PARTE I. Figura Adição de dois vetores: C = A + B.

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1 1 PRTE I FUNDENTS D ESTÁTIC VETRIL estudo d estátc dos corpos rígdos requer plcção de operções com vetores. Estes entes mtemátcos são defndos pr representr s grndes físcs que se comportm dferentemente ds grndes esclres. Ests operm como números res, enqunto que s grndes vetors são dependentes tmbém d dreção ret suporte e sentdo em que tum. 1.1 REGR D PRLELGR Tods s grndes vetors têm su regr de dção bsed no prncípo do prlelogrmo. Este prncípo, cu orgem se dá em ftos eperments, estbelece que som de dos vetores corresponde à dgonl do prlelogrmo que tem por ldos os vetores prcels, procedmento mostrdo n Fgur 1.1. // + = C // θ Fgur dção de dos vetores: C = +. Portnto, s crcterístcs do vetor-som C = + podem ser obtds utlndo s relções geométrcs de um trângulo qulquer, conforme mostrdo n Fgur 1..

2 C Fgur 1. - dção dos vetores e. Representndo os módulos dos vetores, e C, respectvmente por, b e c, podemos obter s crcterístcs do vetor som trvés ds les do cosseno e do seno: c b bcos b bcos e sen sen sen sen b c c trvés do prncípo do prlelogrmo podemos conclur que DECPSIÇÃ DE VETRES Ddo um vetor, dese-se relr su decomposção em componentes, sto é, em prcels cu som se gul o própro vetor. Há nfnts decomposções possíves pr um ddo vetor. Pr que decomposção se defnd e únc devemos procurr o número mínmo de prcels que fem composção. No plno decomposção de um vetor é únc, dds dus dreções lnermente ndependentes. bservem os resultdos n Fgur 1.3 pr dus dreções qusquer e n Fgur 1.4 pr dus dreções ortogons.

3 3 v // u v // v u u Fgur Componentes do vetor ns dreções u e v: u + v =. Frequentemente é convenente trblhr com componentes em dreções ortogons ou crtesns, qundo s relções gers em trângulos se smplfcm. // // Fgur Componentes ortogons do vetor : + =. No cso d decomposção espcl de um ddo vetor, são necessárs três dreções lnermente ndependentes pr que decomposção se únc. Est decomposção pode ser obtd em componentes não ortogons ou ortogons, trvés de dus decomposções plns, conforme se mostr ns Fgurs 1.5 e 1.6. trvés de dus decomposções plns uv e uv w obtemos u v decomposção espcl em dreções qusquer. Com dus u v w decomposções plns e, obtemos decomposção espcl em componentes ortogons.

4 4 w //u //v v w //w uv v u u Fgur Componentes do vetor ns dreções u, v e w. // // // Fgur Componentes ortogons do vetor, ns dreções, e. 1.3 VETRES N SISTE CRTESIN escolh do sstem de proeção ou decomposção é fet de form fcltr s operções mtemátcs com grndes vetors. Por est rão, o sstem de coordends ortogons é convenente e será o ms utldo. Ddo um vetor pode-se decompô-lo em três coordends ortogons, conforme vsto no tem nteror. bservemos que decomposção espcl equvle dus decomposções ortogons no plno.

5 5 Fgur Componentes crtesns do vetor. Conforme vsto no tem nteror, podemos escrever som de componentes mostrds n Fgur 1.7 como 1.1 gor vmos defnr o versor u como o vetor untáro que tem mesm dreção do vetor. seu vlor é clculdo dvdndo o vetor por seu módulo u 1. módulo do vetor é ddo por 1.3 Portnto o vetor pode ser ddo por u 1.4

6 6 Vmos gor defnr como versores ds dreções, e os vetores untáros ns dreções postvs destes eos, ndcdos respectvmente por, e, ver Fgur 1.7. ssm, s componentes de um vetor podem ser escrts como u u 1.5 u nde, e, são s ntensddes ds componentes, postvs se tem o mesmo sentdo do versor e negtvs em cso contráro. Logo, o vetor pode ser escrto em coordends crtesns como 1.6 dreção deste vetor é dd pelos ângulos dretores, cuos cossenos são: cos cos cos 1.7 ou cos cos cos 1.8 Fgur Ângulos dretores do vetor.

7 7 Substtundo 1.8 em 1.6 obtemos fclmente ou cos cos cos 1.9 cos cos cos 1.10 Comprndo 1.10 com 1.4, obtemos u cos cos cos 1.11 Como u 1, concluímos que cos cos cos DIÇÃ DE VETRES N SISTE CRTESIN Sem ddos dos vetores e no sstem crtesno, Su som ou resultnte R é dd por R ou R Portnto, som de n vetores sendo = 1,,, n, pode ser escrt como R n 1 n 1 n n

8 8 1.5 VETR PSIÇÃ Defne-se o vetor posção de um ponto P,, o vetor r ddo por r 1.17 r P,, Fgur Vetor posção r. Sem dos pontos qusquer e, mostrdos n Fgur 1.10, os seus vetores posção são ddos por r e r 1.18 Podemos escrever o vetor posção que v de té prtr dos vetores posção de e. bservndo Fgur 1.10 obtemos som Logo r r r 1.19 r r r 1.0 vetor r é ndcdo às vees como o vetor do ponto em relção o ponto.

