue do Teorem Fundmenl do Cálculo e d derivd d função compos que g é diferenciável em R e g () f ( 4 + )( 4). Como f < em R, em-se g () > < 4 <. Logo, g é crescene pr <, decrescene pr > e ssim g erá um pono de máimo em. Não em mis ponos de eremo um vez que é diferenciável em R e derivd só se nul em. Ddo que f <, em-se g() 4 +, e g() > 4 + < < < g() < 4 + > < >. Pr concvidde: g () f ( 4 + )( 4) + f ( 4 + ) <, pr qulquer R, um vez que f e f são negivs. Conclui-se que o gráfico de g em concvidde vold pr bio. (b) Há dois specos verificr. Por um ldo, g é mjord porque é conínu e em um único pono de máimo em, logo g() g(), pr qulquer R. Por ouro ldo, pr qulquer > emos 4 + >. Segue d monooni do inegrl e de f ser decrescene, um vez que f <, que f () f (), pr < < 4 + e que g() Logo, como f () <, 4+ f () d 4+ f () d f ()( 4 + ). e g não é minord. lim g() lim f + + ()( 4 + ), 9. () Como função inegrnd cos em domínio R \ {} e é conínu no seu domínio, será inegrável em qulquer inervlo limido que não conenh. Como e êm sempre o mesmo sinl, emos D f R \ {}.

11 CDI-I o S / Fzendo mudnç de vriável u emos Logo f é pr, f ( ) cos cos u u d du f (). cos( u) ( ) du u (b) f é diferenciável um vez que cos é conínu (pelo Teorem Fundmenl do Cálculo). Temos f () ( cos d cos cos, cos em que ommos >, pr >, e <, pr <. ) cos d cos (c) Como cos é decrescene em ], π[, emos que pr < < π, cos() < cos, logo f cos cos () < pr < < π, ou sej f é monóon decrescene em ], π [. Por ouro ldo, pr >, cos d cos d d [ log ] log. Logo f é limid em ], π [ ], + [. Conclui-se que eise f ( + ) lim + f (). Como f é pr, eise mbém f ( ) f ( + ), logo eise lim f ().. () g( ) φ() d φ( u)( ) du g(), nondo que φ é pr. (b) Pr emos do Teorem Fundmenl do Cálculo Em : g () lim g() g() g () cos. lim φ() d lim cos. (Alernivmene, poderimos considerr função φ() φ(), pr e φ() lim φ(), que é conínu em R, e plicr o Teorem Fundmenl do Cálculo φ em R - ver E. 6.)

12 CDI-I o S / (c) g () pr qulquer R e g () cos kπ, k Z \ {}. (d) Como g é ímpr, é suficene considerr. Temos que g é limid em qulquer inervlo [, ], >, um vez que é conínu (decorre d coninuidde do inegrl indefinido de qulquer função inegrável). Pr [, + [ podemos mjorr g() por. ) φ() g() + [ log d ( + ) ( + ) log log + g() + g() +. ] + ( + ) d ( ) d + log log 5. 4 b) φ () log, pr >. (+ ) c) Tem-se > pr qulquer >, logo φ () > >, ou sej, φ é crescene (+ ) em ], + [ e decrescene em ], [. Tem-se φ(). Se eisisse c l que φ(c), enão, do Teorem de Rolle, eisiri um zero de φ enre e c. Como φ () pr, emos que é o único de φ.. ) b) (4 ) d + (4 ) d 5 c) (log ) +, d) log e) f) e d e y (+) d + d (+log ) 4. dy log (fzendo y y e ). y (y +)y dy [ rcg y ] π (fzendo y + ). +y dy π 4 (fzendo y log ).. ) A (9 ) d 8, b) A ( ( ) 4( ) ) d + ( ) d 8 ( ) d 4( ) d 4

13 CDI-I o S / c) A d) A e) A f) A g) A e ( ) ( d + 8 ( ) d, ( ) d + e ( ) d e. 7 8 ( ) d 7 48, log( + ) d [ log( + ) ] e e ) d 5 4, e + d (e ) + d (e ) [ log + ] e (e ) (e )+. h) Os ponos de inersecção são em e e, em [, ], log( + ) log, logo log log( + ) d log log( + ) d log [ log( + )] + A + d log log d 4[ rcg ] 4( π 4 ) 4 π. 4. De + 4 y emos y ±. A áre fic (fzendo subsiuição sen ): 4 A d 4 cos d [ ] π (cos + ) d 4 sen + π. 5. As dus curvs inersecm-se em (, ) e (, ). Temos A ( 4 ) d + π A (Fç subsiuição sen pr primiivr 4 ). rcg π 4 log. 5

14 CDI-I o S / 7. A (rcg π ) 6 d + ( π 4 π ) 6 d log + π. 8. As curvs inersecm-se nos ponos (, ) e (e, ), e pr [, e], log log. Temos e ( A log log ) d [ ( log log )] e ( e ) log d e e( ) ( ) [] e + log d e e + + [ log ] e d e. 6