Definição: Sejam dois números inteiros. Uma matriz real é uma tabela de números reais com m linhas e n colunas, distribuídos como abaixo:

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1 I MTRIZES Elemeos de Álgebr Lier - MTRIZES Prof Emíli / Edmé Defiição: Sem dois úmeros ieiros Um mriz rel é um bel de úmeros reis com m lihs e colus, disribuídos como bixo: ( ) i m m m m Cd elemeo d mriz é chmdo ermo ou erd TIPOS DE MTRIZES: Qudrd: m, se i Ideidde: I ( ) ode x, se i b Siméric: i c i-siméric: (elemeos d digol pricipl ulos) d Digol:, se i e Trigulr: i Superior:, se i> ii Iferior:, se i< f Iversíveis: Regulres: m i M ( ) R I x Colu: b Lih: m e e m qulquer qulquer c Ours Nul:, i Mriz Opos: Dd ( ) OPERÇÕES: emos opos ( ) Iguldde: Dds dus mrizes, B M ( ) mx R, ( ) B b, i,, m e,, e B ( b ) eão: + b + b + b dição: Dds, B Mx defiimos: + B m bm m bm m b m Proprieddes: Pr,B,C M mx( R ), emos que: ) +B B + b) +(B+C) (+B) +C c) + (: mriz ul) d) + (-) Muliplicção por esclr: Dd M mx ( R ) e α R, defiimos: α α α m α α m α α m

2 Elemeos de Álgebr Lier - MTRIZES Prof Emíli / Edmé Proprieddes: Pr, B M mx( R ), emos que: e) ( αβ ) α( β ) f) ( α β) α g) ( + ) β α B α αb h) Muliplicção de Mrizes: Sem M mx ( ) C M mxp mrizes, defiimos C B c com c ik bk mxp, B M xp e k Obs: Noe que o produo só é possível qudo o úmero de colus d primeir mriz é igul o úmero de lihs d segud mriz Proprieddes: ) Sem s mrizes M mx ( R ), B M xp ( R ) e C M pxq eão ( ) ( ) BC B C b) Sem s mrizes M mx ( R ), B M xp ( R ) e C M xp ( R ) ( + ) ( ) +( ) eão B C B C Trsposição de Mrizes: Chmmos de mriz rspos de ( ) ( ) ( ) R b M x m b i M mx R, mriz Deermie de um mriz: É um fução do couo M de ( ) B, l que: os reis, cuo i+ desevolvimeo de Lplce segudo i-ésim lih é ddo por: de, ode colu ( ) ( ) ( ) é mriz, de ordem -, obid d mriz reirdo-se i-ésim lih e -ésim MTRIZES ESCLONDS Defiição: Um mriz é di mriz esclod (ou mriz d form escd) se s codições bixo são sisfeis: ) Tods s lihs uls, cso h lgum, esão bse d mriz, iso é, bixo de ods s lihs ão uls b) O primeiro elemeo ão ulo d lih i esá um colu erior àquel do primeiro elemeo ão ulo d lih, sempre que i < * * Obs: O primeiro elemeo ão ulo de cd lih é chmdo de elemeo pricipl (pivô)

