8/6/2007. Dados os conjuntos: A={0,1} e B={a,b,c},

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1 8/6/7 Orgnizção Aul elções clássics e relções Fuzz Prof. Dr. Alendre d ilv imões Produto Crtesino elções Crisp Produto crtesino Forç d relção Crdinlidde Operções em relções Crisp Proprieddes de relções Crisp Composição elções Fuzz Produto crtesino Forç d relção Crdinlidde Operções em relções Fuzz Proprieddes de relções Fuzz Composição Prof. Dr. Alendre d ilv imões Prof. Dr. Alendre d ilv imões Produto crtesino r-tupl ordend: seqüênci ordend de r elementos (,,..., r ) O produto crtesino A A... A r pr os conjuntos crisp A,A,..., A r é ddo pelo conjunto de tods s r- tupls (,,..., r ), onde: A, A,..., r A r Produto crtesino Ddos os conjuntos: A{,} e B{,,c}, os possíveis produtos crtesinos são: AB{(,), (,), (,c), (,), (,), (,c)} BA{(,), (,), (,), (,), (c,), (c,)} AAA {(,), (,), (,), (,)} BBB {(,), (,), (,c), (,), (,), (,c), (c,), (c,), (c,c)} Prof. Dr. Alendre d ilv imões Prof. Dr. Alendre d ilv imões

2 8/6/7 elções crisp Um suconjunto do produto crtesino A A...A r é chmdo relção r-ári sore A,A,..., A r Pr r (dois conjuntos), relção que é suconjunto do produto crtesino A A é denomind relção inári de A em A O termo relção será usdo genericmente dqui em dinte referindo-se um relção inári Y {,(,,(,,(,,(,,(, } relções Y Prof. Dr. Alendre d ilv imões 5 Forç d relção Forç d relção: mpemento de pres ordendos do universo pr s funções crcterístics ( relção complet ) Y ) ( nenhum relção) Qundo o universo (ou conjuntos) são finitos, relção pode ser representd pel mtriz de relção (io). elções ináris podem ser representds por mtrizes idimensionis Eemplo: ejm os elementos nos dois universos definidos por {,,} e Y{,,c}. A mtriz de relção correspondente os pres de mpemento n relção são: c e todo elemento em está relciondo todo elemento em Y, então relção é dit relção ilimitd. Prof. Dr. Alendre d ilv imões 6 elções limitds Um relção crisp mis gerl eiste qundo o mpemento entre elementos em dois universos é limitdo A função crcterístic mntém-se inlterd:,, Eemplo: Em muitos modelos iológicos, memros de um cert espécie podem reproduzir pens com certos memros de outrs espécies. Dest form, pens lguns elementos de dois ou mis universos têm um relção no produto crtesino. {,} e Y{,} Y {(, ),(. )} Y Prof. Dr. Alendre d ilv imões 7 Crdinlidde de conjuntos crisp Crdinlidde: número totl de elementos em um universo e crdinlidde de é n e crdinlidde de Y é n, então crdinlidde d relção é n Y n.n Eemplo: n, n, n Y 6 Y Y {,(,,(,,(,,(,,(, )} 6 Prof. Dr. Alendre d ilv imões 8

3 8/6/7 Operções sore relções crisp ejm e dus relções seprds no universo Crtesino Y e sejm relção nul e relção complet dds respectivmente pels mtrizes: L L O M O M E M O M L L As operções sore s dus relções crisp podem ser definids: (, ) : (, ) m [ (, ), (, ) ] : min[, ] : : O e E Prof. Dr. Alendre d ilv imões 9 Operções sore relções crisp ejm s relções: A B A B Teremos: Os: proprieddes de comuttividde, ssocitividde, distriutividde, involução, idempotênci e De Morgn são preservds em relções crisp. Prof. Dr. Alendre d ilv imões Composição ej um relção que mpei elementos de um universo pr o universo Y, e sej um relção que mpei elementos de um universo Y pr um universo Z Y Z z z {(, ),(, ),(, )} {(, z ),(, z )} Questão: como encontrr um relção T que relcion elementos no universo (que contém) pr os elementos no universo Z (que contém)? Prof. Dr. Alendre d ilv imões Composição Há dus forms comuns pr operção composição. M-min. A composição é definid por: T o ( (, (,) T Y. M-produto (ou m-ponto). A composição é definid por: Os : T o ( (, (,) T Y : minimo; : máimo; produto; Prof. Dr. Alendre d ilv imões

