CAPÍTULO IV DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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- Evelyn Machado Camelo
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1 PMR Mecânc Computconl CAPÍTULO IV DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA O problem de derencção numérc prentemente é semelnte o de ntegrção numérc ou sej obtendo-se um polnômo nterpoldor ou outr unção nterpoldor d unção promção ds dervds podem ser obtds dervndo-se esse polnômo. Inelzmente deve-se tomr cuddo. A derencção tende mgncr s pequens dscrepâncs ou erros n unção promd como mostrdo n gur bo. dp n /d d /d p n 5 6 b Pel gur o polnômo p n prece ser um ecelente unção promdor pr promr o vlor d ntegrl b p n por b dp d. No entnto n que represent nclnção d d d ln tngente à p n pode ser sgnctvmente derente em mgntude do que d mesmo nos pontos onde p n e tem o mesmo vlor. Dervds de ordem superor tendem mgncr dscrepânc. Assm derencção numérc é um processo menos precso do que ntegrção numérc e deve ser evtd tod vez que possível. N verdde engeneros e centsts zem testes de derencção em ddos de lbortóro como ndcção d precsão epermentl. Um orm de reduzr o erro de derencção é utlzr um polnômo promdor obtdo pelo método dos mínmos qudrdos. No entnto sso é um tnto trbloso e como n prátc nem tods s dervds são necessárs gerlmente somente prmer e segund dervm-se órmuls de promção ds prmers dervds denomnds derençs promds. Esss derençs promds e seus respectvos erros podem ser obtdos utlzndo-se epnsão de Tlor como mostrdo segur. 8
2 PMR Mecânc Computconl Consderemos nclmente derenç promd pr prmer dervd. Sendo unção de nd epnsão de Tlor de em torno de é... 6 Isolndo tem-se que pode ser reescrt como 6 onde o prmero termo é cmdo de derenç promd progressv e E é o erro de truncmento representdo pelo seu termo domnnte ou sej E Assm o erro é promdmente proporconl o vlor de e à segund dervd. Os dems termos decrescem ms rpdmente com o vlor de e portnto não são domnntes no vlor do erro. A derenç promd regressv é obtd de orm smlr escrevendo-se epnsão de Tlor em torno de... 6 Isolndo derenç promd regressv vle E onde E derenç promd centrl é obtd subtrndo-se s epressões ds epnsões de Tlor de e descrts cm respectvmente. Obtem-se... Note que o utomtcmente elmndo. Isolndo-se tem-se E onde E 6 Portnto o erro depende de!! Dess orm órmul de derenç promd centrl é ms precs do que s derençs promd regressvs e progressvs n promção d prmer dervd. E... 9
3 PMR Mecânc Computconl d. regressv d. progressv d. centrl - No entnto se ms pontos estão dsponíves órmuls ms precss podem ser deduzds pr prmer dervd. Assm consderndo-se três pontos um ms do que o mínmo necessáro pr se obter um promção de podemos obter s epressões de epnsão de Tlor de e ' '... ' '... Multplcndo prmer equção por subtrndo d segund equção e solndo tem-se E onde E Ess promção é cmd derenç promd progressv de três pontos e possue um erro d mesm ordem que derenç promd centrl. Smlrmente derenç promd regressv de três pontos pode ser dervd usndo e E onde E Derençs promds pr segund dervd podem ser obtds d mesm orm. Assm pode se obter em unção de e. Somndo s epnsões de Tlor de e temse
4 PMR Mecânc Computconl... e portnto derenç promd centrl de é gul à E onde E ' ' Outr derenç promd pode ser dervd em termos de e. Subtrndo vezes epnsão de Tlor de d epnsão de e solndo result n derenç promd regressv onde E A ordem de grndez desse erro é mor do que o erro d derenç promd centrl mostrndo que derenç promd centrl represent com mor precsão segund dervd como já observdo n promção d prmer dervd. Conclue-se que nterpolção é sempre melor no centro do ntervlo de pontos. Derençs promds pr dervds de ordem mor do que dos podem ser obtds de orm semelnte no entnto é etremmente trbloso. Em gerl estem lgortmos de computdor que clculm utomtcmente derençs promds de dervds de lt ordem. No cso de dervds prcs segue-se o mesmo rcocíno. Consderndo unção bdmensonl derenç promd d dervd prcl com relção à por eemplo pode ser dervd ndo gul constnte e consderndo como um unção undmensonl. Assm s derençs promds regressv centrl e progressv são gus As derençs promds centrs ds segunds dervds de em são dds por E
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