Exemplo: y 3, já que sen 2 e log A matriz nula m n, indicada por O m n é tal que a ij 0, i {1, 2, 3,..., m} e j {1, 2, 3,..., n}.

Transcrição

1 Mrzes Mrz rel Defnção Sem m e n dos números neros Um mrz rel de ordem m n é um conuno de mn números res, dsrbuídos em m lnhs e n coluns, formndo um bel que se ndc em gerl por 9 Eemplo: A mrz A é um mrz rel Logo, A M (R) Iguldde de mrzes Observções: O) Cd um dos números res de um mrz A ( ) m n é chmdo elemeno, enrd ou ermo d mrz A O ermo é o ermo gerl de A O) Se A ( ) m n é um mrz, enão: A é chmd mrz qudrd de ordem n se, e somene se, m n A é chmd mrz rengulr se, e somene se, m n A é chmd mrz lnh se, e somene se, m e mrz colun se, e somene se, n O) Indcremos por M m n (R) o conuno ds mrzes res de ordem m n e por M n (R) o conuno ds mrzes res qudrds de ordem n O) Um mrz de ordem, ( ), se denfc com o número rel O) As mrzes em gerl são ndcds pels lers músculs do nosso lfbeo O) Se A um mrz qudrd de ordem n, enão defnmos: dgonl prncpl de A: é seqüênc de ermos d mrz A que presenm mesmo índce, ou se, ( ) (,,,, nn ); dgonl secundár de A: é seqüênc de ermos d mrz A s que som de seus índces é gul n, ou se, ( n ) (, n,, n,, n,, n, ) Defnção Sem A ( ) m n e B (b ) m n dus mrzes res Dz-se que s mrzes A e B são gus, e escreve-se A B, se, e somene se, b, {,,,, m} e {,,,, n} Eemplo:, á que sen e log Algums mrzes especs Mrz nul e A mrz nul m n, ndcd por O m n é l que, {,,,, m} e {,,,, n} Eemplos: ) (mrz nul de ordem ) b) O (mrz nul de ordem ) Mrz dendde A mrz dendde de ordem n, ndcd por I n ( ), é l que Eemplos:, se, se ) I ( ) (mrz dendde de ordem ) b) I (mrz dendde de ordem )

2 c) I (mrz dendde de ordem ) Mrz dgonl, rngulr superor e rngulr nferor A é um mrz dgonl se, e somene se,, qundo A é um mrz rngulr superor se, e somene se,, qundo A é um mrz rngulr nferor se, e somene se,, qundo Observção: Podemos enender mrz dgonl como um mrz rngulr superor e nferor Mrz rnspos Defnção Se A ( ) M m n (R) A mrz rnspos de A, ndcd por A (ou A ), é mrz n m A ( b ), onde b, {,,,, n} e {,,,, m} Em ours plvrs, denomnmos mrz rnspos de A à mrz n m cus coluns concdem ordendmene com s lnhs de A Eemplo: Se A, enão A Operções com mrzes Adção Sem A ( ) m n e B (b ) m n dus mrzes qusquer Indcremos por A B e chmremos som de A com B à mrz m n cuo ermo gerl é b, so é: A B m b b b m m b b b m n n mn b b b n n mn mn Eemplo: Sendo A emos b A B b e B, Mulplcção por esclr (mulplcção de um mrz por um número) Ddos mrz A ( ) m n e um número rel, o produo ndcdo por A, é mrz m n cuo ermo gerl é, so é: n n A m m mn mn A operção (função) : R M m n (R) M m n(r) que cd pr (, A) ssoc mrz A chm-se mulplcção por esclr Eemplo: Se A c e b A A c d e f Subrção f b d e, eremos Se A, B M m n (R), enão defnmos: A B A ( B) Em ours plvrs, defnmos dferenç enre s mrzes res A e B, mbs de ordem m n, como sendo som d mrz A com mrz opos de B Mulplcção de mrzes Consderemos s mrzes A ( ) m n e B (b k ) n O produo de A por B, ndcdo por AB é mrz m cuo ermo gerl é c k, onde: n ck b k bk b k n bnk A operção (função) : M m n (R) M m n (R) M m n (R) que cd pr de mrzes (A, B) ssoc mrz A B chm-se dção de mrzes A operção (função) : M m n (R) M m n (R) M m n (R) que cd pr de mrzes (A, B) ssoc mrz AB é chmd mulplcção de mrzes