4 8/6/7 Composição Anlogi com elos de um corrente... Figur: correntes com elos disposts de form prlel Tencionndo um ds correntes: el quer no elo mis frco. A forç mínim de todos os elos limit forç gerl d corrente Tencionndo tods s correntes: o sistem ind eercerá resistênci té que últim corrente quere. A máim forç de tods s correntes no sistem govern forç gerl do sistem N nlogi, pr o min-m: Cd corrente: nálogo o operdor min no sistem m-min Corrente inteir: nálogo do operdor m n composição mmin Prof. Dr. Alendre d ilv imões Composição ejm s relções e : z A composição min-m será dd por: T z [min(,(, ), min( ),(, ) (, m min((,,(, ), min( ),(, )] Y Z z z z T z Prof. Dr. Alendre d ilv imões elções Fuzz Tmém mpeim elementos de um universo pr elementos em outro universo Y pelo produto crtesino dos dois universos A forç d relção entre os pres ordendos dos dois universos não é medid com função crcterístic, ms com função de pertinênci epressndo vários grus de forç d relção no intervlo [,] e crdinlidde dos conjuntos fuzz é infinit, então crdinlidde d relção fuzz entre é tmém infinit Prof. Dr. Alendre d ilv imões 5 elções Fuzz: eemplo ejm: e Y + : relção " muito mior do que" Teremos, por eemplo:.5. Prof. Dr. Alendre d ilv imões 6

5 8/6/7 elções Fuzz: eemplo ejm: " ão Pulo" " lvdor" " Fortlez" + + " Mnus" " io de Jneiro" e Y + : relção " muito próim" Teremos, por eemplo: Prof. Dr. Alendre d ilv imões 7 Operções sore relções fuzz ejm e s relções fuzz no espço crtesino Y. As seguintes operções são plicáveis i pr os vlores de pertinênci pr vários conjuntos de operção: m(, ) (, ) min( (, ), (, )) Prof. Dr. Alendre d ilv imões 8 Operções sore relções fuzz Oservr que: E e O E: Proprieddes: comuttividde, ssocitividde, distriutividde, involução, idempotênci, De Morgn são válidos em relções Fuzz Prof. Dr. Alendre d ilv imões 9 Produto crtesino Fuzz elções fuzz: em gerl são conjuntos fuzz Produto crtesino: pode ser definido como relção entre dois ou mis conjuntos fuzz ej A um conjunto fuzz no universo e B um conjunto fuzz no universo Y. O produto crtesino será um relção fuzz contid no espço do produto crtesino, ou sej: A B Y Onde relção fuzz tem função de pertinênci: min ( ), ( ( ) A B A B Prof. Dr. Alendre d ilv imões 5

6 8/6/7 Produto crtesino Fuzz ejm A um conjunto definido no universo de três temperturs discrets {,, } e B definido em um universo de dus pressões discrets Y{, }.O produto crtesino entre eles será: A e B +. A.5 e B [..9].. A B Prof. Dr. Alendre d ilv imões Composição Fuzz Há dus forms comuns pr operção composição. M-min. A composição é definid por: T o ( (, (,) T Y. M-produto (ou m-ponto) A composição é definid por: Os : T o ( (, (,) T Y : minimo; : máimo; produto; Prof. Dr. Alendre d ilv imões Composição Fuzz ejm s relções: Y e YZ Y Z z z.7.8 z Utilizndo composição min-m: z z z.5 e.9.. T (.6.7, m( min(,(, ), min( ),(, z ))) m ( min(.7,.9), min(.5,.) ). 7 z z z T Prof. Dr. Alendre d ilv imões Composição Fuzz E. ejm: { João, Mri, José} (lunos) Y { teori, plicção, hrdwre, progrmção } (crcterístics ti de cursos) Z { lógic fuzz, controle fuzz, redes neuris, sistems especilists} (cursos) LF CF N E t h p t.5.6. João Mri..5 h..7 José p..5.8 Teremos: LF CF N E João..8.8 T Mri.5.6.5? José Prof. Dr. Alendre d ilv imões 6