9 9 r r r Fgur Vetor posção de em relção : r. vetor untáro d dreção, de pr, será ddo por: r u 1.1 r bserve-se que u = - u. 1.6 PRDUT ESCLR Defne-se o produto esclr entre dos vetores e como quntdde esclr c, tl que c cos Fgur Vetores e.

10 10 prtr dest defnção podemos observr que est operção stsf s seguntes propreddes: 1 Β C C 3 produto esclr entre dos vetores e em coordends crtesns, n form gerl, é ddo por: C 1.3 ou 1.4 Usndo defnção de produto esclr, conclu-se que Usndo os resultdos ddos em 1.5, o produto esclr 1.4 fc gul 1.6 Um ds plcções mportntes do produto esclr é su utlção pr determnr o ângulo entre dos vetores, usndo defnção d em 1.. utr plcção tmbém bstnte utld é obtenção d proeção ortogonl de um vetor num dd dreção. Neste cso um dos vetores do produto 1. é o vetor cu proeção dese-se obter e o outro vetor é o versor d dreção ndcd.

11 PRDUT VETRIL Sem ddos dos vetores e. Defne-se o produto vetorl de por o vetor C, ndcdo por tl que C 1.7 C sen dreção do vetor C é dd pelo vetor untáro u C, norml o plno que contém e, segundo regr d mão dret de pr, ou se C C 1.9 u C C θ Fgur Produto vetorl: C =. Portnto, s crcterístcs do vetor C são dds por: - módulo do vetor C ddo por C sen onde é o ângulo entre os vetores e, e - dreção dd pelo versor u C, perpendculr o plno de e, ddo pel regr d mão dret, conforme Fgur 1.1. prtr d defnção de produto vetorl pode-se conclur que: 1 3 C C

12 1 Sem os vetores e escrtos em sus componentes crtesns 1.30 produto vetorl de por será ddo por 1.31 ou 1.3 Usndo defnção de produto vetorl obtém-se os seguntes resultdos plcndo estes produtos de versores 1.33 em 1.3 obtemos 1.34 Este resultdo tmbém pode ser obtdo prtr do segunte determnnte C 1.35 cuo resultdo é dêntco à 1.34, obtdo pel defnção do produto vetorl.

13 ENT DE U FRÇ E RELÇÃ U PNT Vmos defnr grnde vetorl denomnd momento de um forç em relção um ponto. Sem ddos um forç F e um ponto. momento dest forç em relção um ponto é defndo por r F 1.36 onde r é o vetor posção de um ponto qulquer d ret suporte d forç F em relção o ponto. d r θ F Fgur omento de um forç F em relção o ponto. Pel defnção de produto vetorl, este momento tem s seguntes propreddes: - módulo do momento: r F sen - : o ângulo entre os vetores r e F - dreção do momento: u norml o plno de r e F, segundo regr d mão dret, conforme mostr Fgur Podemos conclur prtr d defnção do módulo do momento que F r sen F d 1.37 onde d é dstânc d ret suporte d forç F o ponto.

14 ENT DE U FRÇ E RELÇÃ U EIX Vmos defnr grnde vetorl denomnd momento de um forç em relção um eo. Sem ddos um eo e um forç F. Sem F e F b componentes ortogons de F, onde F é componente prlel o eo. momento dest forç em relção o eo é defndo por u F d u 1.38 b trvés d Fgur 1.14 podemos observr como são obtds s componentes F e F b d forç F e dstânc d entre ret suporte d forç F e o eo. d F F F b b Fgur omento de um forç F em relção o eo. Este cálculo nem sempre é fácl trvés d geometr. Podemos verfcr que clculndo o momento de F em relção um ponto P qulquer do eo : P r F 1.39 Fendo proeção deste momento neste eo obtemos P u r F u r F u r F u 1.40 b vetor r F é perpendculr o versor u. Logo P u r F u u r F 1.41 b b

15 15 De 1.40 e 1.41 conclu-se que P u r F u F d 1.4 b b Portnto, prtr de 1.38, 1.40 e 1.4 obtemos 1.43 u P u u bservemos que proeção do momento P sobre o eo, equção 1.40, pode ser clculd fclmente trvés do determnnte P u F u u u r F r r r 1.44 F u F Sem dos pontos qusquer e pertencentes o eo, conforme mostr Fgur Vmos mostrr que s proeções sobre o eo dos momentos em relção os pontos e são gus. r r r F Fgur Propredde do momento de um forç F em relção o eo. proeção do momento d forç F em relção o ponto é dd por u r F u [ r r F] u 1.45

