Muitas vezes, conhecemos a derivada de uma função, y = f (x) = F(x), e queremos encontrar a própria função f(x).

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1 Integrção Muts vezes, conhecemos dervd de um função, y f (x) F(x), e queremos encontrr própr função f(x). Por exemplo, se semos que dervd de um função f(x) é função F(x) 2x, qul deve ser, então, função f(x)? Podemos oter respost lemrndo ds uls nterores sore dervd. Lemre-se que função f(x) x 2 tem dervd gul 2x. Logo, f(x) x 2 é função cuj dervd vle F(x) 2x. A função f(x) x 2 é chmd de ntdervd d função F(x) 2x. Podemos nos perguntr gor: ntdervd d função F(x) 2x é únc? A respost é não.

2 Se f(x) x 2 é ntdervd de F(x) 2x, então f(x) x 2 + C, onde C é um constnte qulquer, tmém é um ntdervd de F(x) 2x. Pr mostrr sso, tomemos dervd de f(x) x 2 + C: d dx 2 d 2 dc d 2 ( x + C) ( x ) + ( x ) 2x. dx dx dx Em gerl, ddo que um função F(x) possu um ntdervd f(x), podemos dzer que exste um fmíl nfnt de ntdervds de F(x) dd por f(x) + C, onde C pode ssumr qulquer vlor dentro do conjunto dos números res. Por exemplo, no cso d função F(x) 2x su fmíl nfnt de ntdervds é formd por funções do tpo f(x) x 2 + C, que são tods práols smétrcs em relção o exo-y deslocds de qunts C o longo desse exo (vej fgur xo).

3 Outros exemplos de funções e sus ntdervds são os seguntes (lemre-se ds uls sore dervds): Função F(x) Antdervd f(x) (constnte) x + C x n x + n+ x + C n x cx x x x + + c + D cos x sen x + C sen x cos x + C Vmos gor presentr noção de ntegrção trvés de exemplos.

4 . Vmos começr com o exemplo já fmlr do crescmento de um populção. Sej N(t) o número de ndvíduos de um populção em função do tempo. Pr dos nstntes de tempo t e t 2 (com t 2 > t ) dferenç N N ( t ) N( ), 2 t é vrção no tmnho d populção no ntervlo de tempo t t 2 t. Se > 0 populção ument e se < 0 populção dmnu. A quntdde, g t, é tx méd de vrção d populção no ntervlo entre t e t 2. El mede quão rpdmente populção vrou nesse ntervlo de tempo. Vmos supor, pr smplfcr, que g > 0. Consderemos um longo ntervlo de tempo fxo, ndo de t 0 t f. Podemos sudvdr esse ntervlo em n ntervlos menores (vej tel xo):

5 n o do ntervlo de lrgur do ntervlo tx méd t 0 t t t t 0 2 t t 2 t 2 t 2 t 22 3 t 3 t 4 t 3 t 3 t 2 33 n t n- t f t n t f t n- nn g g g g 2 3 n t t t t Um questão nteressnte que pode ser levntd é: pode-se expressr mtemtcmente o umento totl d populção no ntervlo de tempo entre t 0 e t f em termos ds txs méds g? A respost é sm. Pr o prmero suntervlo, o umento d populção é t t. t g. Pr o segundo ntervlo, o umento é N g, 2 2 t2

6 pr o tercero ele é N3 g3 t3 etc. Portnto, podemos escrever o umento totl como: n n g t. Tudo sso fo feto ssumndo que populção vr cd suntervlo fnto de tempo t. Semos, no entnto, que populção vr o seu tmnho de mner contínu no tempo. Neste cso, podemos pensr num tx nstntâne de vrção do tmnho d populção, g(t ). Podemos, então, reescrever expressão cm como, n g ( ). t t Escrevendo vrção do tmnho d populção desse jeto estmos cometendo um erro no cálculo de. Esse erro vem do fto de que g(t ) vr no tempo, portnto ele não tem o mesmo vlor o longo do ntervlo t (vej o desenho xo).

