Método de Gauss-Seidel
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- Amadeu Mendes Mendonça
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1 Método de Guss-Sedel É o ms usdo pr resolver sstems de equções lneres. Suponhmos que temos um sstem A=b e que n= Vmos resolver cd equção em ordem um ds vráves e escrevemos 0/0/9 MN
2 em que Método de Guss-Sedel e b b b são os vlores d ncógnt ns terções e -, respectvmente. 0/0/9 MN
3 Método de Guss-Sedel Tem, portnto que se fornecer um promção ncl. O crtéro de prgem pode ser por progressão ou por número de terções., 00% 0/0/9 MN
4 Método de Guss-Sedel Eemplo 0/0/9 MN 4 7,4 0 0, 0, 9, 0, 7 0, 7,85 0, 0, 0 7,4 0, 0, 7 9, 0, 0, 7,85 0, 0,
5 Método de Guss-Sedel Se fzermos = =0 =,66667 Assummos =0 e clculmos =-,79454 Com estes dos vlores obtemos =7,00560 e ssm sucessvmente. 0/0/9 MN 5
6 Método de Guss-Jcob Neste método, em vez de se rem empregndo os melhores vlores em cd terção, empregm-se conuntos completos de vlores (pr tods s ncógnts). Em gerl empreg-se o método de Guss- Sedel 0/0/9 MN 6
7 Comprção G.-Sedel com G.- Jcob )Guss-Sedel b)guss-jcob 0/0/9 MN 7
8 Convergênc Se, pr um ddo sstem de equções temos n dzemos que o sstem é de dgonl domnnte e o método de Guss-Sedel é convergente. Este crtéro é sufcente, ms não necessáro. 0/0/9 MN 8
9 Método de Guss-Sedel Mtlb/Octve Dmos-lhe form 0/0/9 MN 9 b b b b b b C d
10 em que 0/0/9 MN 0 b b b d C
11 0/0/9 MN
12 0/0/9 MN
13 Relção Trt-se de um processo em que se modfcm os vlores obtdos pr se obter um convergênc ms rápd ou corrgr um dvergênc: ( ) com 0<<. 0/0/9 MN
14 Relção Com = não há modfcção Com 0< < temos subrelção, que é utlzdo qundo o método não converge. Com < < temos sobrerelção e pode ser empregue pr celerr convergênc no cso de um sstem que á sbemos ser convergente. A determnção de fz-se emprcmente. 0/0/9 MN 4
15 Sstems não lneres Consderemos o sstem de equções 0 57 que é um sstem não lner. A solução será 0/0/9 MN 5
16 Sstems não lneres Empreg-se um método desgndo por substtução sucessv, que é um sucedâneo do método de ponto fo e do de Guss-Sedel. Resolvem-se s equções de form solr um ds ncógnts no º membro e prtr dos vlores ncs nc-se um cclo. 0/0/9 MN 6
17 Sstems não lneres Em cs Consderndo os vlores ncs de =,5 e =,5 Clcule três terções pr dus versões de progressão. 0/0/9 MN 7
18 Newton-Rphson Este método pode ser dervdo, com s devds reservs, prtr d promção por sére de Tylor, prmer ordem. f ( ) f ( ) ( ) f '( ) Onde é promção ncl e + é o ponto de ntercepção com o eo OX. Como neste ponto f ( ) 0 0/0/9 MN 8
19 Newton-Rphson vem f ( ) f '( ) O que é equção smples pr o método de Newton-Rphson. Pr sstems de equções podemos dervr o procedmento de form equvlente. 0/0/9 MN 9
20 Newton-Rphson f, f,,, f,,, f,,, f f, f, f,, f, f, f, f, f, f,,, f,,, f,,, f, f, f, f, f, f, f, f, Clro que e são vlores que correspondem zeros de f,+ e de f,+. O sstem do ldo dreto pode ser resolvdo como hbtulmente. 0/0/9 MN 0
21 Newton-Rphson O denomndor de cd frcção, chm-se o Jcobno, ou mtrz Jcobn, do sstem em estudo. Aplque o método referdo o sstem: 57 0 com s promções ncs de =,5 e =,5 0/0/9 MN
22 Newton-Rphson No cso de sstems de equções subsste o problem d determnção ds promções ncs. N mor prte dos csos utlz-se o nosso conhecmento sobre o sstem físco em estudo pr s de termnr. 0/0/9 MN
23 Newton-Rphson Generlzemos gor pr um sstem de n equções. Usndo notção mtrcl J + = -f + J em que 0/0/9 MN
24 Newton-Rphson n n n n n n f f f f f f f f f J,,,,,,,,, 0/0/9 MN 4 n T f f f,,,... f
25 Newton-Rphson T T,,,..., O sstem pode ser resolvdo por elmnção de Guss, LU ou outro método.... n, n, 0/0/9 MN 5
26 Newton-Rphson 0/0/9 MN 6
27 Newton-Rphson 0/0/9 MN 7
28 Newton-Rphson É muto mportnte sber que função func tem de dr os vlores d função e do Jcobno num determndo ponto. Este ponto é defndo pels n coordends presentes n função f. 0/0/9 MN 8
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