7 8/6/7 Composição Fuzz E. ejm: { João, Mri, José} (lunos) Y { teori, plicção, hrdwre, progrmção } (crcterístics ti de cursos) Z { lógic fuzz, controle fuzz, redes neuris, sistems especilists} (cursos) LF CF N E t h p t.5.6. João Mri..5 h..7 José p..5.8 Teremos: LF CF N E João..8.8 T Mri José Prof. Dr. Alendre d ilv imões 5 Composição Fuzz E. ejm: {,, } Y {,,, } Z { z, z, z},8,9 z,,9,6,,7,8,7,8 z z,9,,,5,8,7,5 z z z z,6,8,5 Tm min,?,7,9,7 z z z,,7,5 Tm prod,?,6,8,56 Prof. Dr. Alendre d ilv imões 6 Composição Fuzz E. ejm: {,, } Y {,,, } Z { z, z, z},8,9 z,,9,6,,7,8,7,8 z z,9,,,5,8,7,5 z z z z,6,8,5 Tm min,,7,9,7 z z z,,7,5 Tm prod,,6,8,56 Composição com conjunto Cso especil: se é um conjunto fuzz (e não um relção), o invés de, teremos (), o que equivle ter Y. T o ( () (,) T Y Prof. Dr. Alendre d ilv imões 7 Prof. Dr. Alendre d ilv imões 8 7

8 8/6/7 Composição de conjunto E. ejm: 5 5 5,,,, 5 z,,, z z z z elção: é médio e é muito mior do que z ( ) {.,.7,,.7,.} m z..8 mm 5 z. z z.7.8 T ( z ) {,.8,.6,. } Prof. Dr. Alendre d ilv imões 9 elções Fuzz Eemplo Um certo vírus tc céluls no corpo humno. Um célul infectd present no microscópio pontos pretos com diferentes formtos (elípticos e circulres). Em um processo de visão computcionl, germ-se dus vriáveis: P: quntidde de pontos pretos. Definido sore {C,C, C }. C : nenhum, C : lguns, C :muitos : form dos pontos. Definido sore Y{, }. : circulr, : elíptico) Prof. Dr. Alendre d ilv imões elções Fuzz Eemplo Em um cert imgem, tem-se: P + + e + C C C : quntidde. C: nenhum, C: lguns, C: muitos : form. : circulr, : elíptico A relção entre quntidde de pontos pretos e form dos grupos de pontos pretos dá-se pelo produto crtesino: P.. c C s P..5 c C s? C..8 c Prof. Dr. Alendre d ilv imões elções Fuzz Eemplo Em um cert imgem, tem-se: P + + e + C C C : quntidde. C: nenhum, C: lguns, C: muitos : form. : circulr, : elíptico A relção entre quntidde de pontos pretos e form dos grupos de pontos pretos dá-se pelo produto crtesino: P.. c C s P..5 c C s C..8 c Prof. Dr. Alendre d ilv imões 8

9 8/6/7 elções Fuzz Eemplo Um nov imgem é tomd e um nov quntidde de pontos pretos (P ) é diferente d primeir:..7. P' + + C C C O conjunto fuzz de forms de grupos de pontos que são ssocidos com nov quntidde de pontos pretos pode ser ddo pel composição de P com relção : elções Fuzz Eemplo Um nov imgem é tomd e um nov quntidde de pontos pretos (P ) é diferente d primeir:..7. P' + + C C C O conjunto fuzz de forms de grupos de pontos que são ssocidos com nov quntidde de pontos pretos pode ser ddo pel composição de P com relção : P c c c s s.. ' P' o o..8? [..7.]..5 [..8] P c c c s s.. ' P' o o..8 [..7.]..5 [..8] Prof. Dr. Alendre d ilv imões Prof. Dr. Alendre d ilv imões Biliogrfi Principl: O, T. J. Fuzz Logic with engineering pplictions. nd edition. Englnd: Wile,. Cpítulo. Complementr: Pcheco, M. A. C.; Vellsco, M. M. B.. istems inteligentes plicdos. Nots de ul. Em: rio.r/cursos/downlod/ica-cursop5- elcoes.pdf Prof. Dr. Alendre d ilv imões 5 9

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