7 Como podemos reduzr o erro? Reduzndo o tmnho dos ntervlos, pos qunto menor o ntervlo ms próxmo g(t ) estrá dos vlores de g entre t - e t. No lmte em que o tmnho dos ntervlos v pr zero e, conseqüentemente, o número n de ntervlos tende nfnto, podemos escrever lm n n g ( t ) t. Este lmte costum ser escrto n segunte notção: t f t 0 g () t dt, que é ld como ntegrl de g(t) pr t ndo de t 0 t f.

8 2. Suponhmos que prtículs estejm dstruíds o longo do exo-x. Sej N o número de prtículs entre orgem, x 0, e um ponto P de scss x L. A concentrção, ou densdde méd, de prtículs no ntervlo entre x - e x é defnd por c x Portnto, podemos escrever. c x N n c x. No cso em que c vr contnumente com x, c c(x), temos, em nlog com o feto no exemplo (): N n ( x ) x c( x) dx. lm c n L 0 3. Frequentemente temos que clculr áre de fgurs plns (por exemplo, pense no cálculo d áre de um folh de um cert espéce de árvore). Consderemos um prolem em que fronter d fgur cuj áre se quer clculr sej dd por um equção.

9 Em prtculr, vmos clculr áre xo de um função y f(x) entre os pontos x e x, sto é, áre entre curv d função e o exo-x entre os pontos x e x (vej fgur xo). Podemos proxmr áre xo de y f(x) entre x e x por um conjunto de retângulos. Podemos tmém sudvdr o ntervlo [, ] em n ntervlos de lrgurs gus, com posções dds por, x 0, x, x 2, x 3,..., x,..., x n-, x n. A lrgur de cd ntervlo é dd por, x. n

10 As ordends (os vlores de f(x)) correspondentes os pontos x 0, x,..., x n são: y 0, y, y 2, y 3,..., y,..., y n-, y n. Sej A re que se quer clculr. El pode ser proxmd pel som ds áres dos n retângulos que estão xo d curv y f(x) (os retângulos rncos, não pntdos, n fgur cm), que vmos chmr de A. Ms el tmém pode ser proxmd pel som ds áres dos retângulos que estão cm de y f(x) (os trângulos rncos crescdos dos pedços pntdos de cnz clro n fgur), que vmos chmr de A s. Note que A < A < A s. Temos que: n x + y2 x + y3 x + + yn x A y K A y x + y x + y x + K + y s x n 0 2 n 0 y x. y x. Sutrndo A de A s :

11 A s A y ( y y ) x [ f ( ) f ( ) ]. 0 x yn x 0 n x Est é áre d som dos pequenos retângulos pntdos de cnz clro n fgur. Note que se fzermos sudvsões cd vez ms fns do ntervlo [, ], ou sej, se fzermos n de mner que x 0, teremos que A s A 0. Como dferenç entre A s e A v pr zero, A s e A tendem pr o mesmo vlor, que é áre desejd A: O símolo cm, ( x) A lm A lm As f dx. n n ( x) f dx, é ldo como ntegrl defnd de f(x) entre e. Vmos gor ver como clculr um ntegrl. Vmos provetr o exemplo cm de um ntegrl como um áre.

12 Sej A x F(x) áre xo d função y f(x) entre e um ponto x > (vej fgur xo). Note que F(x) é um função crescente de x. Se x, F() 0; se > c, F() > F(c). E pr cd x está ssocd x um únc áre A. Já que F(x) é um função de x, podemos perguntr: Qul é dervd de F em relção x? Vmos supor um ncremento em x, x h, de mner que F(x + x) F(x + h). Dest form, F F(x + h) F(x).

13 F é áre d regão ndcd por F n fgur cm. El pode ser proxmd de dus mners:. Pel áre do retângulo de ldos h e f(x). F h f(x);. Pel áre do retângulo de ldos h e f(x + h). F h f(x + h). Como F(x) é um função crescente de x, segund expressão drá um proxmção mor que prmer: hf ( x) < F < hf ( x + h). Dvdndo todos os ldos d expressão cm por h: ou, F f ( x) < < f ( x + h), h F f ( x) < < f ( x + h). x Pr h 0, o lmte de f(x + h) tende pr f(x). Portnto, o lmte de F/ x qundo x 0 tmém tende pr f(x). Esse lmte é dervd de F em relção x. Logo, df dx F' ( x) f ( x).

