CODIFICAÇÃO DE CANAL PARA SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO DIGITAL

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1 Grupo (Group), G CODIFICAÇÃO DE CANAL PARA SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO DIGITAL INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA Evelio M. G. Ferádez Sistem lgébrico com um operção e seu iverso. cojuto de elemetos e xioms G1 à G4. G1) Fechmeto,, b G ( + b) G. G2) Associtiv,, b, c G ( + b) + c = + ( b + c). G3) Elemeto idetidde (eutro): 0 ou 1 (depede d operção). Se operção = som, G + 0 = 0 + = Se operção = produto, G 1 = 1 =. G4) Iverso. Se operção = som, G ( ) G / + ( ) = ( ) + = 0 elemeto eutro dição Se operção = produto, G ( ) G / ( ) = ( ) = 1 elemeto eutro multiplicção Grupo belio (comuttivo) Pr grupo sob dição (som),, b G + b = b + Pr grupo sob multiplicção (produto),, b G b = b Exemplos e Cotr-exemplos Exemplos e Cotr-exemplos Especifique se são grupos os seguites cojutos (operção som e produto). ) Coj. N o reis b) Coj. N o reis exceto zero c) Coj. N o iteiros (positivos e zero) d) Coj. N o iteiros (egtivos e zero) e) Coj. N o iteiros (eg., pos. e zero) Verifique se é grupo álgebr biári (Boole) sob s seguites operções booles: ) Operção OR b) Operção AND c) Operção OR-EXCLUSIVO ou Módulo 2 1

2 Exemplos e Cotr-exemplos Verifique se costituem grupos os seguites cojutos sob operção som módulo 2: ) S 1 = {0000, 1111} b) S 2 = {000, 011, 101, 110} c) S 3 = {000, 011, 101, 110, 111} d) S 4 = {000, 001, 100, 101} Ael (Rig), R Sistem lgébrico com 2 operções e operção ivers d dição. Cojuto de elemetos e xioms R1 R4. R1) R = Grupo belio sob dição ( iverso dição). R2) Fechmeto,, b R b R R3) Associtiv,, b, c R ( bc ) = ( b )c ( ) ( ) c b + c = b + c R4) Distributiv, b + c = b + Ael comuttivo (belio),, b R b = b Propriedde de el:, b R 0 = 0 = 0 ( b) = ( ) b = ( b) Exemplos e Cotr-exemplos Corpo (Field), F Sistem lgébrico com 2 operções e seus iversos. Verifique se são éis os seguites cojutos: - {N o reis} i} - {iteiros} - {Poliômios em um vriável com coeficietes iteiros} Axioms: F1) Ael comuttivo (A, +,.) F2) Elemeto idetidde 1 pr operção. (produto). F3) Iverso multiplictivo, A, 0; / = 1 0 = elemeto eutro operção +. 1 = elemeto eutro operção. 2

3 Exemplos e Cotr-exemplos DEF: -upl sobre F. Operções com -upls cojuto ordedo de elemetos de F. Verifique se são corpos os seguites cojutos: ) {N o reis} b) {N o iteiros} c) S1 = {0, 1} e operções módulo 2 d) S2 = {0, 1, 2} e operções módulo 3 EX: (, 2, K, ) F, i = 1,2, 1 i K, DEF: Adição de -upls: (, K, ) + ( b, b, K, b ) = ( + b, + b,, + b ) 1, K Adição sobre F DEF: Multiplicção de um esclr ( F) por um -upl: c F c (, K, ) = ( c, c,, c ) 1, K Produto sobre F DEF: Multiplicção de -upls: (, K, ) ( b, b, K, b ) = ( b, b,, b ) 1, K Produto sobre F Espços Vetoriis Um cojuto V de elemetos é um espço vetoril sobre um corpo F se stisfzer xioms V1-V5 (elemeto de V: v = ( v, v2,, v ) V 1 K ). V1) Grupo belio sob dição (elemeto idetidde dição vetor todo zero 0). V2) Fechmeto: v V e c F cv V (produto por um esclr). V3) Distributiv 1: ( u, v) V e esclr c F c( u + v) = cu + cv V4) Distributiv 2: v V e ( c, d ) F ( c + d ) v = c v + d v V5) Associtiv: ( c d ) F ( cd ) v c( dv) v V e, =. Álgebr Lier Associtiv Um cojuto A de elemetos é um álgebr lier ssocitiv sobre um corpo F se stisfzer xioms A1 à A4: A1) Espço vetoril sobre F. A2) ( u, v) A ( u v) A A3) Associtiv, ( u, v w) A ( u v) w = u ( v w), A4) Bilier, ( c, d ) F e ( u, v w) A u ( c v + d w) = c u v + d u w, OBS: ( c v + d w) u = c v u + d w u 3

