0.2 Exercícios Objetivo. (c) (V)[ ](F)[ ] A segunda derivada de f é (4) x 0 2

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1 A segud derivd de f é f() = { < (4) Cálculo I List úmero 07 Logritmo e epoecil T. Prcio-Pereir Dep. de Computção Uiv. Estdul Vle do Acrú 3 de outubro de 00 pági d discipli Documeto produzido com L A TEX 0. Iformções 0.. Objetivo sis. op. Debi/Gu/Liu Est list vi lidr com fução y = f() = cuj itegrl ão pode ser clculd com o Teorem Fudmetl do Cálculo porque el ão tem um primitiv que poss ser epress em termos de outrs fuções cohecids. A primitiv de y = f() = é um ov fução, fução logritmo, úic form de clculr est itegrl é proimdmete. Você já cohece logritmo desde o Esio Médio porém metodologi usd qui é própri do Curso de Cálculo. É surpreedete qutidde de istrumetos teóricos que serão usdos pr tigir este objetivo: tudo que estudmos té gor. Cosidere est list um revisão d mteri tod. Você irá ecotrr mis iformções sobre Logritmo est pági d wikipedi Plvrs chve cálculo proimdo d itegrl, epoecil, fução ivers, itegrção proimd, logritmo. 0. Eercícios. Etededo cotiuidde A fução y = f() é defiid pels equções: { < 0 0 f() = 0 () () (V)[ ](F)[ ] A derivd de f é (b) (V)[ ](F)[ ] A derivd de f é { < 0 0 f() = 0 { < 0 0 f() = 0 () (3) A figur () pági, mostr os gráficos de f, f e f. f f Figur : Velocidde e celerção (e) (V)[ ](F)[ ] As fuções f,f são cotíus ms f ão é cotíu.. Proprieddes d fução f() = () (V)[ ](F)[ ] O domíio de f() = é o cojuto dos úmeros reis positivos. (b) (V)[ ](F)[ ] O domíio de f() = é o cojuto de todos os úmeros reis eceto o zero, R {0}. A derivd d fução f() = é positiv e el é um fução crescete. A derivd d fução f() = é egtiv e el é um fução decrescete. (e) (V)[ ](F)[ ] Pr grdes vlores de f() = é rbitrrimete peque e porisso dizemos que lim f() = 0. =± f

2 3. Gráfico d fução f() = () (V)[ ](F)[ ] A fução y = f() = é um fução pr, quer dizer, f( ) = f(). (b) (V)[ ](F)[ ] A fução y = f() = é um fução impr, quer dizer, f( ) = f(). Pr y = f() =, se > 0 etão f( ) = f() do que se pode deduzir que f([, )) = (0,]; Est firmção pode ser trduzid, geométricmete, dizedo-se que imgem d semiret [, ) se ecotr detro d fi [, ) (0,] O gráfico de f() = é o que prece figur () pági 3, 4. Itegrl d fução f() = Como ão temos ehum regr pr clculr itegrl dest fução, síd será clculá-l, proimdmete, por eemplo, com soms de Riem. Vmos descobrir proprieddes que permitirão um cálculo mis rápido. () (V)[ ](F)[ ] (b) (V)[ ](F)[ ] k(9/) 9 +k(9/) Se b > 0 podemos clculr b porque est relção correspode um itervlo [,b] (ou [b,]) sobre o qul f() = é cotíu. Um proimção pr b é f() = + k ; = b (e) (V)[ ](F)[ ] Os cálculos bio estão corretos. O símbolo := se lê fç, e serve pr redefiir um epressão usdo, evetulmete, um vlor terior d mesm (recursivmete). b 0 < < b; = b ; (5) +k = +k ; (6) / +k / := b/ = b/ = / = b ; I b/ +k / (7) = /; (8) +k ; (9) ; (0) Figur : gráfico de f() = feito à mão com fig (e) (V)[ ](F)[ ] fução f() = é cotíu em qulquer itervlo que ão coteh o zero. Coclusão: Observdo que o itervlo de itegrção prece o umerdor do cálculo do, posso cocluir que eperimete regr d potêci! b b/ = ;