14 Em plvrs: dervd d função F(x), que dá áre xo d função f(x) entre e x, é própr função f(x). Isto é, F(x) é um ntdervd de f(x). Semos que exste um fmíl nfnt de ntdervds de f(x), tods dferndo entre s pens por um constnte. Sej I(x) um ntdervd rtrár de f(x). Então, I(x) e F(x) dferem somente por um constnte, ou sej, F ( x) I( x) + C. Qundo x, semos que F() 0. Então, F( ) I ( ) + C 0 C I ( ). Logo, F( x) I( x) I( ). Já qundo x, tmém semos que F ( ) A. Então, A áre A F( ) A I ( ) I ( ). é ntegrl defnd, ( x) f dx. Portnto,

15 ( x) f dx I( ) I( ). Em plvrs: ntegrl defnd de f(x) entre e é dd pel dferenç entre os vlores de su ntdervd I(x) clculdos em e em. Num ntegrl defnd entre e, é chmdo de lmte nferor e é chmdo de lmte superor d ntegrl. A função f(x) é chmd de ntegrndo, vrável x é chmd de vrável de ntegrção e o ntervlo [, ] é chmdo de ntervlo de ntegrção. Sntetzndo tudo o que fo vsto, pr clculrmos ntegrl defnd de um função contínu f(x) entre e devemos proceder d segunte mner:. Devemos encontrr um ntdervd I(x) de f(x); 2. Devemos clculr os vlores dess ntdervd em e em, I() e I(); 3. Devemos clculr I() I().

16 Exemplo. Clculemos ntegrl defnd d função y(x) sen x entre 0 e π, π 0 senxdx. Semos que um ntdervd de sen x é I(x) cos x. Os vlores dess ntdervd em 0 e π são, Logo, I ( 0) cos 0 ; I ( π ) cosπ +. π 0 senxdx I( π ) I(0) ( ) 2. Costum-se chmr ntdervd I(x) de f(x) de ntegrl ndefnd de f(x). Ess termnolog decorre do fto de que qundo os lmtes de ntegrção e não são especfcdos o vlor d constnte C fc ndetermndo. A ntegrl ndefnd de f(x) é express mtemtcmente de um form muto smlr à d ntegrl defnd, porém sem os lmtes de ntegrção: I ( x) f ( x) dx.

17 Antes de termnr est ul, notemos o segunte. A função F(x) que dá áre xo de f(x) entre e x é express como, x F ( x) f ( x) dx. O símolo x prece em dos pontos no ldo dreto dess expressão, como o lmte superor d ntegrção e como vrável de ntegrção. Pr evtr confusão, costum-se reescrever fórmul usndo um símolo dferente pr vrável de ntegrção (pode ser qulquer símolo, qu vmos usr u), x F ( x) f ( u) du. Oserve que não fz qulquer dferenç escrevermos função no ntegrndo como f(x) ou f(u) ou f(t) ou f com qulquer outro símolo usdo pr denotr vrável de ntegrção. O que mport são os vlores dos lmtes de ntegrção, que no cso são x e. Vmos lgums págns cm cm que,

18 df( x) f ( x). dx Comnndo sso com expressão nteror, d dx x f ( u) du f ( x). Este resultdo é conhecdo como teorem fundmentl do cálculo. Ele express o fto de que dervção e ntegrção são operções nverss. Alguns resultdos mportntes sore ntegrção que serão ddos qu sem prov são os seguntes:. ( x) dx f ( x) dx + c f f ( x) dx. c 2. f ( x) dx f ( x) dx ( f ( x) + g( x) ) dx f ( x) dx g( x) dx. 4. k. f ( x) dx k f ( x) dx.