4 Subespços Vetoriis Subespços Vetoriis: Exemplos DEF: S subespço de V. Todo subcojuto de um espço vetoril que stisfzer os xioms de espço vetoril. OBS: Pr verificção de subespço vetoril: Verificr proprieddes de fechmeto dição e multiplicção por esclr. EX1: Sej V: cojuto ds -upls sobre GF(2), = 3. S1 = {000, 010, 100} = subespço de V? S2 = {000, 010, 100, 110} = subespço de V? EX2: Sej V = {cojuto ds -upls sobre GF(3), = 2} S1 = {02, 00} = sub V? S2 = {02, 00, 01} = sub V? Combições Lieres de k Vetores Combições Lieres de k Vetores Sejm ( v, v, v ) V u = v + v + K+ v F 1 2 K, k Teorem 2.5 (Peterso & Weldo, Cp. 2) O cojuto S de tods s combições lieres de um cojuto {v 1, v 2,..., v k} V é um subespço de V, i.e., S V. EXEMPLO: Sej V = {-upls, = 3} O cojuto de tods s combições lieres de {010, 110} é subespço de V? k k i Vetores liermete depedetes (LD). O cojuto { v, v2,, vk } V 1 K é LD { c, c2,, } em todos 1 K c k iguis zero tl que c 1 v 1 + c 2 v 2 + L + c k v k = 0. Cojuto de vetores liermete idepedetes (LI): Todo cojuto de vetores que ão for LD. 4

5 Gerdor de um Espço Vetoril Dimesão de um Espço Vetoril Um cojuto de vetores ger um espço vetoril V se qulquer v V é um combição lier dos vetores deste cojuto. Teorem 2.6 (Peterso & Weldo). Se um cojuto de m vetores, (v 1, v 2,..., v m), ger o espço vetoril V e V cotém um cojuto de k vetores LI, (u 1, u 2,..., u k) etão m k. Teorem 2.7 (Peterso & Weldo). Se dois cojutos de vetores LI germ o mesmo espço vetoril V, eles possuem o mesmo úmero de vetores. Dim(V) = úmero de vetores LI que germ V. DEF: Bse de um espço vetoril V de dimesão k. É um cojuto de k vetores LI que germ V. Teorem 2.8 (Peterso & Weldo). Se Dim(V) = k qulquer cojuto de k vetores LI em V é um bse pr V. EXEMPLOS 1) Liste 4 cojutos de vetores LI que formm um bse pr V 3. 2) Liste 4 cojutos de vetores LD que germ V 3. 3) Liste todos os cojutos de vetores que formm um bse pr S 1 = {000, 110, 010, 100} Produto Esclr Mtrizes DEF: Produto esclr (ou itero) de dois vetores (-upls). ( 1, 2, K, ) ( b1, b2, K, b ) = 1b1 + 2b2 + L+ b = c F. Proprieddes de o produto esclr: u v = v u w ( u + v) = w u + w v M = M m M m2 L L M L 1 2 M m DEF: Vetores ortogois: u v = 0 u v Teorem 2.13 (Peterso & Weldo). O cojuto de tods s -upls ortogois um subespço S1 de -upls form um subespço S2 de -upls. S2 é chmdo de espço ulo de S1 (e vice-vers teorem 2.16). S1 ortogol S2: S1 S2 ou S2 ortogol S1: S2 S1. Teorem 2.14 (Peterso & Weldo). Se um vetor é ortogol todo vetor de um cojuto que ger S1, ele pertece o espço ulo de S1. M = [ ij], i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., Lih de M = -upl ou vetor de dígitos F, vetor lih. Colu de M = m-upl ou vetor de m dígitos F, vetor colu. DEF: Espço ds lihs de M: é o cojuto de tods s combições lieres dos vetores lihs ssocidos à M. OBS: É um subespço vetoril do espço vetoril ds -upls sobre o corpo F de esclres. RANK (lihs) = Dim[espço ds lihs]. OBS: Idem pr espço ds colus. 5

6 Operções sobre s Lihs Form Côic Esclod Teorem 2.10 (P & W). Operções elemetres sobre s lihs de M ão lterm seu espço ds lihs. OBS: Operções elemetres sobre s lihs: - Permutção. - Multiplicção por um esclr c F, c 0. - Adição de um múltiplo de um lih um outr. OBS: Iverso de um operção elemetr é tmbém um operção lier d mesm espécie. DEF: Form côic esclod (echelo coicl form). Crcterístics: 1) Líder de lih ão zero é o elemeto 1. 2) A colu do líder tem todos os outros elemetos iguis 0. 3) O líder de um lih está à direit do líder ds lihs teriores. 4) Tods s lihs que têm somete zeros estão bixo bi ds lihs lih ão zero. Proprieddes ds mtrizes form côic esclod - As lihs ão zero são L.I. - Dim(espço ds lihs) = o de lihs ão zero d mtriz esclod. - Um úico espço de lihs um úic mtriz esclod. Espço Nulo de um Mtriz É o espço ulo do espço ds lihs d mtriz. Proprieddes do espço ulo: Um vetor v (-upl) está o espço ulo de um mtriz M, se e somete se: T v M = 0[1 m ] ode: M T = mtriz [ m], trspost de M; v = v1, v2,, [ 1 ] ( K v ). Teorem 2.15 (P & W): Se V 2 V 1 e Dim(V 1) = k Dim(V 2) = k ode, = Dim(V); V = espço vetoril de -upls. 6