3 Observções: ) Se A ( ) m n e B (b ) k, enão o produo AB ese se, e somene se, n (so é, o número de coluns d mrz à esquerd deve ser gul o número de lnhs d mrz à dre) b) Se A e B, emos: A B e B A (verfque!) Dqu segue que esem mrzes A e B s que A B B A Em ours plvrs, mulplcção ed mrzes não é um operção comuv Se A e B são dus mrzes s que A B B A, enão dremos que s mrzes A e B comum ou nd, que A e B são comuáves Propreddes Suponhmos que s mrzes A ( ), B (b ) e C (c ) são s que s operções bo esem defnds e que, R Enão vlem s segunes propreddes: I) ( A B) C A ( B C), so é, dção de mrzes é ssocv II) A B B A, so é, dção de mrzes é comuv III) Ese um mrz O M m n (R) l que A O O A A, A M m n (R), so é, dção de mrzes dme elemeno neuro e é clro que ese elemeno é mrz nul IV) Pr od mrz A M m n (R), ese um mrz ndcd por A, mbém de ordem m n, chmd mrz opos de A, l que A ( A) ( A) A O (esênc de oposo) V) ( A ) A e ( A) A VI) ( A B) A B VII) ( A) ( A) ( ) A VIII) ( ) A A A IX) ( A B) A B X) A A XI) ( A B) C A( B C), so é, mulplcção de mrzes é ssocv XII) ( A B) B A (cuddo com ordem, pos mulplcção de mrzes não é comuv) XIII) ) A( B C) A B A C, so é, mulplcção de mrzes é dsrbuv à esquerd em relção à dção de mrzes b) ( B C) A B A C A, so é, mulplcção de mrzes é dsrbuv à dre em relção à dção de mrzes Sendo ssm, concluímos que operção de mulplcção de mrzes é dsrbuv em relção à operção de dção de mrzes XIV) A In Im A A, pr od mrz A ( ) m n (elemeno neuro d mulplcção de mrzes) XV) A) B A( B) ( A ) ( B XVI) AO n O m e O pm A O pn, pr od mrz A ( ) m n EXERCÍCIOS PROPOSTOS A som de odos os elemenos d mrz A ( ),, defnd por, é gul : A) B) C) D) E) Se mrz é smérc, enão o vlor de + é: A) B) C) D) E) Se um mrz qudrd A é l que A A el é chmd nssmérc Sbe-se que M é nssmérc e, M b b c c Os ermos, e d mrz M vlem respecvmene: A), e D), e B), e E) NDA C), e Se P e Q, mrz rnspos de P Q é: A) B) C) D) E)

4 Dds s mrzes: A z w, B w e C e z w sendo A B C, enão A) z w D) z w B) z w E) z w C) z w Consdere s mrzes A e B A som dos elemenos d prmer lnh de AB é: A) B) C) D) E) Se A é mrz e B um mrz n m, enão: A) ese A B se, e somene se, n e m B) ese AB se, e somene se, n e m C) ese AB e BA se, e somene se, n e m D) esem, gus, A + B e B + A se, e somene se, A = B E) esem, gus, AB e BA se, e somene se, A = B Consdere s mrzes: ) A ( ),, defnd por ; ) B (b ),, defnd por b ; ) C (c ), C A B O elemeno c é: A) B) C) D) E) 9 Consdere s mrzes: ) A ( ),, defnd por ; ) B (b ), 9, defnd por b ; ) C (c ), O elemeno c A) B) C) 9 D) E) não ese cos Se A sen A) B) C) o o sen cos o o,enão (AA) é D) E) Se M e N, enão MN NM é: A) B) C) D) E) Se A, enão A A I, onde I, é gul : A) D) B) E) C) Se mrz A é gul, enão mrz ( A ) é gul : A) B) C) 9 D) E) São dds s mrzes A ( ) e B (b ), qudrds de ordem com e b Se C A B, enão A) B) C) D) E) C é gul :