16 16 onde r r r, conforme mostr Fgur Então u r F u r F u u 1.46 um ve que r F u u r F 0. ssm, est propredde pode ser útl PQ PQ no cálculo do momento d forç F em relção um ddo eo, um ve que permte escolh de um ponto P qulquer sobre este eo ENT DE U INÁRI sstem de forçs mostrdo n Fgur 1.16 é um denomndo bnáro se ests forçs são prlels, de mesmo módulo e com sentdos contráros, F F Clculndo o momento resultnte dests dus forçs em relção um ponto P qulquer obtemos P r F r F F r F 1 r r 1 Fgur omento de um bnáro. P Sendo um bnáro com F1 F e F F, podemos escrever ou P r1 F r F r1 r F 1.49 P r F 1.50

17 Concluímos então que o momento do bnáro não depende do ponto P tomdo pr o cálculo dos momentos de cd um de sus forçs. Logo 17 r F 1.51 momento do bnáro tem s seguntes crcterístcs F d é o módulo do momento do bnáro, onde d é dstânc entre s rets suportes ds forçs do bnáro. dreção do momento é perpendculr o plno que contém F 1 e F, com sentdo ddo pel regr d mão dret, ver Fgur F F 1 Fgur Dreção do vetor do momento de um bnáro SISTES EQUIVLENTES - DEFINIÇÃ Se um corpo rígdo com várs forçs e bnáros ele plcdos. forç resultnte é dd por n F 1.5 R F 1 e o momento resultnte em relção um ponto é ddo por, n 1 m R R, F R r F

18 18 1 F 1 m r 1 F F n r n r Fgur Forçs e bnáros plcdos um corpo rígdo. Dos sstems de forçs e bnáros são dtos equvlentes qundo mbos têm mesm forç resultnte e o mesmo momento em relção qulquer ponto. É fácl observr que um sstem de forçs e bnáros possu nfntos sstems equvlentes. Entre estes nfntos sstems equvlentes, o sstem mostrdo n Fgur 1.18 tem um sstem equvlente prtculr composto por um forç F E plcd no ponto gul à F R, dd por 1.5, e por um bnáro de momento E gul à R, ddo por É um sstem equvlente redudo composto por um forç e um bnáro, conforme mostr Fgur Neste sstem o bnáro plcdo o corpo rígdo é um vetor lvre. Por outro ldo o seu vlor, ddo pelo momento resultnte clculdo por 1.53, depende do ponto de referênc escolhdo onde está plcd forç equvlente F E. E F E Fgur Sstem equvlente redudo.

19 SISTES EQUIVLENTES U FRÇ PLICD Vmos tomr um corpo com um forç F plcd no ponto P. Desemos encontrr o sstem mínmo equvlente num ponto. que femos é crescentr o sstem ncl dus forçs cu resultnte é nul. Se este novo sstem, equvlente o prmero, formdo por três forçs: F, F 1 = F e F = -F. Como podemos fclmente observr n Fgur 1.0, teremos um sstem equvlente redudo que corresponde um trnslção de F de P pr. P F P F P F 1 = F F F = -F Fgur Sstems equvlentes qundo está n lnh de ção de F. = r F P F F 1 = F P F F 1 = F r P F = -F Fgur Sstems equvlentes qundo não está n lnh de ção de F.

20 0 Vmos nlsr gor os sstems equvlente mostrdos n Fgur 1.1. prmero sstem equvlente o ncl, ddo por um forç F plcd em P, é obtdo crescentndo dus forçs cu resultnte é nul. Se este sstem formdo pels três forçs: F, F 1 =F e F = -F. Como podemos fclmente observr, é possível obter um sstem equvlente fnl que corresponde um trnslção de F de P pr e um bnáro formdo por F e F = -F. Este bnáro tem momento ndcdo por, de vlor r F, cu dreção é perpendculr à forç F. ssm pode-se conclur que qundo um sstem qulquer de forçs e bnáros pode ser redudo um sstem equvlente com um forç e um bnáro, perpendculres entre s, este sstem poderá nd ser redudo um ún c forç, conforme mostrdo n Fgur SISTES EQUIVLENTES - VÁRIS FRÇS E INÁRIS PLICDS sstem resultnte em equvlente o sstem formdo pelo conunto de n forçs e m bnáros, mostrdo n Fgur 1., é obtdo usndo o procedmento mostrdo n Fgur 1.1 pr cd um ds n forçs. resultdo fnl corresponde um sstem equvlente um forç gul 1.5 plcd em e um bnáro gul 1.53, ou se: n F e E r F 1.54 E F 1 n 1 m 1 1 F 1 m E r n r 1 r F F E F n Fgur 1. - Sstem equvlente em.