3 posso ccelr o limite iferior os limites de itegrção dest itegrl. Est é um propriedde prticulr d itegrl d fução f() =. 5. Proprieddes d itegrl de f() = () (V)[ ](F)[ ] A itegrl d fução f() = o itervlo [,b] ;,b > 0 é igul itegrl d fução f() = o itervlo [,b/]. Por eemplo: = 0 = = 00 5 = 0 + = ; () = 5 + (b) (V)[ ](F)[ ] As cots seguites estão correts: 5 + ; () ; (3) 5000 = = ; (4) = ; (5) 0 = ; (6) ; (7) ; (8) 3 = 5 ; (9) = 5 (0) = b ;b > 0; () b = () (e) (V)[ ](F)[ ] c c = b;,b > 0; (3) b = + (4) b = b + (5) (6) N questão 5, lidmos com um ov fução, y = l(), defiid vi itegrl d fução f() =. Com otção pdrão de primitiv,f,f, posso escrever: derivd um primitiv y = f() = F (); F() = l() = l() = Notção: fução F() = l() = t ; t se chm logritmo turl. Neste mometo, úic form de clculr o logritmo é usdo soms de Riem, em Cálculo Numérico você irá estudr métodos mis eficietes. Relembrdo lgums defiições: b b f();f() = ;,b > 0; (7) f() f( + k ) (8) Os progrms eer07 05.clc, eer07 05.guplot, que podem ser bidos do lik progrms d pági, clculm os vlores de l(c) pr qulquer úmero que você escolher, proimdmete, usdo soms de Riem. Obvimete, é importte clculr os logritmos dos ftores primos de úmeros iteiros: vlor proimdo do l() --> vlor proimdo do l(3) --> vlor proimdo do l(6) --> l() + l(3) = l(6) = Ao fil d list você ecotr um tbel de logritmos, 0. clculd, e editd em L A TEX, usdo um progrm escrito em clc.

4 6. Propriedde do logritmo turl () (V)[ ](F)[ ] Domíio de y = l() é ret estritmete positiv, quer dizer, ão podemos clculr itegrl pr 0. (b) (V)[ ](F)[ ] Se,b > 0 etão y = l() l(b) = b t = t + b t = l() + l(b); c l(c) = = /c c = l(c) = 0; c < l(c) < 0; c > l(c) > 0; /c = (9) = l(/c); (30) l(/b) = l() l(b) (e) (V)[ ](F)[ ] y = l() = etão y = l () =, é sempre positiv, ssim, y = l() é um fuço crescete, egtiv o itervlo (0, ], positiv o itervlo [, ) tl que l() = 0 etão o seu gráfico é o que se ecotr figur (3) pági 8, 7. Proprieddes d ivers do logritmo y = e () (V)[ ](F)[ ] Como y = l() é um fução estritmete crescete, etão é bijetiv e tem ivers. Notção ivers de y = l() é y = e e seu gráfico pode ser obtido por rebtimeto em toro d primeir bisetriz do gráfico figur (3). O resultdo é o gráfico figur (4) pági 9, (b) (V)[ ](F)[ ] Como l(b) = l() + l(b) etão e b = e + e b. Como l(b) = l() + l(b) etão e +b = e e b. Como l() = 0 etão e 0 = ; o domíio d epoecil é R; e o seu cojuto de vlores é R ++ ; ep : R R ++ e > 0 pr todo R; e = e ; Figur 3: gráfico feito à mão, com fig, de y = l() (e) (V)[ ](F)[ ] Derivd d epoecil Como y = f() = ep() e = g(y) = l(y) é um pr de fuções iverss etão f(g(y)) = [f(g(y))] = f (g(y))g (y) = (3) f (g(y)) = g (y) = = y = ep() y (3) f () = ep() = f() (33) Coclusão: epoecil, y = e é úic fução cuj derivd é el mesm: [e ] = e. d eα = αe α e l() = ;e l() = e l() = ; e i = cos() + isi() d ei = ie i = si() + icos() (34) 8. Desevovimetos de Tylor - McLuri Tods s derivds de y = e, origem, são iguis. Usdo otção de Leibiz d e =0 = pr qulquer que sej N.

5 y = e y = l() Figur 4: gráficos feitos á mão, com fig, d Epoecil e do logritmo É possível escrevermos o desevolvimeto de Tylor de qulquer ordem pr y = e origem, um vez que sbemos que tods s sus derivds vlem ese poto: () (V)[ ](F)[ ] (b) (V)[ ](F)[ ] e e ! +! e e ! +! (e) (V)[ ](F)[ ] e ! + + 7! = log

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