5 Mulplcndo obemos b O produo dos elemenos e b d prmer mrz é: A) B) C) D) E) b Sem A e B mr- zes s que A B, enão e b vlem, respecvmene: A) e B) e C) e D) e E) e Dds s mrzes: A e B, podemos verfcr que guldde AB BA: A) é váld B) é váld se C) é váld se D) é váld só pr E) não se verfc pr nenhum vlor de O vlor de pr que o produo ds mrzes A e B se um mrz smérc é: A) B) C) D) E) 9 Se A e B são mrzes s que A e B Enão mrz Y A B será nul pr: A) B) C) D) E) Se um número rel Se s mrzes A, B e C são escolhds enre s lsds bo: ( ),,, e se AB C é um mrz nul, enão é gul A) B) C) D) E) Dds s mrzes: A e B A mrz X l que X AX B em como som de seus elemenos o vlor A) B) C) D) E) Se A, um mrz colun X, l que AX X, é: A) B) C) D) E) Se A, B e C, enão mrz A B C é gul : A) D) B) C) E) Dd mrz A ( mn ), onde mn nm som de odos os elemenos que compõe mrz A é gul : A) B) C) 9 D) E) Se A e B são mrzes de po, qul ds segunes operções não pode ser efeud? A) A B B) A B C) ( A B) B D) B A E) AB A mrz X, l que AX B, onde: A e B, é: A) X D) X B) X E) X C) X,

6 Sem s mrzes A, B e C A guldde A B C é verdder se: A) D) B) E) C) A e B,clculr AB A) B) C) D) E) Sbendo que, o vlor de z w z é: A) B) C) D) E) 9 Sem s mrzes M p e T q Se MT é mrz nul, enão pq é gul : A) B) C) D) E) nd Dd equção mrcl:, z o vlor do produo z é gul : A) B) C) D) E) M, N e P são mrzes que ssfzem guldde: M N P ; logo, é: A) B) C) D) E) Sbe-se que s ordens ds mrzes A, B e C são, respecvmene, r, s e Se mrz ( A B) C é de ordem, enão r s é gul : A) B) C) D) E) Ache D A) B) C) D) E) [ ] Dds s mrzes A e B, conclu-se que mrz: A) AB é nul D) BA é não nul B) A é nul E) B é nul C) A B é nul Dds s mrzes A e B, enão AB BA é gul : A) B) C) 9 D) E) Assnle proposção verdder: o produo d mrz pel mrz é comuvo se: A) e B) e C) e pr odo R D) e pr odo R E) e São mrzes respecvmene smérc e rnspos de : A) e B) e C) e D) e E) e

7 9 De um mrz qudrd M, pode-se err um ol de mrzes de ordem O número de coluns d mrz M é: A) B) C) D) E) 9 A mrz opos d mrz, defnd por,, é: A) D) B) E) C) Dd equção mrcl B AX, onde A e B, mrz X será: A) D) B) E) C) Se d c b, os vlores de, b, c e d, ness ordem, são: A),, e C),, e B),, e D),, e Se A um mrz de ordem m n e B um mrz de ordem r s Pr que o produo A B es é necessáro que: A) r m B) r n C) s m D) s n E) r m O produo mrcl AB, onde A e B vle: A) 9 B) C) 9 D) 9 E) 9 Se A é um mrz do po e AB é do po, enão B é um mrz do po: A) B) C) D) Se A, B e C e C B A, enão log é: A) B) C) D) não ese E) O ssem em represenção mrcl: A) D) B) E) C) Dd mrz A ( ) l que: se cos se sen enão A é mrz: A) D) B) E) C) 9 Se A, B e X, deermne X, l que B AX A) B) C) D) E) A mrz rnspos d mrz qudrd A () de ordem com,,, é: A) B) C) D) E)

8 Dd mrz A, mrz B, l que AB I, sendo I, vle: A) D) B) C) E) Sendo A, B e A mrz rnspos de A, enão o vlor de A B é: A) D) B) E) C) Se C [c ] é som ds mrzes A e B, pode-se frmr que c é gul : A) B) C) D) E) nd Se, enão mrz b é: b A) B) C) D) E) Se A é um mrz qudrd de ordem e rnspos, enão A, l que A A, vle: A) D) B) C) E) A su Gbro C A B C B E B E B C A E B 9 E A 9 A B A B C E B B B C B C B C D C C 9 E C 9 A A A E D E A B E C C B A D B B 9 D A C C D