21 REDUÇÃ DE SISTES EQUIVLENTES FRÇ E INÁRI PERPENDICULRES Vmos nlsr um stução onde o sstem equvlente ddo por 1.54 é tl que os vetores de forç F E e do momento do bnáro E são perpendculres entre s. Neste cso é possível sempre encontrr outro sstem equvlente num ponto G cuo bnáro EG é nulo e, portnto, um sstem equvlente com um forç gul à resultnte F E plcd no ponto Q. Há um eceção óbv, qundo forç resultnte F E é nul. Neste cso não este tl ponto Q e o sstem orgnl se redu um sstem equvlente um bnáro, ou se, se red u dus forçs. E E F E F E r Q r -F E Q F E Fgur Sstem equvlente com um forç em Q. Neste cso o ponto Q deve ser obtdo de tl mner que r F EQ E E ou se r F E E Pr os sstems plnos de forçs, condção de perpendculrdde entre forç F E e o momento do bnáro E sempre é observd, desde que F E não se nul. Qundo forç resultnte é nul o sstem plno se redu um bnáro, ou se, um pr de forçs de mesm ntensdde, dreções prlels e sentdos contráros. bservemos que pr um sstem de n forçs, no qul tods s forçs são concorrentes num únco ponto P, o sstem equvlente neste ponto é redudo um únc forç, gul à resultnte de tods s forçs plcds.

22 1.15 REDUÇÃ DE SISTES EQUIVLENTES FRÇ E INÁRI NÃ PERPENDICULRES Se um sstem qulquer de forçs e bnáros qusquer, conforme mostrdo n Fgur 1.1. Podemos obter o sstem equvlente em F E e E em. Se tomrmos gor s proeções do momento equvlente E ns dreções prlel e perpendculr à forç F E, EL e EP respectvmente, obtemos o segundo sstem equvlente mostrdo n Fgur 1.4. E E F E EP F E r Q EL Q Fgur Sstem equvlente em - componentes de E. plcndo 1.56 pr forç F E e componente EP, perpendculres entre s, com r o vetor posção de em relção Q, r F EP E obtém-se um sstem equvlente redudo gul um forç F E e um momento do bnáro EL, prlelos entre s, ver Fgur 1.5. Neste cso é usul se der que o sstem fo redudo um forç e um torsor, nomencltur ndequd, pos pode-se confundr com o esforço nterno denomndo momento torsor, que será vsto em cpítulo posteror. F E Q EL Fgur Sstem equvlente em Q - forç e torsor.

23 SISTES EQUIVLENTES CRGS DISTRIUÍDS té qu s forçs form consderds um grnde vetorl de ção pontul, sto é, plcds num determndo ponto do corpo rígdo. De fto, ests forçs são modelos mtemátcos ds forçs res, que tum de form dstrbuíd o longo de um superfíce ou que correspondem à ção de cmpos que tum sobre o volume todo de um corpo. Vmos consderr qu s dstrbuções de crg sobre superfíces. ção de ventos, escomentos de fluídos ou mesmo peso de mters suportdos por superfíces são modelds trvés d grnde pressão p, que tem unddes de forç sobre áre, por eemplo, N/m ou lb/ft. Em muts plcções de elementos estruturs lneres, com espessur constnte e, est grnde é substtuíd pel grnde forç dstrbuíd w, que corresponde w pe 1.58 cus unddes são, por eemplo, N/m ou lb/ft. Se um forç dstrbuíd w, conforme mostr Fgur 1.6. w = p e df = wd d d L Fgur Crg dstrbuíd w e concentrd df = wd. Pelo que fo vsto sobre sstems equvlentes, forç equvlente este sstem de forç dstrbuíd é resultnte d forç dstrbuíd. Est resultnte é dd pel som de tods s forçs prlels elementres df plcds o longo de. resultdo dest som é gul : L E 0 F w d 1.59

24 4 Pr se encontrr o sstem equvlente num ponto qulquer, por eemplo no ponto, lém d forç resultnte precsmos plcr condção de momento equvlente. Clculndo o momento d forç df em relção à, obtemos d E df w d 1.60 Portnto, o momento equvlente em é gul à som de todos os momentos elementres d E, cuo resultdo é L E 0 w d 1.61 w F E E Fgur Forç dstrbuíd w e sstem equvlente em. ssm, o sstem equvlente no ponto é quele mostrdo n Fgur 1.7. Como F E e E são perpendculres entre s, podemos encontrr posção C de outro sstem equvlente n qul o momento equvlente se nulo. Neste cso forç equvlente F E se loclrá num posção, ver Fgur 1.8, tl que EC F E E C ou E C 1.63 FE F E F E E C C Fgur Sstems equvlentes em e no centro C d dstrbução.