3 Elemeos de Álgebr Lier - MTRIZES Prof Emíli / Edmé Equivlêci de Mrizes, por Lih: Defiição: Um mriz é di equivlee por lih um mriz B, se mriz B pode ser obid d mriz, por um seqüêci fii de operções elemeres, lisds bixo: L L ) Permução d lih i com lih Noção: i ) Muliplicção d lih i por um esclr ão ulo α Noção: Li αli ) Subsiuição d lih por α vezes lih i, somd à lih Noção: L α Li + L Exercícios: Uilizdo s operções elemeres rsforme s mrizes bixo em mrizes equivlees esclods: ) 6 b) C c) B Mrizes Iversíveis: Como á vimos, s mrizes iversíveis são mrizes qudrds, m Des form emos que o produo de mrizes será sempre possível, resuldo um mriz qudrd de ordem Pr is mrizes emos id s seguies proprieddes: ) ssociiv: ( B ) C ( BC ),, B, C M ( R ) ) Elemeo euro d muliplicção: I I, M ) Disribuiv do produo em relção à dição: ( B+ C) B+ C B C M ( R ),,, Teorem : O deermie de um mriz iversível é diferee de zero Prov: Se M R é iversível, eão exise M l que ( ) ( B) de( ) de( B) de, logo de( ) de( I ) de( )de( ) de( ) I e poro Sbemos que: Teorem : Um mriz é iversível se, e somee se, é mriz equivlee d mriz ideidde, iso é, I ssim emos que, mesm sucessão de operções elemeres que rsformm mriz mriz ideidde, rsformm mriz ideidde mriz ivers, M Exemplo: L L + L L L+ L

4 L L Elemeos de Álgebr Lier - MTRIZES Prof Emíli / Edmé L L + L L LL Poro: LIST DE EXERCÍCIOS Sem, B e C Clculr 6 B+ C Deermir X Y M R, cosiderdo s mrizes e B do exercício erior:, x ( ) X Y X + Y B Dds s mrizes bixo, deermir s mrizes produo B e B, se for possível: e B Se um mriz é digol, eão Se um mriz é rigulr superior, eão 6 Se um mriz é siméric, eão 7 che is que x y x, y, z, w R z w 8 Supodo que e B C respod:, com, B, e C mrizes ode muliplicção é possível, ) É verdde que B C sempre? b) Sedo Y um mriz l que Y I, eão B C? 9 Explique por que, em gerl emos que:

5 + B + B + B ) ( ) ( + B)( B) B b) Elemeos de Álgebr Lier - MTRIZES Prof Emíli / Edmé Um cosruor em coros pr cosruir esilos de cs: modero, medierrâeo e coloil quidde de meril empregd em cd ipo de cs é dd pel mriz: Mod Med Col Ferro Mdeir Vidro Tolo ouros ) Se ele cosruir, 6 e css dos ipos modero, medierrâeo e coloil, respecivmee, qus uiddes de cd meril serão empregds? b) Supoh gor que os preços por uidde de cd meril, respecivmee se,, 8,, e reis Qul o preço uiário de cd ipo de cs? c) Qul o cuso ol do meril empregdo? Mosre que se, eão 6+ I Verifique que mriz X y, l que y R, dmie codição y X X Clcule o deermie ds mrizes bixo: ) b) C c) B d) π 8 6 Deermir mriz X M x (R) l que ( X + ) ( x + ( B )) C, sedo, B, C s mrizes do exercício Um Mriz qudrd se diz siméric se T e i-siméric se T - ) Mosrr que som de dus mrizes simérics é mbém siméric Mosre que o mesmo vle pr mrizes i-simérics b) O produo de dus mrizes simérics de ordem é um mriz siméric? 6 Deermir ods s mrizes que comum com mriz, ou se, ods s mrizes X de ipo x is que XX 7 Dd mriz X I deermir um mriz X M de meir que

6 Elemeos de Álgebr Lier - MTRIZES Prof Emíli / Edmé 8 O produo de dus mrizes i-simérics de mesm ordem é um mriz isiméric?jusifique su respos 9 Efeue os produos B e B ode e ( ) B Deermir ods s mrizes qudrds de ordem que comum com mriz, ode é um úmero rel C Deermir, se possível, ivers ds mrizes usdo s operções elemeres com s lihs d mriz:, B, C e D Mosrr que mriz rel é iversível pr qulquer vlor de, b, e c b c R e que - c b c Dd mriz, clculr e clssificr mriz T Dds s mrizes 9 7 e B, clculr m e pr que B se ivers de 9 m Dds s mrizes, B, C e I, clculr ((B)C) + I Deermie s mrizes iverss ds mrizes dds bixo, cso se possível: 6 B C D E